Phương pháp giải hình học giải tích trong không gian
- 0 / 0
-
Nguồn:
Người gửi: Nguyễn Văn Hải
Ngày gửi: 07h:48' 22-04-2008
Dung lượng: 751.5 KB
Số lượt tải: 183
Người gửi: Nguyễn Văn Hải
Ngày gửi: 07h:48' 22-04-2008
Dung lượng: 751.5 KB
Số lượt tải: 183
Số lượt thích:
0 người
Ph¬ng ph¸p gi¶i h×nh häc gi¶i tÝch trong kh«ng gian
H×nh häc gi¶i tÝch trong kh«ng gian lu«n cã trong c¸c ®Ò thi vµo ®¹i häc, tèt nghiÖp trung häc phæ th«ng, bµi viÕt nµy lµ tæng îp tÊt c¶ c¸c d¹ng cña ®Ò thi. Mong bµi viÕt nµy cã thÓ gióp cho c¸c b¹n cã thÓ häc tèt vµ lµm bµi h×nh häc gi¶I tÝch ®îc tèt h¬n trong c¸c k× thi.
A,Lý thuyÕt:
Quy t¾c h×nh hép: ABCDA’B’C’D’ lµ h×nh hép th× :
3 vect¬ ®ång ph¼ng: ®ång ph¼ng khi :
HoÆc sao cho
HoÆc
TÝch v« híng cña 2 vect¬: cho
Ta cã :
TÝnh chÊt:
+, cïng ph¬ng
+, vµ
+,
+,
HÖ qu¶:
+,
+, (diÖn tÝch h×nh b×nh hµnh)
+, (thÓ tÝch h×nh hép)
+, (thÓ tÝch tø diÖn)
+, ®ång ph¼ng
kh«ng ®ång ph¼ng
+, Gãc cña 2 mÆt ph¼ng : lµ:
B, Ph¬ng ph¸p gi¶i:
I,MÆt ph¼ng:
PTTQ(ph¬ng tr×nh tæng qu¸t) mÆt ph¼ng(mp)qua vµ cã VTPT(vect¬ ph¸p tuyÕn) lµ:
hay : víi
PTMP(ph¬ng tr×nh mÆt ph¼ng)qua cã ph¬ng tr×nh(pt) lµ:
KÕt qu¶:
+,
+,
+,
+,PTMT to¹ ®é oxy: z=0
+,PTMT to¹ ®é oxz: y=0
+,PTMT to¹ ®é oyz: x=0
VÞ trÝ t¬ng ®èi cña mÆt th¼ng vµ mÆt ph¼ng:
Cho
Ph¬ng tr×nh chïm mÆt ph¼ng:
TËp hîp c¸c mÆt ph¼ng chøa ®êng th¼ng ®îc gäi lµ chïm mÆt ph¼ng x¸c ®Þnh bëi mp vµ mp . NÕu vµ th× ph¬ng tr×nh mÆt ph¼nglµ:
(*) víi
ph¬ng tr×nh (*) cã thÓ viÕt l¹i:
C¸c vÊn ®Ò: ViÕt PTMP(ph¬ng tr×nh mÆt ph¼ng):
PTMPqua vµ cã VTPT
+,X¸c ®Þnhcña mp
+,X¸c ®Þnh VTPT
+,¸p dông c«ng thøc :
PTMPqua vµ cã cÆp VTCP(vect¬ chØ ph¬ng)
(víi cã gi¸ song song hoÆc n»m trªn mp)
+,T×m VTPT
+,lµ mp qua vµ cã VTPT
PTMPqua 3 ®iÓm kh«ng th¼ng hµng A,B,C
+,T×m
+,T×m VTPT
+,lµ mp qua A vµ cã VTPT
PTMPqua vµvu«ng gãc víi 2 mpvµc¾t nhau
+,T×m VTPT cñavµlµ vµ
+,T×m VTPT cña
+,lµ mp qua vµ cã VTPT
PTMPqua vµ qua giao tuyÕn 2mp c¾t nhau lµvµ
+,cã d¹ng : (*) víi
+,qua thÕ vµo ph¬ng tr×nh (*)
+,Rót ra m theo n chän m,n råi thÕ vµo phong tr×nh (*)
PTMPqua vµ vu«ng gãc víi ®êng th¼ng (d)
+,T×m VTCP cña (d)
+,lµ mp qua vµ cã VTPT =
PTMPqua vµ chøa ®êng th¼ng (d)
TH1: (d) cã d¹ng tæng qu¸t
+, T×m PTMPta dïng c«ng thøc chïm mp.
