CHƯƠNG II: TỔ HỢP- XÁC SUẤT

Bài 1: QUY TẮC ĐẾM
I. HỆ THỐNG KIẾN THỨC CƠ BẢN
1. Quy tắc cộng:
a) Quy tắc cộng cho hai phương án.
* Giả sử một công việc V có thể được thực hiện theo phương án A hoặc phương án B . Có m
cách thực hiện theo phương án A và có n cách thực hiện theo phương án B . Khi đó có m  n
cách thực hiện công việc V
b) Quy tắc cộng cho nhiều phương án.
* Giả sử một công việc V có thể được thực hiện theo một trong k phương án A1 , A2 ,..., Ak . Có n1
cách thực hiện theo phương án A1 , có n2 cách thực hiện theo phương án A2 ,…..có nk cách thực
hiện theo phương án Ak . Khi đó có n1  n2  ...  nk cách thực hiện công việc V .
c) Quy tắc cộng dưới dạng tập hợp
Cho A và B là hai tập hợp hữu hạn. Khi đó n  A  B   n  A  n  B   n  A  B  .
Đặc biệt: Nếu A  B   thì n  A  B   n  A  n  B  .
2. Quy tắc nhân:
a) Quy tắc nhân cho hai công đoạn.
* Giả sử một công việc V được thực hiện qua hai công đoạn liên tiếp A và B . Có m cách thực
hiện công đoạn A . Với mỗi cách thực hiện công đoạn A lại có n cách thực hiện công đoạn B .
Khi đó có m.n cách thực hiện công việc V .
b) Quy tắc nhân cho nhiều công đoạn.
* Giả sử một công việc V được thực hiện qua k công đoạn liên tiếp nhau A1 , A2 ,..., Ak . Có n1 cách
thực hiện công đoạn A1 , với mỗi cách thực hiện công đoạn A1 có n2 cách thực hiện công đoạn A2
,…., với mỗi cách thực hiện công đoạn Ak 1 có nk cách thực hiện công đoạn Ak . Khi đó có

n1.n2 ....nk cách thực hiện công việc V .
c) Quy tắc nhân dưới dạng tập hợp
Tích Đề các của hai tập hợp A và B là tập hợp A x B   x; y  | x  A, y  B
Cho A và B là hai tập hợp hữu hạn. Khi đó n  A  B   n  A .n  B  .
II. BÀI TẬP
DẠNG 1: ĐẾM TRỰC TIẾP.
A. Phương pháp đếm trực tiếp:
1. Nội dung phương pháp
Để đếm số cách thực hiện một công việc, ta phân chia cách thực hiện công việc đó thành các
phương án, trong mỗi phương án lại chia thành các công đoạn. Sau đó sử dụng quy tắc nhân và quy
tắc cộng để suy ra số cách thực hiện công việc đó.
Trang 1

2. Ví dụ minh họa:

Ví dụ 1
Bạn An có 3 cái áo và 4 cái quần. Hỏi bạn An có mấy cách chọn
a) một cái quần hoặc một cái áo?
b) một bộ quần áo ?
Lời giải
a) Để chọn một cái quần hoặc một cái áo ta có hai phương án lựa chọn
Phương án A- Chọn một cái quần: Có 4 cách thực hiện.
Phương án B- Chọn một cái áo: Có 3 cách thực hiện.
Theo quy tắc cộng ta có: 4  3  7 cách chọn một cái quần hoặc một cái áo.
b) Để chọn một bộ quần áo, ta phải thực hiện hai công đoạn liên tiếp
Công đoạn 1- Chọn một cái quần: Có 4 cách thực hiện
Công đoạn 2- Chọn một cái áo: Có 3 cách thực hiện.
Theo quy tắc nhân ta có 4.3  12 cách chọn một bộ quần áo.

Ví dụ 2
Một trường THPT được cử một học sinh đi dự trại hè toàn quốc. Nhà trường quyết định chọn
một học sinh tiên tiến trong lớp 11A hoặc lớp 12B. Hỏi nhà trường có bao nhiêu cách chọn, nếu
biết rằng lớp 11A có
học sinh tiên tiến và lớp 12B có
học sinh tiên tiến.
Lời giải
Nhà trường có hai phương án chọn.
Phương án 1: Chọn học sinh tiên tiến của lớp 11A, có 15 cách chọn.
Phương án 2: Chọn học sinh tiên tiến của lớp 12B, có 13 cách chọn.
Vậy nhà trường có tất cả 15  13  28 cách chọn.

Ví dụ 3
Biển số xe máy của tỉnh A có

kí tự, trong đó kí tự ở vị trí đầu tiên là một chữ cái , kí tự ở vị

trí thứ hai là một chữ số thuộc tập
tập

, mỗi kí tự ở bốn vị trí tiếp theo là một chữ số thuộc

. Hỏi nếu chỉ dùng một mã số tỉnh thì tỉnh A có thể làm được nhiều nhất bao nhiêu

biển số xe máy khác nhau?
Lời giải
Ta có 26 cách chọn chữ cái để xếp ở vị trí đầu tiên.
Tương tự có 9 cách chọn chữ số cho vị trí thứ hai.
Có 10 cách chọn chữ số cho mỗi vị trí trong bốn vị trí còn lại.
Vậy theo quy tắc nhân có tất cả:
26.9.10.10.10.10  2340000

Trang 2

Ví dụ 4
Trên giá sách có
quyển sách tiếng Việt khác nhau, quyển sách tiếng Anh khác nhau và
quyển sách tiếng Pháp khác nhau. Hỏi có bao nhiêu cách chọn hai quyển sách tiếng khác nhau?
Lời giải
Theo quy tắc nhân, có 10.8  80 cách chọn một quyển tiếng Việt và một quyển tiếng Anh; có
10.6  60 cách chọn một quyển tiếng Việt và một quyển tiếng Pháp; có 8.6  48 cách chọn một
quyển tiếng Anh và một quyển tiếng Pháp.
Vậy theo quy tắc cộng, ta có số cách chọn hai quyển sách tiếng khác nhau là
80  60  48  188

