Phần I . Các phương pháp phân tích đa thức
thành nhân tử
* Các phương pháp cơ bản
I. Phương pháp đặt nhân tử chung
1. Phương pháp
+ Tìm nhân tử chung là những đơn thức, đa thức có mặt trong tất cả các hạng tử.
+ Phân tích mỗi hạng tử thành tích của nhân tử chung và một hạng tử.
+ Viết nhân tử chung ra ngoài dấu ngoặc, viết các nhân tử còn lại của mỗi hạng tử vào trong dấu ngoặc. (Dựa và tính chất phân phối của phép nhân đối với phép cộng).
2. Ví dụ
Phân tích các đa thức sau thành nhân tử.
5xy - x2y2 + 2x2y
2x(x-y) + 3y(y-x)
20xy(y+z) - 5(2y+2z)z2
Bài làm
5xy - x2y2 + 2x2y = xy(5-xy+2x)
b) 2x(x-y) + 3y(y-x) = 2x(x-y) - 3y(x-y) = (x-y)(2x-3y)
c) 20yz(y+z) - 5(2y+2z)z2 = 20yz(y+z) - 10(y+z)z2 = 10z(y+z)(2y-z)
3. Bài tập
Bài 1: Phân tích các đa thức sau thành nhân tử.
12xy2 - 3xy + 3y
15x + 10y - 20z
x(y-2008) - 3y(y-2008)
x(y+1) + 3(y2+2y+1)
Bài 2: Tính giá trị của các biểu thức sau.
85.12,7+5.3.12,7
x(x-y) + y(y-x) Với x=53 và y=3
2x3(x-y) + 2x3(y-x) + 2x3(z-x) Với x=2008; y=2009; z=2010
II. Phương pháp dùng hằng đẳng thức.
Phương pháp
Sử dụng các hằng đẳng thức để biến đổi đa thức thành tích các nhân tử hoặc dưới dạng luỹ thừa của một đa thức đơn giản.
* Môt số hằng đẳng thức
1. (A+B)2 = A2 + 2AB + B2
2. (A-B)2 = A2 - 2AB + B2
3. A2-B2 = (A-B).(A+B)
4. (A+B)3 = A3 + 3A2B + 3AB2 + B3
5. (A-B)3 = A3 - 3A2B + 3AB2 - B3
6. A3+B3 = (A+B)(A2-AB+B2)
7. A3-B3 = (A-B)(A2+AB+B2)
8. (A+B+C)2 = A2 + B2 + C2 +2AB + 2BC + 2AC
9. An-Bn = (A-B)(An-1+An-2B+…+ABn-2+Bn-1)
10. A2k-B2k = (A+B)(A2k-1-A2k-2B+…-B2k-1)
11. A2k+1+B2k+1 = (A+B)(A2k-A2k-1B+A2k-2B2-…+B2k)
12. (A+B)n = An + nAn-1B - An-2B2 A2Bn-1 + Bn
13. (A-B)n = An-nAn-1B + An-2B2 -…+(-1)nBn
2. Ví dụ
2.1 Phân tích các đa thức sau thành nhân tử.
a) x6 - y6
b) 9x2 + 6xy + y2
c) (3x+1)2 – (x+1)2
d) x3 - 3x2 + 3x – 1
Bài làm
x6 - y6 = (x3)2-(y3)2 = (x3-y3)(x3+y3)
= [(x-y)(x2+xy+y2)][(x+y)( x2-xy+y2)]
9x2 + 6xy + y2 = (3x)2 + 2.(3x)y + y2 = (3x+y)2
(3x