TH2: (d) cã d¹ng chÝnh t¾c
C¸ch 1:
+, ChuyÓn ph¬ng tr×nh (d) vÒ d¹ng ph¬ng tr×nh t«ng qu¸t
+,Dïng c«ng thøc chïm mp
C¸ch 2:
+,T×mvµ cã VTCP cña (d)
+,T×m
+,lµ mp qua vµ cã VTPT
PTMPchøa ®êng th¼ngvµ //
+,T×mvµ cã VTCP cña
+,T×m VTCP cña
+,T×m
+,lµ mp qua A vµ cã VTPT
II,§êng th¼ng:
PTTQ(ph¬ng tr×nh tæng qu¸t):
VTCP(vect¬ chØ ph¬ng):
§Æc biÖt:
+,ph¬ng tr×nh trôc ox:
+,ph¬ng tr×nh trôc oy:
+,ph¬ng tr×nh trôc oz:
PTTS(ph¬ng tr×nh tham sè): (d) quavµ cã VTCP :
(d) :
PTCT(ph¬ng tr×nh chÝnh t¾c): (d) :
VÞ trÝ t¬ng ®èi cña ®êng th¼ng vµ ®êng ph¼ng:
Cho qua vµ cã VTCP
quavµ cã VTCP
chÐo nhau kh«ng ®ång ph¼ng
®ång ph¼ng ®ång ph¼ng
®ång ph¼ng
c¾t nhau
kh«ng cïng ph¬ng
cïng ph¬ng
song song
cïng ph¬ng
trïng nhau
Cã víi
C¸c vÊn ®Ò: ViÕt PT§T(ph¬ng tr×nh ®êng th¼ng)
TH1:§êng th¼ng (d) ®îc x¸c ®Þnh bëi 1 ®iÓm vµ 1 VTCP
PT§T (d) quavµ cã VTCP
+,Dïng PTTS hay PTCT
PT§T (d) quavµ (d) song sonh víi 1 ®êng th¼ngcho tríc
+,T×m VTCPcña (d)
+,(d) lµ ®êng th¼ng quavµ cã VTCP
PT§T (d) quavµ (d) song sonh víi 2 mp c¾t nhau
+,T×m VTPT cña mp :
T×m VTPT cña mp:
+,T×m
+,(d) lµ ®êng th¼ng quavµ cã VTCP
PT§T (d) quavµ
+T×m VTPT cña mplµ
+,(d) lµ ®êng th¼ng quavµ cã VTCP =
PT§T (d) quavµ (d) vu«ng gãc víi 2 ®êng th¼ngvµ
+,T×m VTCP cñalµ
+,T×m VTCP cñalµ
Gäi
+,(d) lµ ®êng th¼ng quavµ cã VTCP
PT§T (d) qua,vµ (d) c¾t
+,LËp PTMP qua vµ
+,T×m giao ®iÓm N cñavµ
+,(d) lµ ®êng th¼ng ®i qua 2 ®iÓmvµ N
PT§T (d) quavµ (d) c¾t 2 ®êng th¼ng,cho tríc
C¸ch 1:
+, LËp PTMPqua vµ
+,T×m giao ®iÓm N cñavµ
+,(d) lµ ®êng th¼ng qua,N
+,Chøng tá (d) c¾t
C¸ch 2:
+, LËp PTMPqua vµ
+, LËp PTMPqua vµ
+,(d) lµ giao tuyÕn cñavµ
+,Chøng tá (d) c¾t ,
PT§T (d) qua,vµ (d) c¾t
+,LËp PTMP qua vµ
+,T×m giao ®iÓm N cñavµ
+, (d) lµ ®êng th¼ng qua M,N