Ví dụ 5
Một người có áo trong đó có áo trắng và cà vạt trong đó có cà vạt màu vàng. Hỏi có
bao nhiêu cách chọn áo và cà vạt nếu đã chọn áo trắng thì không chọn cà vạt màu vàng?
Lời giải
Trường hợp 1. Chọn áo trắng.
Bước 1 : Có 3 cách chọn.
Bước 2 : Vì không được chọn cà vạt màu vàng nên có 3 cách chọn cà vạt.
Vậy trường hợp 1 có 3.3  9 cách chọn áo và cà vạt.
Trường hợp 2. Không chọn áo trắng.
Bước 1 : Có 4 cách chọn.
Bước 2 : Có 5 cách chọn cà vạt.
Vậy trường hợp 1 có 4.5  20 cách chọn áo và cà vạt.
Do đó có tất cả 20  9  29 cách chọn áo và cà vạt thỏa mãn yêu cầu đề bài.

Ví dụ 6
Nhãn mỗi chiếc ghế trong một hội trường gồm hai phần : phần đầu là một chữ cái , phần thứ hai
là một số nguyên dương nhỏ hơn 26. Hỏi có nhiều nhất bao nhiêu chiếc ghế được ghi nhãn khác
nhau ?
Lời giải
Gọi n là số nguyên dương nhỏ hơn 26.
Ta có: 0  n  26, n   n1, 2,3,..., 25 .
Chọn một chữ cái trong 24 chữ cái có 24 cách.
Chọn một số nguyên dương có 25 cách.
Theo quy tắc nhân có : 24.25  600 cách ghi nhãn khác nhau.

Ví dụ 7
Cho hai đường thẳng song song

. Trên

lấy

điểm phân biệt, trên

biệt. Hỏi có bao nhiêu tam giác mà đỉnh của nó được chọn từ

lấy

điểm phân

đỉnh nói trên?

Trang 3

Lời giải
 Trường hợp 1 : Lấy 2 điểm thuộc d , 1 điểm thuộc d ' :
Lấy điểm thứ nhất thuộc d có 10 cách, lấy điểm thứ hai thuộc d có 9 cách
Lấy điểm thuộc d ' có 15 cách.
Vì sự thay đổi các đỉnh trong tam giác không tạo thành một tam giác mới nên hai đỉnh lấy trên
d nếu đổi thứ tự lấy không tạo thành tam giác mới.
10  9
15  675 tam giác
Do đó có
2
 Trường hợp 2 : Lấy 1 điểm thuộc d , 2 điểm thuộc d ' :
Lấy điểm thứ nhất thuộc d ' có 15 cách, lấy điểm thứ hai thuộc d ' có 14 cách
Lấy điểm thuộc d có 10 cách.
Vì sự thay đổi các đỉnh trong tam giác không tạo thành một tam giác mới nên hai đỉnh lấy
trên d nếu đổi thứ tự lấy không tạo thành tam giác mới.
15 14
10  1050 tam giác
Do đó có
2
Vậy có 675  1050  1725 tam giác.

Ví dụ 8
Tô màu các cạnh của hình vuông
bởi màu khác nhau sao cho mỗi cạnh được tô bởi
một màu và hai cạnh kề nhau thì tô bởi hai màu khác nhau. Hỏi có bao nhiêu cách tô?
Lời giải
Trường hợp 1: Tô cạnh AB và CD khác màu:
 Số cách tô cạnh AB : 6 cách.
 Số cách tô cạnh BC : 5 cách .
 Số cách tô cạnh CD : 4 cách .
 Số cách tô cạnh AD : 4 cách .
Theo quy tắc nhân ta có: 6.5.4.4  480 cách tô cạnh AB và CD khác màu.
Trường hợp 2: Tô cạnh AB và CD cùng màu:
 Số cách tô cạnh AB : 6 cách.
 Số cách tô cạnh BC : 5 cách .
 Số cách tô cạnh CD : 1 cách .
 Số cách tô cạnh AD : 5 cách .
Theo quy tắc nhân ta có: 6.5.1.5  150 cách tô cạnh AB và CD cùng màu.
Vậy số cách tô màu thỏa đề bài là: 480  150  630 cách.

Chú ý: Kỹ thuật sử dụng vách ngăn

Ví dụ 1
Có bao nhiêu cách xếp bạn nam và
nam nào đứng cạnh nhau.

bạn nữ thành một hàng ngang, sao cho không có hai bạn

Trang 4

Lời giải
Xếp 7 bạn nữ thành hàng ngang có 7.6.5.4.3.2.1  5040 cách xếp.
Khi đó 7 bạn nữ chia hàng ngang thành 8 khoảng trống mà mỗi bạn nữ là một vách ngăn.
Xếp 5 bạn nam vào 8 khoảng trống đó sao cho mỗi khoảng trống xếp nhiều nhất một bạn nam. Số
cách xếp 5 bạn nam là: 8.7.6.5.4  6720 cách xếp.
Theo quy tắc nhân có: 5040  6720  33868800 cách xếp.

