A. Đặt vấn đề
I. Lời mở đầu.
Trong sự nghiệp giáo dục mà Đảng và Chính phủ đã xác định là quốc sách hàng đầu, giáo dục toán học chiếm một vị trí đặc biệt quan trọng. Toán học là môn học duy nhất được giảng dạy từ lớp 1 đến lớp 12 ở bậc phổ thông và giai đoạn đầu ở bậc đại học.
Phần “biến hình” ở trường phổ thông là một phần học gây được nhiều hứng thú cho học sinh, tuy nhiên đứng trước một bài toán “biến hình” không phải lúc nào người học cũng dễ dàng nhận ra được phép biến hình cụ thể ngay cả đối với học sinh có học lực khá. Vì vậy việc học sinh nắm được mỗi loại “ biến hình”, hiểu sâu sắc về phương pháp, cách trình bày của mỗi dạng là hết sức quan trọng. Để giúp người học có được những định hướng ban đầu khi đứng trước một bài toán “ biến hình”, bằng những gì bản thân tôi có được tôi xin đề xuất Phương pháp nghiên cứu và dạy học các phép biến hình ở trường phổ thông.
II. Thực trạng của vấn đề nghiên cứu
1. Thực trạng
Hiện nay việc dạy và học các phép biến hình trong chương trình phổ thông còn gặp không ít những khó khăn, người dạy, người học không phải lúc nào cũng nhận ra được phép biến hình cần được sử dụng trong mỗi trường hợp cụ thể. Học sinh còn lúng túng trước những vấn đề được đưa ra dưới một hình thức khác, yếu tố sáng tạo, vận dụng linh hoạt ở các em còn nhiều hạn chế.
Đề tài nghiên cứu trên cơ sở các phép biến hình được trình bày trong SGK Hình học lớp 10- Nhà xuất bản giáo dục
2. Kết quả, hiệu quả của thực trạng trên
Từ thực trạng trên, để việc dạy và học về phép biến hình đạt hiệu quả tốt hơn, tôi xin mạnh dạn đề xuất nội dung phương pháp nghiên cứu và phương pháp dạy học các phép biến hình ở trưòng phổ thông. B. Giải quyết vấn đề
Phương pháp nghiên cứu và phương pháp dạy học các phép biến hình ở trường phổ thông.
1) Phương pháp nghiên cứu
a) Nghiên cứu các phép biến đổi Aphin, các phép biến đổi trực giao trong hình học Aphin và hình học Ơclit để làm cơ sở soi sáng giáo trình hình học phổ thông về các phép biến hình, dời hình và đồng dạng .
b) Các cách trình bày khác nhau chứng minh các định lý về các tính chất của phép dời hình và đồng dạng.
c) Cách trình bày phép dời hình trong cơ sở hình học.
Ví dụ: sự xác định phép dời hình có thể trình bày nhờ tích của các phép đối xứng trục ( SGK Hình học lớp 10)
Có thể chứng minh định lý về sự xác đinh phép dời hình nhờ phương pháp khai triển một véctơ theo hai vectơ không cộng tuyến.
Định lý: Nếu trong mặt phẳng cho hai bộ ba điểm không thẳng hàng A, B, C và A’, B’, C’ sao cho : AB = A’B’ ; BC = B’C’; CA = C’A’ thì tồn tại duy nhất một phép dời hình biến A, B, C tương ứng thành các điểm A’, B’, C’.
Sự tồn tại phép dời hình được chứng minh như sau:
Xét quy tắc f trong mặt phẳng chứa các điểm A, B, C, A’, B’, C’ như sau:


Điểm M trong mặt phẳng biến thành M’ sao cho: M’A’=MA; M’B’=MB; M’C’=MC.
Rõ ràng điểm M được xác định là duy nhất, thuộc giao của ba đường tròncó tâm lần lượt là A’ , B’, C’ bán kính tương ứng là : MA, MB, MC ( hình vẽ)
Giả sử N là điểm tuỳ ỳ của mặt phẳng, ảnh tương ứng của nó là N’. Cần chứng minh MN = M’N’. Thậy vậy, do các vec tơ:
, nên








tương tự:
, lập luận tương tự đối với sự khai triển vectơ

ta có hệ thức tương tự:


vì các góc
suy ra sự bằng nhau cáu các hình bình hành AEMF và A’E’M’F’
từ đó suy ra x1 = x1’ và y1 = y1’, x2 = x2’, y2 = y2’
ta lại có:



Từ các đẳng thức (1) và (2) suy ra:



Do
và từ các đẳng thức (3) và (4) suy ra :
MN2 = M’N’2 ( MN = M’N’
Vạy f là phép dời hình.
Bây giờ giả sử g là phép dời hình biến A. B, C thành A’, B’, C’ khi đó g-1 biến A’, B’, C’ tương ứng thành A, B, C. Từ đó:
g-1.f biến A, B, C thành A, B, C vậy g-1.f = e ( f = g ( phép dời hình có ba điểm bất động là phép đồng nhất).
2) Phương pháp dạy học các phép biến hình
a) Phương pháp dạy học các khái niệm biến hình, dời hình, vị tự, đồng dạng:
- Các con đường quy nạp hình thành các khái niệm trên.
Ví dụ 1: Từ khái niệm đối xứng tâm, đối xứng trục, phép quay đã xét trong SGK, từ quy tắc dựng ảnh các phép trên cho học sinh biểu tượng về quan hệ 1-1 tập hợp các điểm của mặt phẳng lên chính nó và từ đó hình thành khái niệm về phép biến hình mặt phẳng .
Ví dụ 2: Từ các tính chất bảo tồn khoảng cách của phép biến hình cụ thể trên, khái quát đi đến khái niệm phép dời hình.
- Cấu trúc các định nghĩa trên là cấu trúc hội.
- Nêu các phản ví dụ: Chẳng hạn phép chiếu vuông góc biến các điểm của đường tròn thành hình chiếu vuông góc lên một đường kính không là quan hệ 1-1 ( song ánh) nên không phải là phép biến hình.
- Hoạt động nhận dạng, thể hiện:
Thông qua các mô hình như hình vuông, hình chữ nhật, hình bình hành, đoạn thẳng, đường thẳng, đường tròn, xét các tâm đối xứng, trục đối xứng, dựng ảnh qua tích các phép biến hình.
b) Phương pháp dạy học các tính chất của phép biến hình cụ thể:
Trước hết cần chỉ rõ các tính chất chung của phép dời. Đặc biệt các tính chất đặc thù cho từng phép dời hình cụ thể. Chẳng hạn;
- Qua
đường thẳng ảnh và tạo ảnh tạo thành góc định hướng bằng góc quay.
- Qua phép tịnh tiến mọi phương đều bất biến
- Qua phép vị tự mọi phương bất biến.v.v…
Nắm vững các tính chất đặc thù là cơ sở định hướng cho việc tìm tòi lời giải sau này bằng cách sử dụng các phép biến hình cụ thể .
c) Vạch rõ khả năng của từng phép biến hình cụ thể để giải các dạng toán kèm
theo hệ thống các bài tập với cách sắp xếp sư phạm rèn luyện kỹ năng vận dụng các phép biến hình . Từ đó khắc sâu phương pháp sử dụng các phép biến hình để giải các bài toán
d) để thực hiện lời giải bài toán bằng cách sử dụng biến hình cần chú trọng các bước chuẩn bị cơ bản, đặc biệt là quan tâm đến các kỹ năng sau:
- Kỹ năng dựng ảnh của các hình qua phép biến hình cụ thể: ảnh của điểm, đường thẳng, đoạn thẳng, tam giác, đường tròn …
- Kỹ năng dịch từ ngôn ngữ hình học tổng hợp sang ngôn ngữ của các phép biến hình cụ thể:
Ví dụ: Tam giác ABC đều.
Chuyển dịch qua ngôn ngữ phép quay là:
Tồn tại phép quay
biến B thành C hoặc C thành B chiều quay phụ thuộc vào thứ tự các đỉnh.
Tồn tại phép quay
biến A thành B, B thành C, C thành A.
Chẳng hạn cho tam giác ABC đều. Các điểm M, N, P lần lượt thuộc các cạnh AB, BC, CA sao cho AM = BN = CP. CMR tam giác MNP đều.
Để giải bài toán này ta sử dụng cách dịch thứ hai.
e) Một số định hướng cơ bản và quy trình cơ bản để giải các bài toán bằng phương pháp biến hình.
1. Các định hướng cơ bản:
1.1 Xây dựng hệ thống bài tập rèn luyện kỹ năng dựng ảnh của các hình qua phép biến hình cụ thể; thông qua các kỹ năng đó làm cho học sinh nắm vững các bất biến của phép biến hình.
1.2 Luyện tập cho học sinh kỹ năng xác định bài toán ngược của bài toán trên. Cho trước hai hình xác định phép biến hình biến hình này thành hình kia. Giải các bài toán trên cần thiết cho việc định hướng lựa chọn phép biến hình này nọ để giải bài toán đã cho.
Ví dụ: Sau khi giải bài toán: “ Cho hai đường tròn tiếp xúc trong, xác định các phép vị tự biến đường tròn này thành đường tròn kia”, đề xuất học sinh giải bài toán:
Cho đường tròn (O) và (O1) tiếp xúc trong tại I. Một tiếp tuyến của (O) tại K cắt (O1) tại M, N. CMR :

Giải:

(
.
Do hai đường tròn (O) và (O1) tiếp xúc trong với nhau tại I nên tồn tại
phép vị tự
biến tiếp tuyến MN của (O) thành tiếp tuyến K’x của (O1)
và K’x // MN
Từ đó suy ra
.






Chú ý 1: Để hỗ trợ cho định hướng thứ hai đã vạch ra ở trên khi dạy học các phép biến hình cụ thể cần quan tâm cách cho khác nhau của phép biến hình đó. Chẳng hạn : Cho phép quay
được cho bởi hoặc tâm và góc quay hoặc hai cặp điểm tương ứng ( sao cho các trung trực của các đoạn thẳng nối cặp điểm đó cắt nhau).
Phép đối xứng trục được cho bởi: hoặc trục hoặc cặp điểm tương ứng.
Phép tịnh tiến
hoặc cặp điểm tương ứng.
Chú ý 2: Nếu cần chứng minh hai đoạn thẳng tương ứng bằng nhau khác phương thường sử dụng phép quay, đối xứng trục.
Nếu cần chứng minh hai đoạn thẳng tương ứng bằng nhau cùng phương thường sử dụng phép đối xứng tâm hoặc tịnh tiến.
Chú ý 3: Nếu hai đoạn thẳng bất kỳ bằng nhau thì hoặc có tích của một phép tịnh tiến với phép quay biến đoạn thứ nhất thành đoạn thứ hai hoặc tích của một phép đối xứng trục và tịnh tiến theo véc tơ song song với trục biến đoạn thứ nhất thành đoạn thứ hai.
Chú ý 3 nhằm trách nhầm lẫn cứ hai đoạn thẳng bất kỳ bằng nhau, khác phương đều xác định phép quay biến đoạn này thành đoạn khác. Vì khi trung trực của hai đoạn thẳng cắt nhau tại điểm O chưa đủ điều kiện xác định phép quay. Để xác định phép quay cần thiết phải có các góc định hướng bằng nhau. Chẳng hạn: AB = A’B’,
AA’ không song song BB’