TH2: (d) x¸c ®Þnh lµ giao tuyÕn cña 2 mÆt ph¼ng:
Ph¬ng tr×nh ®êng vu«ng gãc chung cña 2 ®êng th¼ng chÐo nhauvµ
+,Trong kh«ng gian cho 2 ®êng th¼ng chÐo nhau:
qua vµ cã VTCP
quavµ cã VTCP
gäi
+,Gäilµ mp quavµ cã VTPT
+,Gäilµ mp quavµ cã VTPT
+,§êng vu«ng gãc chung cñavµlµ giao tuyÕn cña vµ
(d) qua giao ®iÓm M cña mpvµ ®êng th¼ngvµ
C¸ch 1:
+,T×m to¹ ®é giao ®iÓm cñavµ
+,LËp ph¬ng tr×nh mpqua ®iÓm M vµ
+,(d) lµ giao tuyÕn cña 2 mp vµ
C¸ch 2:
+,T×m to¹ ®é giao ®iÓm cñavµ
+,T×m VTCP cña
T×m VTPT cña
T×m
+, (d) lµ ®êng th¼ng qua M vµ cã VTCP
vµc¾tvµ
+, LËp mpchøavµ
+,LËp mpchøavµ
+, (d) lµ giao tuyÕn cñavµ
+,Chóng tá c¾tvµ
Ph¬ng tr×nh h×nh chiÕu (d’) cña (d) lªn mp
+,T×mvµ cã VTCP cña(d)
+,T×m VTPT cña
+,T×m
+,Gäi lµ mp chøa (d) vµ
qua A vµ co VTPT . ViÕt PTMP
+,H×nh chiÕu (d’) cña (d) lªn mplµ giao tuyÕn cñavµ.PT§T (d’) lµ:
VÞ trÝ t¬ng ®èi cña ®êng th¼ng vµ mÆt ph¼ng:
Cho (d) : qua vµ cã VTCP vµ mÆt ph¼ng cã VTPT
c¾t
cïng ph¬ng
víi vµ
Kho¶ng c¸ch :
Kho¶ng c¸ch tõ mÆt ph¼ng
Kho¶ng c¸ch tõ ®Õn (d) : qua vµ cã VTCP
Kho¶ng c¸ch gi÷a 2 ®êng th¼ng chÐo nhau:
Trong kh«ng gian cho 2 ®êng th¼ng chÐo nhau:
qua vµ cã VTCP
quavµ cã VTCP
Chó ý: cã thÓ tÝnh kho¶ng c¸ch gi÷a vµ b»ng c¸ch lËp ph¬ng tr×nh mÆt ph¼ngchøavµ // . TÝnh kho¶ng c¸ch tõ
MÆt cÇu:
Ph¬ng tr×nh mÆt cÇu (S) t©m I(a,b,c) b¸n kÝnh R:
Hay:
®iÒu kiÖn:
Ph¬ng tr×nh ®êng trßn:
B¸n kÝnh
Víi R: b¸n kÝnh mÆt cÇu (S)
d: kho¶ng c¸ch tõ t©m I
§iÒu kiÖn tiÕp xóc cña mÆt ph¼ng vµ mÆt cÇu (S) lµ:
C¸c d¹ng ®Ò thêng gÆp :
D¹ng 1: Cho ®êng th¼ng (d) : vµ ®iÓm . T×m ®iÓm ®Ó
PP: C1: do sau ®ã ta tÝnh MH
C2: Do ta cã:
D¹ng 2: Cho mp. Cho 2 ®iÓm A,B. T×m ®Ó
PP: Ta ph©n ra 2 trêng hîp:
TH 1: A,B cïng n»m vÒ mét phÝa ®èi víi mp:
+, ViÕt ptr×nh ®êng th¼ng (d) qua A vµ (d)// .