Ví dụ 2
Có bao nhiêu cách chia 10 cái bánh giống nhau cho 3 người sao cho mỗi người có ít nhất một
chiếc bánh.
Lời giải
Xếp 10 cái bánh thành một hàng, khi đó có 9 khoảng trống ở giữa các chiếc bánh. Để chia
10 chiếc bánh thành 3 phần mà mỗi phần có ít nhất một chiếc, người ta đặt hai chiếc đũa vào 2
khoảng trống trong 9 khoảng trống đó. Tuy nhiên vai trò hai chiếc đũa là như nhau nên có tất cả
9.8
 36 cách chia
2

Ví dụ 3
Tổ của lớp
có học sinh nam và học sinh nữ. Hỏi có bao nhiêu cách xếp bạn học
sinh vào dãy ghế đặt theo hàng ngang sao cho bạn học sinh nam không đứng cạnh nhau?
Lời giải
Có 4 vị trí để xếp 4 học sinh nữ
+ Vị trí 1: có 4 cách xếp
+ Vị trí 2: có 3 cách xếp
+ Vị trí 3: có 2 cách xếp
+ Vị trí 4: có 1 cách xếp
Ta có 4 học sinh nữ tạo thành 5 vách ngăn, ta đặt 2 học sinh nam vào 5 vách ngăn đó
+ Học sinh nam thứ nhất: có 5 cách chọn
+ Học sinh nam thứ hai: có 4 cách chọn
Theo quy tắc nhân: 4.3.2.1.5.4  480 cách chọn

Ví dụ 4
Có bao nhiêu cách xếp bạn nam và
có hai bạn nam nào ngồi cạnh nhau.

bạn nữ vào một bàn tròn có 12 chỗ ngồi, sao cho không

Lời giải
Xếp 7 bạn nam vào bàn tròn có 1.6.5.4.3.2.1  720 cách xếp.
Khi đó 7 bạn nam chia vòng tròn quanh bàn thành 7 khoảng trống.
Xếp 5 bạn nữ vào 7 khoảng trống đó sao cho mỗi khoảng trống xếp nhiều nhất một bạn nữ. Số
cách xếp 5 bạn nữ là: 7.6.5.4.3  2520 cách xếp.
Theo quy tắc nhân có: 720  2520  1814400 cách xếp.
Trang 5

DẠNG 2: ĐẾM GIÁN TIẾP.
1. Nội dung phương pháp
Để đếm số cách thực hiện một công việc nào đó, mà phương pháp đếm trực tiếp có nhiều
phương án, nhiều công đoạn phức tạp, người ta có thể sử dụng phương pháp đếm phần bù, nghĩa là
bỏ bớt đi một giả thiết quan trọng  P  nào đó gây ra sự phức tạp và đếm số cách thực hiện công
việc đó ta được m cách thực hiện. Trong số cách thực hiện đó ta đếm số cách thực hiện công việc
mà không thỏa mãn giả thiết quan trọng  P  được n cách thực hiện. Từ đó suy ra có m  n cách
thực hiện công việc đã cho.
2. Ví dụ minh họa

Ví dụ 1
Có bao nhiêu cách xếp 5 học sinh A, B, C, D, E vào một chiếc ghế dài sao cho bạn C không ngồi
chính giữa.
Lời giải
Số cách xếp 5 học sinh vào 5 vị trí là 5.4.3.2.1=120 cách.
Ta đếm số cách xếp để bạn C ngồi chính giữa.
Ta xếp C vào chính giữa, sau đó xếp A, B, D ,E.
Có 1 cách xếp C.
Xếp A vào 4 vị trí còn lại có 4 cách.
Xếp B vào 3 vị trí còn lại có 3 cách.
Xếp C vào 2 vị trí còn lại có 2 cách.
Xếp E vào 1 vị trí còn lại có 1 cách.
Như vậy theo quy tắc nhân có 1.2.3.4=24 cách xếp sao cho C không ngồi giữa.
Do đó có 120  24  96 cách xếp sao cho C ngồi giữa.

Ví dụ 2
Trong mặt phẳng có 5 điểm phân biệt A, B, C, D, E. Hỏi có bao nhiêu véc tơ có điểm đầu và
điểm cuối là các điểm A, B, C, D, E thỏa mãn điểm A không phải là điểm đầu?
Lời giải
* Ta đếm số véc tơ được tạo thành từ 5 điểm.
Có 5 cách chọn điểm đầu.
Có 4 cách chọn điểm cuối trong 4 điểm còn lại.
Như vậy có tất cả 20 véc tơ.
* Ta đếm số cách chọn véc tơ được tạo thành từ 5 điểm mà điểm A là điểm đầu.
Ta chỉ cần chọn điểm cuối trong 4 điểm còn lại. Nên có 4 cách chọn.
Vậy có 20  4  16 véc tơ thỏa mãn.

Trang 6

Ví dụ 3
Đội thanh niên xung kích của một trường phổ thông có 12 học sinh, gồm 5 học sinh lớp T, 4 học
sinh lớp L và 3 học sinh lớp H. Cần chọn ra 3 học sinh tham gia trực tuần sao cho 3 học sinh đó
thuộc không quá 2 trong 3 lớp nói trên. Hỏi có bao nhiêu cách chọn?
Lời giải
* Ta đếm số cách chọn 3 học sinh bất kì trong 12 học sinh.
Chọn bạn thứ nhất có 12 cách. Chọn bạn thứ 2 từ 11 bạn còn lại có 11 cách. Chọn bạn thứ 3 từ 3
bạn còn lại có 10 cách.
12.11.10
 220 cách.
Mà mỗi cách chọn như vậy lặp lại 6 lần nên có tất cả
6
*Ta đếm số cách chọn 3 học sinh ở cả 3 lớp.
Chọn 1 HS lớp T có 5 cách. Chọn 1 HS lớp L có 4 cách. Chọn 1 HS lớp H có 3 cách.
Theo quy tắc nhân có tất cả 5.4.3=60 cách.
Vậy có 220  60  160 cách.

