Chương

1

PHƯƠNG TRÌNH VÀ
HỆ PHƯƠNG TRÌNH

BÀI 1. PHƯƠNG TRÌNH QUY VỀ PHƯƠNG TRÌNH BẬC NHẤT MỘT ẨN
I. TÓM TẮT LÝ THUYẾT:
1. PHƯƠNG TRÌNH TÍCH:
 Phương trình bậc nhất có dạng ax+b=0 (a khác 0) Trong đó: a, b thuộc R, và a
 Nếu a  0, tìm được nghiệm duy nhất của phương trình
 Nếu a = 0, b  0 , phương trình vô nghiệm
 Nếu a = 0, b = 0, phương trình vô số nghiệm
1.2 Phương trình bậc nhất một ẩn có dạng A(x)=B(x) nếu A(xo) = B(xo) thì một
phương trình có thể có:
 một, hai, ba,… nghiệm; vô nghiệm; vô số nghiệm.
 Giải một phương trình là tìm nghiệm của phương trình như sau:
- Muốn giải phương trình

ta giải hai phương trình

và

rồi lấy tất cả các nghiệm của chúng.

1.3 Phương trình tích có dạng (a1x+b1)(a2x+b2)=0
 Ta giải 2 phương trình trong 2 ngoặc của phương trình:
rồi lấy tất cả nghiệm của chúng.
a1x+b1=0 hoặc a2x+b2=0
Lưu ý: Trong một nhiều trường hợp, để giải phương trình ta đưa phương trình đó về
dạng phương trình tích
Ví dụ1: 3x2-12x=0
3x(x-4)=0
3x=0 hoặc x-4=0
x=0 hoặc x=4
Vậy phương trình có hai nghiệm là x=0 và x=4
2. PHƯƠNG TRÌNH CHỨA ẨN Ở MẪU QUY VỀ PHƯƠNG TRÌNH BẬC NHẤT
2.1 Khái niệm phương trình chứa ẩn ở mẫu:
- Phương trình có chứa phân thức có chứa biến ở mẫu gọi là phương trình chứa ẩn ở
mẫu
- Đối với phương trình chứa ẩn ở mẫu, điều kiện của ẩn sao cho các phân thức chứa
trong phương trình đều xác định gọi là điều kiện xác định của phương trình.
Nhận xét:
a) Để tìm điều kiện xác định của phương trình chứa ẩn ở mẫu, ta đặt điều kiện của ẩn

để tất cả các mẫu thức chứa trong phương trình đều khác 0.
b) Những giá trị của ẩn không thõa mãn điều kiện xác định thì không thể là nghiệm
của phương trình.
2.2 Cách giải phương trình chứa ẩn ở mẫu:
Bước 1. Tìm điều kiện xác định của phương trình
 Là các giá trị số của ẩn làm cho các mẫu thức có mặt trong phương trình khác 0.
Nhiều khi ta cần
 Phân tích các mẫu thức thành nhân tử mới xác định đúng ĐKXĐ của PT và dễ dàng
tìm MTC hơn.
Bước 2. Quy đồng mẫu thức hai vế của phương trình, rồi khử mẫu
 Quan sát các mẫu thức để xác định nhanh biểu thức chia hết cho các mẫu thức còn
lại. Nhiều khi ta cần đổi dấu phân thức để có MTC ( có thể phân tích các mẫu thức
thành nhân tử để xác định MTC ).
 Tìm nhân tử phụ của mỗi phân thức và viết phép nhân các nhân tử phụ với tử thức
tương ứng để được một phương trình mới tương đương với PT đã cho.
Bước 3. Giải phương trình vừa nhận được
 Trình bày phép nhân có trong PT đã khử mẫu, chuyển vế (đổi dấu các hạng tử di
chuyển )
 Thu gọn các hạng tử đồng dạng, đưa về PT bậc nhất hoặc PT tích để tìm giá trị của
ẩn.
Bước 4. Xét mỗi giá trị vừa tìm được ở Bước 3, giá trị nào thỏa mãn điều kiện xác
định đó là nghiệm của phương trình đã cho
Bước 5. Kết luận
II. CÁC DẠNG BÀI TẬP:
A. BÀI TẬP TRẮC NGHIỆM KHÁCH QUAN:
Câu 1: Phương trình chứa ẩn ở mẫu là:
A.

;

C.

B.
;

;

D.

x +3 3 x−5
=
2
x
4 x−9 là:
Câu 2: Điều kiện xác định của phương trình
A.

và

C.

và

;
;

B.

;

D.

Câu 3: Điều kiện xác định của phương trình
A.
C.

B.
và

Câu 4: Phương trình

D. Xác định với mọi x thuộc R.
có tập nghiệm là:

là :

A.