Gäi I lµ giao ®iÓm cña (d) vµnªn to¹ ®é I lµ nghiÖm hÖ ph¬ng tr×nh
Gäi A’ lµ ®iÓm ®èi xøng cña A qua nªn I lµ trung ®iÓm cña AA’
+, ViÕt ph¬ng tr×nh ®êng th¼ng BA’
+, T×m to¹ ®é giao ®iÓm M cña BA’ vµ
+, Ta cã: víi M’ lµ ®iÓm bÊt k× thuéc
VËy khi M lµ giao ®iÓm cña ®êng th¼ng A’B víi mp
TH 2: A,B ë kh¸c phÝa:
+, ViÕt ptr×nh ®êng th¼ng AB
+, T×m to¹ ®é giao ®iÓm M cña AB vµ
+, Ta cã Víi M’ lµ ®iÓm bÊt k× thuéc
VËy khi M lµ giao ®iÓm cña ®êng th¼ng AB vµ
H×nh häc gi¶i tÝch trong kh«ng gian lu«n cã trong c¸c ®Ò thi vµo ®¹i häc, tèt nghiÖp trung häc phæ th«ng, bµi viÕt nµy lµ tæng îp tÊt c¶ c¸c d¹ng cña ®Ò thi. Mong bµi viÕt nµy cã thÓ gióp cho c¸c b¹n cã thÓ häc tèt vµ lµm bµi h×nh häc gi¶I tÝch ®îc tèt h¬n trong c¸c k× thi.
A,Lý thuyÕt:
Quy t¾c h×nh hép: ABCDA’B’C’D’ lµ h×nh hép th× :
3 vect¬ ®ång ph¼ng: ®ång ph¼ng khi :
HoÆc sao cho
HoÆc
TÝch v« híng cña 2 vect¬: cho
Ta cã :
TÝnh chÊt:
+, cïng ph¬ng
+, vµ
+,
+,
HÖ qu¶:
+,
+, (diÖn tÝch h×nh b×nh hµnh)
+, (thÓ tÝch h×nh hép)
+, (thÓ tÝch tø diÖn)
+, ®ång ph¼ng
kh«ng ®ång ph¼ng
+, Gãc cña 2 mÆt ph¼ng : lµ:
B, Ph¬ng ph¸p gi¶i:
I,MÆt ph¼ng:
PTTQ(ph¬ng tr×nh tæng qu¸t) mÆt ph¼ng(mp)qua vµ cã VTPT(vect¬ ph¸p tuyÕn) lµ:
hay : víi
PTMP(ph¬ng tr×nh mÆt ph¼ng)qua cã ph¬ng tr×nh(pt) lµ:
KÕt qu¶:
+,
+,
+,
+,PTMT to¹ ®é oxy: z=0
+,PTMT to¹ ®é oxz: y=0
+,PTMT to¹ ®é oyz: x=0
VÞ trÝ t¬ng ®èi cña mÆt th¼ng vµ mÆt ph¼ng:
Cho
Ph¬ng tr×nh chïm mÆt ph¼ng:
TËp hîp c¸c mÆt ph¼ng chøa ®êng th¼ng ®îc gäi lµ chïm mÆt ph¼ng x¸c ®Þnh bëi mp vµ mp . NÕu vµ th× ph¬ng tr×nh mÆt ph¼nglµ:
(*) víi
ph¬ng tr×nh (*) cã thÓ viÕt l¹i:
C¸c vÊn ®Ò: ViÕt PTMP(ph¬ng tr×nh mÆt ph¼ng):
PTMPqua vµ cã VTPT
+,X¸c ®Þnhcña mp
+,X¸c ®Þnh VTPT
+,¸p dông c«ng thøc :
PTMPqua vµ cã cÆp VTCP(vect¬ chØ ph¬ng)
(víi cã gi¸ song song hoÆc n»m trªn mp)
+,T×m VTPT
+,lµ mp qua vµ cã VTPT
PTMPqua 3 ®iÓm kh«ng th¼ng hµng A,B,C
+,T×m
+,T×m VTPT
+,lµ mp qua A vµ cã VTPT
PTMPqua vµvu«ng gãc víi 2 mpvµc¾t nhau
+,T×m VTPT cñavµlµ vµ
+,T×m VTPT cña
+,lµ mp qua vµ cã VTPT
PTMPqua vµ qua giao tuyÕn 2mp c¾t nhau lµvµ
+,cã d¹ng : (*) víi
+,qua thÕ vµo ph¬ng tr×nh (*)
+,Rót ra m theo n chän m,n råi thÕ vµo phong tr×nh (*)
PTMPqua vµ vu«ng gãc víi ®êng th¼ng (d)
+,T×m VTCP cña (d)
+,lµ mp qua vµ cã VTPT =
PTMPqua vµ chøa ®êng th¼ng (d)
TH1: (d) cã d¹ng tæng qu¸t
+, T×m PTMPta dïng c«ng thøc chïm mp.
