Phương pháp đặt ẩn phụ trong giải phương trình vô tỷ

Phương pháp đặt ẩn phụ trong giải phương trình vô tỷ
A. Phương pháp đặt ẩn phụ
Có 3 bước cơ bản trong phương pháp này : - Đặt ẩn phụ và gán luôn điều kiện cho ẩn phụ - Đưa phương trình ban đầu về phương trình có biến là ẩn phụ Tiến hành giải quyết phương trình vừa tạo ra này . Đối chiếu với điều kiện để chọn ẩn phụ thích hợp. - Giải phương trình cho bởi ẩn phụ vừa tìm được và kết luận nghiệm * Nhận xét : - Cái mấu chốt của phương pháp này chính là ở bước đầu tiên . Lí do là nó quyết định đến toàn bộ lời giải hay, dở , ngắn hay dài của bài toán . - Có 4 phương pháp đặt ẩn phụ mà chúng tôi muốn nêu ra trong bài viết này đó là : + PP Lượng giác hoá + PP dùng ẩn phụ không triệt để + PP dùng ẩn phụ đưa về dạng tích + PP dùng ẩn phụ đưa về hệ Sau đây là bài viết : B. Nội dung phương pháp
I. Phương pháp lượng giác hoá 1. Nếu
thì ta có thể đặt
hoặc
Ví dụ 1 :

Lời giải :
 ĐK :
Đặt
Phương trình đã cho trở thành :



cos(
)(
) = 0



Kết hợp với điều kiện của t suy ra :
Vậy phương trình có 1 nghiệm :
Ví dụ 2 :
Lời giải :
ĐK :
Khi đó VP > 0 . Nếu
Nếu
. Đặt
, với
ta có :


(
) (
) = 0

Vậy nghiệm của phương trình là
Ví dụ 3 :
 
Lời giải :
ĐK :
Đặt
phương trình đã cho trở thành :






Vậy nghiệm của phương trình là
Ví dụ 3 :

Lời giải :
 ĐK :
Đặt
phương trình đã cho trở thành :






Vậy phương trình có nghiệm duy nhất
Ví dụ 4

HD : Nếu
: phương trình không xác định . Chú ý với
ta có :
vậy để giải phương trình (1) ta chỉ cần xét với
Đặt
khi đó phương trình đã cho trở thành :

2. Nếu
thì ta có thể đặt :

Ví dụ 5 : 
 
Lời giải :
ĐK :
Đặt
Phương trình đã cho trở thành :








kết hợp với điều kiện của t suy ra
Vậy phương trình có 1 nghiệm :
TQ :
Ví dụ 6 :
 
Lời giải :
ĐK :
Đặt
phương trình đã cho trở thành :








(thỏa mãn) TQ :
với a,b là các hằng số cho trước :
3. Đặt
để đưa về phương trình lượng giác đơn giản hơn : Ví dụ 7 :
 
(1) Lời giải : Do
không là nghiệm của phương trình nên : (1)

(2) Đặt
. Khi đó (2) trở thành :


Suy ra (1) có 3 nghiệm :
Ví dụ 8 :
 
Lời giải :
ĐK :
Đặt
phương trình đã cho trở thành :












Kết hợp với điều kiện su ra :
Vậy phương trình có 1 nghiệm :
 
4. Mặc định điều kiện :
. sau khi tìm được số nghiệm chính là số nghiệm tối đa của phương trình và kết luận : Ví dụ 9 :
 
Lời giải : phương trình đã cho tương đương với :
(1) Đặt
: (1) trở thành :


Suy ra (1) có tập nghiệm :
Vậy nghiệm của phương trình đã cho có tập nghiệm chính là S


Phương pháp đặt ẩn phụ trong giải phương trình vô tỷ (2)
II. Phương pháp dùng ẩn phụ không triệt để * Nội dung phương pháp : Đưa phương trình đã cho về phương trình bậc hai với ẩn là ẩn phụ hay là ẩn của phương trình đã cho : Đưa phương trình về dạng sau :
khi đó : Đặt
. Phương trình viết thành :
Đến đây chúng ta giải t theo x. Cuối cùng là giải quyết phương trình
sau khi đã đơn giản hóa và kết luận : Ví dụ 1 :
 
(1) lời giải :
ĐK :
Đặt