Ví dụ 4
Mỗi mật khẩu máy tính gồm 6 ký tự, mỗi ký tự hoặc là một cữ cái hoặc là một chữ số và mặt
khẩu phải có ít nhất một chữ số. Hỏi lập được bao nhiêu mật khẩu?
Lời giải
Mỗi ký tự có 26  10  36 cách chọn. Do đó chuỗi gồm 6 ký tự có 366 cách lập.
Số chuỗi 6 ký tự không có chữ số là 26 6 .
Vậy có tất cả 366  266  1867866560 mật khẩu.

Ví dụ 5
Có bao nhiêu cách xếp 5 học sinh A, B, C, D, E vào một chiếc ghế dài sao cho bạn C không ngồi
đầu.
Lời giải
Số cách xếp 5 học sinh vào 5 vị trí là 5.4.3.2.1=120 cách.
Ta đếm số cách xếp để bạn C ngồi đầu.
Ta xếp C trước, sau đó xếp A, B, D ,E.
Có 2 cách xếp C.
Xếp A vào 4 vị trí còn lại có 4 cách.
Xếp B vào 3 vị trí còn lại có 3 cách.
Xếp C vào 2 vị trí còn lại có 2 cách.
Xếp E vào 1 vị trí còn lại có 1 cách.
Như vậy theo quy tắc nhân có 2.1.2.3.4=48 cách xếp sao cho C ngồi giữa.
Do đó có 120  48  72 cách xếp sao cho C không ngồi đầu.

Trang 7

Ví dụ 6
Có 5 học sinh trong đó có An. Hỏi có bao nhiêu cách xếp 5 học sinh vào một dãy ghế đặt theo
hàng dọc sao cho An không đứng đầu hàng?
Lời giải
Giả sử 5 ghế được đánh số theo thứ tự từ 1 đến 5
Bước 1: Xếp 5 học sinh vào 5 ghế không phân biệt An ở vị trí nào
+ Vị trí thứ 1: có 5 cách xếp
+ Vị trí thứ 2: có 4 cách xếp
+ Vị trí thứ 3: có 3 cách xếp
+ Vị trí thứ 4: có 2 cách xếp
+ Vị trí thứ 5: có 1 cách xếp
Theo quy tắc nhân: 5.4.3.2.1  120 cách.
Bước 2: Xếp 5 học sinh vào 5 ghế nhưng An ở vị trí đầu tiên
+ Vị trí thứ 1: có 1 cách xếp
+ Vị trí thứ 2: có 4 cách xếp
+ Vị trí thứ 3: có 3 cách xếp
+ Vị trí thứ 4: có 2 cách xếp
+ Vị trí thứ 5: có 1 cách xếp
Theo quy tắc nhân: 1.4.3.2.1  24 cách.
Vậy số cách xếp 5 học sinh vào một dãy ghế đặt theo hàng dọc sao cho An không đứng đầu hàng là:
120  24  96 cách.

Ví dụ 7
Hội đồng quản trị của một công ty gồm 12 người, trong đó có 5 nữ. Từ hội đồng quản trị đó
người ta bầu ra 1 chủ tịch hội đồng quản trị, 1 phó chủ tịch hội đồng quản trị và 2 ủy viên. Hỏi
có mấy cách bầu sao cho trong 4 người được bầu phải có nữ.
Lời giải
- Bước 1: bầu 4 người tùy ý .
+ Bầu 1 chủ tịch hội đồng quản trị : có 12 cách
+ Bầu 1 phó chủ tịch hội đồng quản trị : có 11 cách
+ Bầu 2 ủy viên:
 Bầu ủy viên thứ nhất : có 10 cách.
 Bầu ủy viên thứ hai : có 9 cách.
Vì khi thay đổi thứ tự bầu 2 ủy viên thì cũng như nhau. Do vậy số cách bầu 2 ủy viên là

9.10
 45
2

cách
Số cách chọn là 12.11.45  5940 cách
- Bước 2: bầu 4 người toàn nam.
+ Bầu 1 chủ tịch hội đồng quản trị : có 7 cách
+ Bầu 1 phó chủ tịch hội đồng quản trị : có 6 cách
+ Bầu 2 ủy viên:
 Bầu ủy viên thứ nhất : có 5 cách.
 Bầu ủy viên thứ hai : có 4 cách.
Trang 8

Vì khi thay đổi thứ tự bầu 2 ủy viên thì cũng như nhau. Do vậy số cách bầu 2 ủy viên là

5.4
 10
2

cách
Số cách chọn là 7.6.10  420 cách
Như vậy số cách chọn là: 5940  420  5520 cách

Ví dụ 8
Một học sinh A thiết kế bảng điều khiển điện tử để mở cửa lớp mình. Bảng gồm 10 nút, mỗi nút
được ghi số từ 0 đến 9 và không có hai nút nào được ghi cùng một số. Để mở cửa cần nhấn liên
tiếp 3 nút khác nhau sao cho 3 số trên 3 nút đó theo thứ tự đã nhấn tạo thành 1 dãy số có tổng
lớn hơn 3. Học sinh B chỉ biết muốn mở cửa phải bấm liên tiếp 3 nút. Hỏi có bao nhiêu cách để
học sinh B có thể mở được cửa?
Lời giải
- Bước 1: Chọn 3 nút bất kì
+ Nút thứ nhất: có 10 cách.
+ Nút thứ hai: có 9 cách.
+ Nút thứ ba: có 8 cách.
Vậy số cách chọn: 10.9.8  720 cách
- Bước 2: Chọn 3 nút nhưng 3 số đó theo thứ tự đã nhấn tạo thành 1 dãy số có tổng nhỏ hơn hoặc
bằng 3
Chúng ta có các trường hợp có thể xảy ra  0;1;2 ,  0;2;1 , 1;0;2 , 1;2;0 ,  2;1;0  ,  2;0;1
Vậy số cách chọn: 6 cách
Như vậy số cách để học sinh B mở được cửa là: 720  6  714 cách

Ví dụ 9
Xét sơ đồ mạng điện như hình vẽ, có 7 công tắc khác nhau, mỗi công tắc có hai trạng thái đóng
và mở. Hỏi có bao nhiêu cách đóng-mở 7 công tắc để mạng điện thông mạch từ đến ?