TH2: (d) cã d¹ng chÝnh t¾c
C¸ch 1:
+, ChuyÓn ph¬ng tr×nh (d) vÒ d¹ng ph¬ng tr×nh t«ng qu¸t
+,Dïng c«ng thøc chïm mp
C¸ch 2:
+,T×mvµ cã VTCP cña (d)
+,T×m
+,lµ mp qua vµ cã VTPT
PTMPchøa ®êng th¼ngvµ //
+,T×mvµ cã VTCP cña
+,T×m VTCP cña
+,T×m
+,lµ mp qua A vµ cã VTPT
II,§êng th¼ng:
PTTQ(ph¬ng tr×nh tæng qu¸t):
VTCP(vect¬ chØ ph¬ng):
§Æc biÖt:
+,ph¬ng tr×nh trôc ox:
+,ph¬ng tr×nh trôc oy:
+,ph¬ng tr×nh trôc oz:
PTTS(ph¬ng tr×nh tham sè): (d) quavµ cã VTCP :
(d) :
PTCT(ph¬ng tr×nh chÝnh t¾c): (d) :
VÞ trÝ t¬ng ®èi cña ®êng th¼ng vµ ®êng ph¼ng:
Cho qua vµ cã VTCP
quavµ cã VTCP
chÐo nhau kh«ng ®ång ph¼ng
®ång ph¼ng ®ång ph¼ng
®ång ph¼ng
c¾t nhau
kh«ng cïng ph¬ng
cïng ph¬ng
song song
cïng ph¬ng
trïng nhau
Cã víi
C¸c vÊn ®Ò: ViÕt PT§T(ph¬ng tr×nh ®êng th¼ng)
TH1:§êng th¼ng (d) ®îc x¸c ®Þnh bëi 1 ®iÓm vµ 1 VTCP
PT§T (d) quavµ cã VTCP
+,Dïng PTTS hay PTCT
PT§T (d) quavµ (d) song sonh víi 1 ®êng th¼ngcho tríc
+,T×m VTCPcña (d)
+,(d) lµ ®êng th¼ng quavµ cã VTCP
PT§T (d) quavµ (d) song sonh víi 2 mp c¾t nhau
+,T×m VTPT cña mp :
T×m VTPT cña mp:
+,T×m
+,(d) lµ ®êng th¼ng quavµ cã VTCP
PT§T (d) quavµ
+T×m VTPT cña mplµ
+,(d) lµ ®êng th¼ng quavµ cã VTCP =
PT§T (d) quavµ (d) vu«ng gãc víi 2 ®êng th¼ngvµ
+,T×m VTCP cñalµ
+,T×m VTCP cñalµ
Gäi
+,(d) lµ ®êng th¼ng quavµ cã VTCP
PT§T (d) qua,vµ (d) c¾t
+,LËp PTMP qua vµ
+,T×m giao ®iÓm N cñavµ
+,(d) lµ ®êng th¼ng ®i qua 2 ®iÓmvµ N
PT§T (d) quavµ (d) c¾t 2 ®êng th¼ng,cho tríc
C¸ch 1:
+, LËp PTMPqua vµ
+,T×m giao ®iÓm N cñavµ
+,(d) lµ ®êng th¼ng qua,N
+,Chøng tá (d) c¾t
C¸ch 2:
+, LËp PTMPqua vµ
+, LËp PTMPqua vµ
+,(d) lµ giao tuyÕn cñavµ
+,Chøng tá (d) c¾t ,
PT§T (d) qua,vµ (d) c¾t
+,LËp PTMP qua vµ
+,T×m giao ®iÓm N cñavµ
+, (d) lµ ®êng th¼ng qua M,N
TH2: (d) x¸c ®Þnh lµ giao tuyÕn cña 2 mÆt ph¼ng:
Ph¬ng tr×nh ®êng vu«ng gãc chung cña 2 ®êng th¼ng chÐo nhauvµ
+,Trong kh«ng gian cho 2 ®êng th¼ng chÐo nhau:
qua vµ cã VTCP
quavµ cã VTCP
gäi
+,Gäilµ mp quavµ cã VTPT
+,Gäilµ mp quavµ cã VTPT
