ĐẠI HỌC QUỐC GIA HÀ NỘI
TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC TỰ NHIÊN


---------- ( ----------


ĐỀ CƯƠNG MÔN HỌC
PHƯƠNG TRÌNH ĐẠO HÀM RIÊNG
1. Thông tin về giảng viên:
- Họ và tên: Hoàng Quốc Toàn
- Chức danh, học hàm, học vị: Phó giáo sư, Tiến sĩ
- Thời gian, địa điểm làm việc:
- Địa chỉ liên hệ:
- Điện thoại, email:
- Các hướng nghiên cứu chính:
2. Thông tin về môn học:
- Tên môn học: Phương trình đạo hàm riêng
- Mã môn học:
- Số tín chỉ: 03
- Giờ tín chỉ đối với các hoạt động học tập:
+ Nghe giảng lý thuyết trên lớp: 30 giờ tín chỉ.
+ Làm bài tập và thảo luận trên lớp: 12 giờ tín chỉ.
+ Tự học: 03 giờ tín chỉ.
- Đơn vị phụ trách môn học:
+ Bộ môn: Giải tích.
+ Khoa: Toán – Cơ – Tin học.
- Môn học tiên quyết: Giải tích 1, 2, 3, 4, Đại số tuyến tính 1, 2, Phương trình vi phân thường, Hàm biến phức, Giải tích hàm.
- Môn học kế tiếp:
3. Mục tiêu của môn học:
- Mục tiêu về kiến thức: Trang bị cho sinh viên những kiến thức cơ bản về phương trình vi phân đạo hàm riêng;
- Mục tiêu về kĩ năng: Nắm vững các phương pháp giải các bài toán biên cổ điển của phương trình vật lý toán nhằm ứng dụng vào các vấn đề thực tế. Giới thiệu cho sinh viên về phương trình tích phân và một số hàm đặc biệt cũng như ứng dụng của chúng trong việc giải các bài toán phương trình đạo hàm riêng và phương trình tích phân..
- Các mục tiêu khác (thái độ học tập…): Sinh viên có ý thức về môn học này như là một môn học tiên quyết cho các chuyên đề tự chọn của chuyên ngành của mình; cần chú ý các buổi thảo luận, các buổi luyện tập bài tập và cần thiết phải làm bài tập về nhà cũng như hoàn thành các phần công việc được giao.
4. Tóm tắt nội dung môn học: :
Chương trình Phương trình đạo hàm riêng cho lớp Toán gồm các nội dung chính sau đây:
Phân loại phương trình đạo hàm riêng tuyến tính cấp hai;
Phương trình Laplace và hàm điều hoà, các tính chất của hàm điều hoà, các bài toán biên Dirichlet và Neumann đối với hàm điều hoà. Lý thuyết thế vị.
Phương trình truyền sóng. Các bài toán Cauchy và bài toán hỗn hợp đối với phương trình truyền sóng. Phương pháp Fourier.
Phương trình truyền nhiệt. Nguyên lý cực đại cực tiểu đối với nghiệm của phương trình truyền nhiệt. Các bài toán Cauchy và bài toán hỗn hợp của phương trình truyền nhiệt.
5. Nội dung chi tiết môn học:
Chương 1: Mở đầu về phương trình đạo hàm riêng. Phân loại phương trình tuyến tính cấp 2. Khái niệm về đặc trưng.
Mở đầu về phương trình đạo hàm riêng.
Các định nghĩa cơ bản về phương trình đạo hàm riêng.
Các ví dụ dẫn đến phương trình đạo hàm riêng.
Phương trình dao động của dây.
Phương trình dao động của màng.
Phương trình truyền nhiệt trong môi trường đẳng hướng.
Phương trình Laplace.
Phân loại phương trình tuyến tính cấp 2 trong trường hợp hai biến.
Khái niệm về đặc trưng.
Bài toán Cauchy và bài toán Cauchy với dữ kiện cho trên mặt đặc trưng.
Sự phụ thuộc liên tục của nghiệm của bài toán biên đối với phương trình đạo hàm riêng vào các dữ kiện biên.
Chương II: Phương trình Laplace và hàm điều hoà
Phương trình Laplace và hàm điều hoà.
Định nghĩa hàm điều hoà.
Nghiệm cơ bản của phương trình Lapace.
Công thức Green đối với toán tử Laplace.
Biểu diễn tích phân của hàm điều hoà.
Các tính chất cơ bản của hàm điều hoà.
Định lý giá trị trung bình của hàm điều hoà.
Nguyên lý cực đại đối với hàm điều hoà.
Bài toán Dirichlet đối với phương trình Laplace.
Bài toán Dirichlet trong.
Định nghĩa bài toán Dirichlet trong. Định lý duy nhất và sự phụ thuộc liên tục của nghiệm vào dữ kiện biên.
Hàm Green đối với bài toán Dirichlet.
Hàm Green đối với hình cầu và công thức Poisson.
Định lý trung bình đảo. Các định lý Harnack và định lý Liouville.
Bài toán Dirichlet ngoài đối với phương trình Laplace.
Định nghĩa bài toán Dirichlet ngoài và định lý duy nhất và sự phụ thuộc liên tục của nghiệm vào dữ kiện biên.
Phép biến đổi Kenvin.
Công thức Poisson đối với miền ngoài của hình cầu.
Dáng điệu của hàm điều hoà tại vô tận.
Bài toán Neumann trong và ngoài đối với phương trình Laplace.