Lời giải
Số cách đóng-mở 7 công tắc là 2  128 .
Đoạn PQ không thông mạch nếu cả hai đoạn AB và CD đều không thông mạch.
7

Số cách đóng- mở đoạn AB là 23 , số cách đóng-mở để AB thông mạch là 1 .
Do đó số cách đóng- mở để đoạn AB không thông mạch là 23  1 .
Tương tự số cách đóng -mở để đoạn CD không thông mạch là 24  1

Do đó số cách đóng- mở để đoạn PQ không thông mạch là  23  1 24  1  105 cách.
Vậy số cách đóng- mở để đoạn PQ thông mạch là: 128 105  23 cách.

Trang 9

Ví dụ 10
Một tổ có 5 bạn nam, trong đó có Q và 5 bạn nữ trong đó có T. Hỏi có bao nhiêu cách xếp xen
kẽ nam và nữ của tổ đó thành một hàng sao cho Q và T không đứng cạnh nhau.
Lời giải
Xếp 10 bạn thành một hàng, nam-nữ xen kẽ nhau có: 2.52.42.32.22.12  28.800 cách.
Xếp 10 bạn thành một hàng, nam-nữ xen kẽ nhau và Q-T đứng cạnh nhau ta thực hiện như sau:
- Xếp 4 nam và 4 nữ xen kẽ nhau (trừ Q và T) ra có: 2.42.32.22.12  1152 cách.
- Chèn cặp (Q-T) hoặc (T-Q) thích hợp vào một trong 9 khoảng trống ngăn cách bởi 8 bạn đã xếp.
Có 9 cách chèn.
Do đó có 1152.9  10368 cách xếp.
Vậy có tất cả: 28800 10368  18432 cách xếp thỏa mãn yêu cầu bài toán.

DẠNG 3: MỘT SỐ BÀI TOÁN ĐẾM SỐ CÁC SỐ TỰ NHIÊN THỎA MÃN ĐIỀU KIỆN
CHO TRƯỚC
A. Phương pháp
Để đếm số các số tự nhiên có n chữ số lập được từ một số chữ số cho trước, thỏa mãn điều
kiện K cho trước, ta gọi số lập được là a1a2 ...an và xếp các chữ số cho trước vào các vị trí

a1 , a2 , ..., an một cách thích hợp, thỏa mãn điều kiện K .
Trong quá trình đếm, ta cũng có thể phải chia thành nhiều trường hợp và trong mỗi trường
hợp có nhiều công đoạn. Từ đó sử dụng quy tắc cộng và quy tắc nhân để đếm. Một số bài toán có
thể phải sử dụng phương pháp đếm gián tiếp.
B. Ví dụ minh họa

Ví dụ 1
Có bao nhiêu số tự nhiên có

chữ số khác nhau lập thành từ các chữ số

, ,

, ,

?

Lời giải
Gọi abcd là số tự nhiên cần lập.
Khi đó
+ a  0 nên có 4 cách chọn.
+ b  a nên có 4 cách chọn.
+ c a; b nên có 3 cách chọn.
+ d a; b; c nên có 2 cách chọn.
Vậy có 4.4.3.2  96 số.

Ví dụ 2
Từ các chữ số , , , , , ,
có thể lập được bao nhiêu số tự nhiên có
nhau trong đó luôn có mặt chữ số ?

chữ số khác

Lời giải
Trang 10

Từ các chữ số trên ta có thể lập được 6.6.5  180 số có 3 chữ số khác nhau
Số các số có ba chữ số khác nhau lập từ các chữ số đã cho và không có mặt chữ số 2 là 5.5.4  100
số.
Vậy có 180 100  80 số thỏa đề.

Ví dụ 3
Có bao nhiêu số tự nhiên có 3 chữ số đôi một khác nhau được lập thành từ các chữ số
và số đó phải chia hết cho 3.
Lời giải
Từ 5 chữ số đã cho ta có 4 bộ gồm ba chữ số có tổng chia hết cho 3 là 1; 2; 3 , 1; 2; 6 ,

2; 3; 4 và 2; 4; 6 . Mỗi bộ ba chữ số này ta lập được 3! 6 số thuộc tập hợp S .
Vậy có 24 số thỏa mãn

Ví dụ 4
Cho tập hợp
hết cho

. Hỏi từ

có thể lập được bao nhiêu số tự nhiên chia

và có bốn chữ số.
Lời giải

Giả sử dang của mỗi số cần tìm là abcd . Chọn d 2;4;6;8 có 4 cách.
Chọn a , b có 9 2 cách. Để chọn c ta xét tổng S  a  b  d :
Nếu S chia cho 3 dư 0 thì c3;6;9 suy ra có 3 cách.
Nếu S chia cho 3 dư 1 thì c2;5;8 suy ra có 3 cách.
Nếu S chia cho 3 dư 2 thì c1;4;7 suy ra có 3 cách.
Do đó số các số chia hết cho 6 có bốn chữ số được lập từ X là 4.92.3  972 .