+,§êng vu«ng gãc chung cñavµlµ giao tuyÕn cña vµ
(d) qua giao ®iÓm M cña mpvµ ®êng th¼ngvµ
C¸ch 1:
+,T×m to¹ ®é giao ®iÓm cñavµ
+,LËp ph¬ng tr×nh mpqua ®iÓm M vµ
+,(d) lµ giao tuyÕn cña 2 mp vµ
C¸ch 2:
+,T×m to¹ ®é giao ®iÓm cñavµ
+,T×m VTCP cña
T×m VTPT cña
T×m
+, (d) lµ ®êng th¼ng qua M vµ cã VTCP
vµc¾tvµ
+, LËp mpchøavµ
+,LËp mpchøavµ
+, (d) lµ giao tuyÕn cñavµ
+,Chóng tá c¾tvµ
Ph¬ng tr×nh h×nh chiÕu (d’) cña (d) lªn mp
+,T×mvµ cã VTCP cña(d)
+,T×m VTPT cña
+,T×m
+,Gäi lµ mp chøa (d) vµ
qua A vµ co VTPT . ViÕt PTMP
+,H×nh chiÕu (d’) cña (d) lªn mplµ giao tuyÕn cñavµ.PT§T (d’) lµ:
VÞ trÝ t¬ng ®èi cña ®êng th¼ng vµ mÆt ph¼ng:
Cho (d) : qua vµ cã VTCP vµ mÆt ph¼ng cã VTPT
c¾t
cïng ph¬ng
víi vµ
Kho¶ng c¸ch :
Kho¶ng c¸ch tõ mÆt ph¼ng
Kho¶ng c¸ch tõ ®Õn (d) : qua vµ cã VTCP
Kho¶ng c¸ch gi÷a 2 ®êng th¼ng chÐo nhau:
Trong kh«ng gian cho 2 ®êng th¼ng chÐo nhau:
qua vµ cã VTCP
quavµ cã VTCP
Chó ý: cã thÓ tÝnh kho¶ng c¸ch gi÷a vµ b»ng c¸ch lËp ph¬ng tr×nh mÆt ph¼ngchøavµ // . TÝnh kho¶ng c¸ch tõ
MÆt cÇu:
Ph¬ng tr×nh mÆt cÇu (S) t©m I(a,b,c) b¸n kÝnh R:
Hay:
®iÒu kiÖn:
Ph¬ng tr×nh ®êng trßn:
B¸n kÝnh
Víi R: b¸n kÝnh mÆt cÇu (S)
d: kho¶ng c¸ch tõ t©m I
§iÒu kiÖn tiÕp xóc cña mÆt ph¼ng vµ mÆt cÇu (S) lµ:
C¸c d¹ng ®Ò thêng gÆp :
D¹ng 1: Cho ®êng th¼ng (d) : vµ ®iÓm . T×m ®iÓm ®Ó
PP: C1: do sau ®ã ta tÝnh MH
C2: Do ta cã:
D¹ng 2: Cho mp. Cho 2 ®iÓm A,B. T×m ®Ó
PP: Ta ph©n ra 2 trêng hîp:
TH 1: A,B cïng n»m vÒ mét phÝa ®èi víi mp:
+, ViÕt ptr×nh ®êng th¼ng (d) qua A vµ (d)// .
Gäi I lµ giao ®iÓm cña (d) vµnªn to¹ ®é I lµ nghiÖm hÖ ph¬ng tr×nh
Gäi A’ lµ ®iÓm ®èi xøng cña A qua nªn I lµ trung ®iÓm cña AA’
+, ViÕt ph¬ng tr×nh ®êng th¼ng BA’
+, T×m to¹ ®é giao ®iÓm M cña BA’ vµ
+, Ta cã: víi M’ lµ ®iÓm bÊt k× thuéc
VËy khi M lµ giao ®iÓm cña ®êng th¼ng A’B víi mp
TH 2: A,B ë kh¸c phÝa:
+, ViÕt ptr×nh ®êng th¼ng AB
+, T×m to¹ ®é giao ®iÓm M cña AB vµ
+, Ta cã Víi M’ lµ ®iÓm bÊt k× thuéc
VËy khi M lµ giao ®iÓm cña ®êng th¼ng AB vµ
Các ý kiến mới nhất