PHƯƠNG TRÌNH – BẤT PHƯƠNG TRÌNH VÔ TỶ
LÝ THUYẾT

Để giải PT và BPT vô tỷ (chứa căn) thông thường ta có hai phương pháp cơ bản là nâng lên lũy thừa và đặt ẩn số phụ. Ngoài ra còn có một số cách khác như sử dụng bất đẳng thức (để đánh giá hai vế), sử dụng tính chất đơn điệu của hàm số, v.v… thường được dùng để giải các PT và BPT không mẫu mực.
I. Phương pháp nâng lên lũy thừa:
1. Các dạng cơ bản:






Ví dụ 1:

Ví dụ 2:

Ví dụ 3: Tìm m để phương trình sau có nghiệm
(1)
Giải:

Vậy (1) có nghiệm
(2) có nghiệm trong
. Tức là tìm m để (2) có nghiệm trong
. Ta tìm m để (2) không có nghiệm trong
.
Trường hợp 1: (2) vô nghiệm


Trường hợp 2: (2) có nghiệm



Từ


Vậy giá trị m cần tìm là


2. Các dạng khác:
Ví dụ 1: Giải phương trình

Nhận xét: Phương trình không có dạng cơ bản, ta khử căn bằng cách bình phương thông thường.
Giải: Điều kiện



So với điều kiện
Nghiệm là

Ví dụ 2: Giải bất phương trình

Giải: Điều kiện



Từ

Nghiệm là

Nhận xét: Lúc đầu ta phải chuyển vế (2) rồi mới bình phương. Lý do là vế trái của (2) là hiệu của hai biểu thức không âm nên không đảm bảo vế trái không âm, do đó phải chuyển vế để hai vế không âm rồi mới bình phương.

Ví dụ 3: Giải phương trình

Giải: Phương trình (3) luôn luôn có nghĩa. Lập phương hai vế:


II. Phương pháp đặt ẩn số phụ:
Phương pháp đặt ẩn số phụ rất thường được áp dụng để giải PT và BPT vô tỷ trong các trường hợp phương pháp nâng lên lũy thừa làm cho PT và BPT phức tạp, không giải được. Việc chọn và đặt ẩn số là rất đa dạng, nhưng thông thường ta chọn và đặt ẩn phụ là những yếu tố giống nhau để biến đổi phức tạp về đơn giản.
Ví dụ 1: Giải bất phương trình

Nhận xét: Nếu bình phương hai vế cho đến lúc hết căn sẽ dẫn đến một bất phương trình bậc 4. Do đó ta nghĩ đến việc đặt ẩn phụ để giảm bậc. Trong bất phương trình trên có một yếu tố giống nhau giữa các căn thức là

Giải:
Điều kiện
. Đặt:

Khi đó:


Từ



Ví dụ 2: Giải phương trình

Nhận xét: Đây là dạng phương trình không đơn giản, chắc chắn bình phương hai vế sẽ không cho ta lời giải. Do đó ta nghĩ đến việc đặt ẩn phụ để biến đổi phức tạp về đơn giản. Ta nhận thấy quan hệ

Giải:
Điều kiện:

Đặt:
. Khi đó:





Từ




Ví dụ 3: Giải phương trình

Nhận xét: Đối với một PT hoặc BPT căn bậc cao thì rất tự nhiên ta nghĩ đến việc đặt ẩn phụ để giảm bậc. Ta nhận thấy đối với PT trên chỉ đặt 1 ẩn phụ là không đủ.
Giải:
Điều kiện:
. Đặt:

Từ đó ta có:
. Từ (5)

thế vào (4)

Vậy ta có:
.
Từ



Ví dụ 4: Giải bất phương trình

Nhận xét: Ta nhận thấy (4) có thể viết thành

Ta cũng nhận thấy

Giải:
Điều kiện:

Đặt:
với

Khi đó:



Từ

Từ

Chú ý: Giải thích cho
như sau: Áp dụng BĐT Cauchy ta có

III. Các phương pháp khác:
Như đã nói ở trên, trong một số trường hợp, ta có thể giải PT và BPT vô tỷ nói riêng và PT và BPT nói chung bằng một số cách không đặc trưng như: dùng bất đẳng thức, sử dụng tính chất của hàm số, phương pháp đồ thị, …
Ví dụ 1: Giải phương trình

Giải:


Ta có: Vế trái

Vế phải

Do đó dấu “=” chỉ có thể xảy ra khi
. Vậy nghiệm phương trình là


Ví dụ 2: Giải phương trình

Giải:
Xét hàm số
. Tập xác định:

Đạo hàm
. Ta có

Bảng biến thiên:




2





 + 0 -





 2