Ví dụ 5
Có bao nhiêu số có 5 chữ số chia hết cho

và chữ số hàng đơn vị là số nguyên tố
Lời giải

Gọi số cần tìm có dạng abcde  11k
Do số có tận cùng là số nguyên tố nên e  2;3;5;7
Suy ra k có tận cùng là 2 ; 3 ; 5 ; 7 .
Ta có số cần tìm có 5 chữ số nên 10010  11k  99990  910  11k  9090 .
Xét các bộ số  910;911,...919 ;  920;921;...929 ;  9080;9081...9089
9090  910
 818 bộ.
10
Mỗi bộ số sẽ có 4 số k thỏa mãn. Do đó số các số chia hết cho 11 và chữ số hàng đơn vị là số
nguyên tố 818.4  3272

Số các bộ số là

Trang 11

Ví dụ 6
Có bao nhiêu số Palindrome gồm năm chữ số ?
Lời giải
Số Palindrome thỏa mãn yêu cầu bài toán có dạng abcba .
Chữ số a có 9 cách chọn, chữ số b có 10 cách chọn, chữ số c có 10 cách chọn.
Theo quy tắc nhân có tất cả: 9.10.10  900 .

Ví dụ 7
Có bao nhiêu số tự nhiên có ba chữ số khác nhau không lớn hơn số 345?
Lời giải
Kí hiệu số có ba chữ số khác nhau là abc(a  0)  abc  345  a 1;2;3.
Trường hợp 1: a 1;2 , có 2 cách chọn a , có 9 cách chọn b và có 8 cách chọn c .
Suy ra có: 2.9.8  144 .
Trường hợp 3: a  3, b  4 , có 6 cách chọn c . Suy ra có 6 .

a  3, b 0;1;2 có 3 cách chọn b và 8 cách chọn c . Suy ra có 3.8  24 .
Vậy có 72  72  6  24  174 .

Ví dụ 8
Tìm số các ước số dương của

?

Lời giải
Mỗi ước số dương của A có dạng U  2 .3 .5 p.7q
m

 m, n,

n

p, q  ;0  m  3; 0  n  4;0  p  7;0  q  6 .

Do đó: m có 4 cách chọn; n có 5 cách chọn; p có 8 cách chọn và q có 7 cách chọn.
Suy ra có 4.5.8.7  1120 ước số dương của A .

Ví dụ 9
Từ các chữ số , , , , , ,
nhau trong đó luôn có mặt chữ số

có thể lập được bao nhiêu số tự nhiên có
và ?

chữ số khác

Lời giải
Gọi abc là số tự nhiên cần lập
TH1. a  2 , b  5  c có 5 cách chọn.
TH2. a  5 , b  2  c có 5 cách chọn.
TH3. a  2 , c  5  b có 5 cách chọn.
TH4. a  5 , c  2  b có 5 cách chọn.
TH5. b  2 , c  5  a  0 có 4 cách chọn.
TH6. b  5 , c  2  a  0 có 4 cách chọn.
Vậy có 28 số thỏa yêu cầu bài toán
Trang 12

Ví dụ 10
Có bao nhiêu số tự nhiên có 7 chữ số là số lẻ và chia hết cho .
Lời giải
Ta có các số lẻ chia hết cho 9 là dãy 1000017 , 1000035 , 1000053 ,., 9999999 lập thành một cấp số
cộng có u1  1000017 và công sai d  18 nên số phần tử của dãy này là

9999999  1000017
 1  500000 . Vậy số các số tự nhiên lẻ có 7 chữ số và chia hết cho 9 là 5.105 .
18

Ví dụ 11
Có bao nhiêu số tự nhiên có tám chữ số đôi một khác nhau và chia hết cho 45.
Lời giải
Gọi a là số có 8 chữ số khác nhau chia hết cho 45 .
Khi đó a chia hết cho 5 và 9 .
Trường hợp 1: a có hàng đơn vị bằng 0 ; 7 chữ số còn lại có chữ số 9 và 3 trong 4 bộ số 1;8 ,

2;7 , 3;6 , 4;5 .
Có 4 cách chọn 3 trong 4 bộ số nói trên, có 7.6.5.4.3.2.1  5040 cách xếp 7 chữ số đã chọn.
Áp dụng quy tắc nhân, có: 4.5040  20160 (số).
Trường hợp 2: a có hàng đơn vị bằng 5 ; 7 chữ số còn lại có chữ số 4 và 3 trong 4 bộ số 0;9 ,

1;8 , 2;7 , 3;6 .
* Không có bộ 0;9 : có 1 cách chọn 3 bộ số còn lại, có 7.6.5.4.3.2.1  5040 cách xếp 7 chữ số đã
chọn.
* Có bộ 0;9 : có 3 cách chọn 2 bộ số trong 3 bộ số còn lại, có 6.6.5.4.3.2.1  4320 cách xếp 7 chữ
số đã chọn. Áp dụng quy tắc nhân, có: 3.4320  12960 (số).
Vậy có 20160  5040  12960  38160 số.

Ví dụ 12
Có bao nhiêu số có 4 chữ số được viết từ các chữ số ,
chia hết cho ?

, ,

, ,

,

, ,

sao cho số đó

Lời giải
Đặt tập E  1, 2,3, 4,5,6,7,8,9 .

x 3
 d  5 hay d có 1 cách chọn.
Gọi số cần tìm có dạng x  abcd . Vì x 15  
x 5
 Chọn a có 9 cách  a  E  .


Chọn b có 9 cách  b  E  .



Khi đó tổng a  b  d sẽ chia hết cho 3 hoặc chia 3 dư 1 hoặc chia 3 dư 2 nên tương ứng
trong tứng trường hợp c sẽ chia hết cho 3 hoặc chia 3 dư 2 hoặc chia 3 dư 1 .
Trang 13

Nhận xét
 Các số chia hết cho 3 : 3 , 6 , 9 .
 Các số chia 3 dư 1 : 1 , 4 , 7 .
 Các số chia 3 dư 2 : 2 , 5 , 8 .
Mỗi tính chất như thế đều chỉ có 3 số nên c chỉ có đúng 3 cách chọn từ một số trong các bộ trên.
Vậy có 1.9.9.3  243 số thỏa yêu cầu.