;

C.

B.

;

2 x +1 x−2
=
2+x
x
Câu 5:

D.

.

⇔

(ĐKXĐ:

A. Đúng

B. Sai .

A. Đúng

B. Sai .

Câu 7: Giải phương trình

ta được nghiệm là :

B.

C.

Câu 8: Giải phương trình
A.

)

⇔

Câu 6:

A.

và

D.
ta được nghiệm là :

B.

C.

D.

Câu 9: Giải phương trình

ta được nghiệm là :

A.
B.
C.
D. Vô nghiệm
Câu 10: Giá trị của m để phương trình ( x + 2 )( x - m ) = 4 có nghiệm x = 2 là?
A. m = 1.   
B. m = ± 1.
C. m = 0.   
D. m = 2.
B. BÀI TẬP TỰ LUẬN:
DẠNG 1. TÌM ĐIỀU KIỆN XÁC ĐỊNH
Bài 1: Tìm điều kiện xác định các phương trình sau:
a)

b)

c)
Bài 2: Tìm điều kiện xác định các phương trình sau:
y+5 y+1
3 a−1 a−3
−
+
a) y−1 y−3 =0
b) 3 a+1 a+3 =0

DẠNG 2. GIẢI PHƯƠNG TRÌNH
Bài 1: Giải tất cả các phương trình sau:
a)
b)

e)
f)
g)

h) 5x – 30 = 0
i) 5x(2x-3)=0

c)
d)
Bài 2: Giải tất cả các phương trình sau:

a)

e)

b)

f)

c)

g)

d)

h)

Bài 3: Giải tất cả các phương trình sau:

a)
g)

1+

1
12
= 3
2+ x x +8

b)
h)

2 x +3
3
2
−
=
i) 2 x−3 4 x−6 5

c)
d)

j)

e)

1
=5
1+x
f)

k)

x+1
5
12
−
= 2
+1
x−2 x +2 x −4

(

x+1 x−1
x−1
−
=3 x 1−
x−1 x +1
x +1

)

Bài 4: Tìm giá trị của x

x
x
2x
+
=
g) 2 x−6 2 x +2 ( x +1)( x−3 )
1
7
1
−
=
h) x−1 x−2 ( x−1 )(2−x )

a) 3x2 – 7x - 10 = 0
b) x2 – 3x + 2 = 0
c) x2 - 49x - 50 = 0
d)
e)

i)
f)

j)

Bài 5: Giải các phương trình:

d)
a)
b)

x +2 x +1
4
−
=
x +3 x−1 ( x+3)( x−1 )

2

x
x
=
c) 5+ x x−2

e)
f)

Bài 6: Giải các phương trình:

a) 5x(2x-3)=0
b) (2x-5)(3x+6)=0

c)
d)

Bài 7: Giải các phương trình:

a)

c)

b)

d)

Bài 8: Giải các phương trình:

a)

c)

b)

d)

Bài 9: Giải các phương trình sau: (Đặt ẩn phụ)

a)

b)

c)

d)

e)

f)

DẠNG 3. GIẢI BÀI TOÁN BẰNG CÁCH LẬP PHƯƠNG TRÌNH TÍCH
Bài 1. Một người đi xe đạp từ A đến B cách nhau 60 km. Sau 1 giờ 40 phút, một xe máy
cũng đi từ A đến B và đến B sớm hơn xe đạp 1 giờ. Tính tốc độ của mỗi xe, biết rằng tốc
độ của xe máy gấp 3 lần tốc độ của xe đạp.
Bài 2. Một xí nghiệp dự định chia đều 12 600 000 đồng để thưởng cho các công nhân
tham gia hội thao nhân ngày thành lập xí nghiệp. Khi đến ngày hội thao chỉ có 80% số
công nhân tham gia, vì thế mỗi người tham gia hội thao được nhận thêm 105 000 đồng.
Tính số công nhân dự định tham gia lúc đầu.
Bài 3. Giải bài toán bằng cách lập phương trình: Tính kích thước của hình chữ nhật biết
chiều dài hơn chiều rộng là 3 (m) và diện tích bằng 180m2.
Bài 4. Một phân số có tử số nhỏ hơn mẫu số là 11. Nếu tăng tử số lên 3 đơn vị và giảm
mẫu số đi 4 đơn vị thì ta được phân số mới bằng

. Tìm phân số ban đầu.

Bài 5. Tính tuổi của hai người, biết rằng cách đây 10 năm tuổi người thứ nhất gấp 3 lần
tuổi của người thứ hai và sau đây hai năm, tuổi người thứ hai sẽ bằng một nửa tuổi của
người thứ nhất.