Ví dụ 13
Tìm số các ước dương của số 490000?
Lời giải

B  490000  7 .10  2 .5 .7 .
2

4

4

4

2

Vì các ước số dương của B có dạng U  2m.5n.7 p

 m, n, p 

, 0  m  4, 0  n  4, 0  p  2

m có 5 cách chọn, n có 5 cách chọn, p có 3 cách chọn.

Áp dụng quy tắc nhân, có 5.5.3  75 ước dương của B .

Ví dụ 14
Cho các chữ số 1,2,5,7,8. Có bao nhiêu số lập ra gồm ba chữ số khác nhau từ 5 chữ số trên sao
cho số tạo thành bé hơn 278?
Lời giải
Gọi số có ba chữ số đã cho là abc , vì số đã cho bé hơn 278 nên ta có các khả năng sau:
Trường hợp 1: a  1 .
Chọn b có 4 cách, chọn c có 3 cách nên theo quy tắc nhân có 12 số thỏa yêu cầu.
Trường hợp 2: a  2, b  7 .
Chọn c có 2 cách nên có thêm 2 số thỏa yêu cầu.
Trường hợp 3: a  2, b  7 .
Chọn b có 2 cách và chọn c có 3 cách do đó có thêm 2.3  6 số thỏa yêu cầu.
Vậy có 12  2  6  20 số thỏa yêu cầu.

Ví dụ 15
Có bao nhiêu số tự nhiên có hai chữ số mà các chữ số hàng chục lớn hơn chữ số hàng đơn vị?
Lời giải
Kí hiệu số có hai chữ số thỏa mãn bài toán là ab  a  0, a  b  .
Với a  1 , có 1 cách chọn b là b  0 .
Với a  2 , có 2 cách chọn b là b0;1 .
...
Với a  9 , có 9 cách chọn b là b0;1;2;3;4;5;6;7;8 .
Vậy có 1  2  3  4  5  6  7  8  9  45 số thỏa mãn bài toán.

Trang 14

Ví dụ 16
Từ các chữ số thuộc tập

có thể lập được bao nhiêu số tự nhiên gồm 6

chữ số khác nhau sao cho mỗi số tự nhiên đó đều chia hết cho 18.
Lời giải
Giả sử số lập được có dạng a1a2a3a4a5a6 , a1  0 , ai  a j với i  j , i  1;6 , j  1;6 .


 a1  a2  a3  a4  a5  a6  9
a a a a a a 9

Ta có a1a2a3a4a5a6 18   1 2 3 4 5 6
.
a
2

a
a
a
a
a
a
2
6


 1 2 3 4 5 6
Vì  a1  a2  a3  a4  a5  a6  9 nên ta có các trường hợp sau
Trường hợp 1: a1 , a 2 , a3 , a 4 , a5 , a 6 được chọn từ X1  2;3;4;5;6;7
Suy ra có 3.5!  360 số.
Trường hợp 2: a1 , a 2 , a3 , a 4 , a5 , a 6 được chọn từ X 2  0;1;2;4;5;6
Trường hợp 3: a1 , a 2 , a3 , a 4 , a5 , a 6 được chọn từ X 3  0;1;2;3;5;7
Suy ra có 5! 1.4.4!  216 số.
Vậy có 360  408  216  984 số.
------------------------------------DẠNG 4: QUY TẮC CỘNG MỞ RỘNG
1. Nội dung quy tắc
Quy tắc cộng cho ta công thức tính số phần tử của hợp hai tập hợp hữu hạn không giao nhau. Tuy
nhiên trong nhiều trường hợp, chúng ta phải tính số phần tử của hợp hai tập hợp có giao khác rỗng.
Trong trường hợp này, khi cộng số phần tử của A với số phần tử của B , thì số phần tử của A  B
sẽ được tính hai lần, do vậy kết quả phải bớt đi số phần tử của A  B . Ta có quy tắc cộng mở rộng
sau:
Cho hai tập hợp hữu hạn bất kỳ A và B . Khi đó ta có công thức:
n  A  B   n  A  n  B   n  A  B 

Cho ba tập hợp hữu hạn bất kỳ A , B và C . Khi đó ta có công thức:

n  A  B  C   n  A  n  B   n C   n  A  B   n  A  C   n  B  C   n  A  B  C 

Trang 15

2. Ví dụ minh họa

Ví dụ 1
Trong trường THPT, khối 11 có 160 học sinh tham gia CLB tin học, 140 học sinh tham gia CLB
ngoại ngữ, 50 học sinh tham gia cả 2 CLB và 100 học sinh không tham gia CLB nào. Hỏi khối
11 trường đó có bao nhiêu học sinh?
Lời giải
Gọi tập hợp học sinh khối 11 tham gia CLB tin học và ngoại ngữ lần lượt là n  A , n  B  . Khi đó
tập hợp khối 11 tham gia CLB là n  A  n  B 
Theo bài ra ta có: n  A  160, n  B   140, n  A  B   50
Theo quy tắc cộng mở rộng: n  A  B   n  A  n  B   n  A  B   160  140  50  250
Vậy khối 11 đó có 250  100  350 học sinh.

Ví dụ 2
Tìm số các chuỗi 8 bit thỏa mãn điều kiện bit đầu tiên là 1 hoặc hai bit cuối là 0.
Lời giải
Gọi A là tập hợp các chuỗi 8 bit có bit đầu tiên là 1; B là tập hợp các chuỗi 8 bit có hai bit cuối
cùng là 0. Suy ra A  B là tập hợp các chuỗi 8 bit có bit đầu tiên là 1 và hai bit cuối là 0.





Giả sử S  s1.s2 ...s8 là chuỗi 8 bit có bit đầu tiên là 1. Vậy s1 có 1 cách chọn, si i  2,8 có 2 cách
chọn. Suy ra n  A  27 .
Tương tự: n  B   26 , n  A  B   25 .
Theo quy tắc cộng mở rộng:

n  A  B   n  A  n  B   n  A  B   27  26  25  160
Vậy có 160 chuỗi 8 bit có bit đầu tiên là 1 hoặc hai bit cuối là 0.

Ví dụ 3
Giờ kiểm tra môn toán có 3 bài, biết rằng mỗi học sinh làm được ít nhất 1 bài. Có 20 học sinh
làm được bài 1, có 14 học sinh làm được bài 2, có 10 học sinh làm được bài 3, có 6 học sinh làm
được bài 1 và 3, có 5 học sinh làm được bài 2 và 3, có 2 học sinh làm được bài 1 và 2, có 1 hoc
sinh làm được cả 3 bài. Hỏi lớp có bao nhiêu học sinh?
Trang 16

Lời giải
Gọi A là tập hợp các học sinh giải được bài 1, B là tập hợp các học sinh giải được bài 2, C là tập
hợp các học sinh giải được bài 3.
Ta có: n  A  20 , n  B   14 , n  C   10

n  A  B  2 , n  A  C   6 , n  B  C   5 , n  A  B  C   1.
Ta cần tính n  A  B  C   ?
Theo quy tắc cộng mở rộng:

n  A  B  C   n  A  n  B   n C   n  A  B   n  A  C   n  B  C   n  A  B  C 
 20  14  10  2  6  5  1  32 .
Vậy lớp có 32 học sinh.

Ví dụ 4
Có bao nhiêu số nguyên dương là các ước của ít nhất một trong hai số 5400 và 18000?
Lời giải
Đặt A  x 

/ 5400 x , B  x  /18000 x .

Yêu cầu bài toán tìm n  A  B  .
Ta có:
5400  23.33.52

18000  24.32.53
Vận dụng kết quả bài toán tổng quát đếm số ước nguyên dương ta được:

n  A   3  1 3  1 2  1  48
n  B    4  1 2  13  1  60
Mặt khác tập hợp A  B là tập hợp ước chung của 5400 và 18000. Vì thế A  B cũng là tập hợp
các ước dương của ước chung lớn nhất của 5400 và 18000.
Mà UCLN  5400,18000  23.32.52
Vậy ta có: n  A  B    3  1 2  1 2  1  36 .
Vậy theo quy tắc cộng mở rộng: n  A  B   n  A  n  B   n  A  B   48  60  36  72 .
CHÚ Ý: * Bài toán tổng quát: Để đếm số ước của số A ta thực hiện theo các bước sau:
Bước 1: Phân tích A ra thành thừa số nguyên tố.

A  p1n1 . p2n2 . p3n3 ... pknk , với pi  1, i  1, k và đôi một khác nhau.
Bước 2: Số d là ước của A phải có dạng:
d  p1a1 . p2a2 . p3a3 ... pkak , với 0  a1  n1 , 0  a2  n2 , 0  a3  n3 ,..., 0  ak  nk

*

Do đó ứng với mỗi số d là một cặp số  a1 , a2 , a3 ,..., ak  thỏa mãn điều kiện * . Vậy số các số d
bằng số cặp  a1 , a2 , a3 ,..., ak  .
Bước 3: Theo quy tắc nhân số các ước tự nhiên của A là  n1  1 n2  1 n3  1 ... nk  1

Trang 17

Ví dụ 5
Có bao nhiêu số nguyên của tập hợp

mà chia hết cho 3 hoặc 5?
Lời giải

Đặt S  1, 2,...,1000 ; A  k  S / k 3 ; B  k  S / k 5
Yêu cầu bài toán là tìm n  A  B  .

1000 
Ta có: n  A  
 333
 3 
1000 
n  B  
 200
 5 
Mặt khác ta thấy A  B là tập các số nguyên trong S chia hết cho cả 3 và 5 nên nó phải chia hết
cho bội chung nhỏ nhất của 3 và 5 mà BCNN  3,5  15 nên:

1000 
n  A  B  
 66 .
 15 
Theo quy tắc cộng mở rộng: n  A  B   n  A  n  B   n  A  B   333  200  66  467

Ví dụ 6
Trong tập

có bao nhiêu số không chia hết cho 2, 3 và 5?

Lời giải
Ta đếm xem trong tập S có bao nhiêu số chia hết cho ít nhất một trong các số 2,3,5.
Kí hiệu A1  k  S / k 2 , A2  k  S / k 3 , A3  k  S / k 5 .
Khi đó A1  A2  A3 là tập hợp các số chia hết cho ít nhất một trong các số 2,3,5.

 280 
 280 
 280 
Ta có: n  A1   
,
,
n
A


93
n
A


140




2
3
 3 
 5   56
 2 
Vì BCNN  2,3  6; BCNN  2,5  10; BCNN 3,5  15; BCNN  2,3,5  30 nên:

 280 
 280 
 280 
n  A1  A2   
 46 , n  A1  A3   
 28 , n  A2  A3   
 18


 6 
 10 
 15 
 280 
n  A1  A2  A3   
9
 30 
Do đó theo quy tắc cộng mở rộng:
n  A1  A2  A3   n  A1   n  A2   n  A3   n  A1  A2   n  A1  A3   n  A2  A3   n  A1  A2  A3 
 140  93  56  46  28 18  9  206
Vậy trong tập S có: 280  206  74 số không chia hết cho 2,3,5.

Trang 18

BÀI 2: HOÁN VỊ - CHỈNH HỢP - TỔ HỢP
A. HOÁN VỊ
I. HỆ THỐNG CÁC KIẾN THỨC CƠ BẢN
1. Định nghĩa: Cho tập A gồm n phần tử  n  1 . Mỗi kết quả của sự sắp thứ tự n phần tử của tập
A được gọi là một hoán vị của n phần tử đó...