HỆ THỐNG KIẾN THỨC CƠ BẢN VÀ MỘT SỐ DẠNG BÀI TẬP CHỦ YẾU
(Phục vụ cho chương trình lớp 9 và ôn thi vào lớp 10)

I.MỤC TIÊU
II.NHỮNG NỘI DUNG KIẾN THỨC CƠ BẢN
A.Đại số:
I.Đa thức: Nhân, chia, hằng đẳng thức, phân tích đa thức thành nhân tử.
II.Phân thức đại số: ĐKXĐ, rút gọn, quy đồng, các phép tính.
III.Căn bậc hai: Khái niệm, hằng đẳng thức, ĐKXĐ, các phép biến đổi.
IV.Phương trình, bất phương trình bậc nhất một ẩn: Dạng, phương pháp giải.
V.Hàm số bậc nhất, bậc hai: Định nghĩa, tính chất, đồ thị, vị trí trên mặt phẳng tọa độ giữa các đồ thị.
VI.Hệ phương trình bậc nhất hai ẩn: Nghiệm, các phương pháp giải.
VII.Giải bài toán bằng cách lập hệ phương trình, phương trình.
VIII.Phương trình bậc hai: Dạng, công thức nghiệm, Định lý Viet, ứng dụng.

B.Hình học:
I.Định lí Pytago, hệ thức lượng trong tam giác vuông, tỉ số lượng giác của góc nhọn.
II.Định lý Talet, tính chất đường phân giác.
III.Tam giác bằng nhau, đồng dạng: Khái niệm, các trường hợp.
IV.Đường tròn: Khái niệm, sự xác định đường tròn, tính chất đối xứng, vị trí tương đối của đường thẳng với đường tròn (chú ý tiếp tuyến của đường tròn), đường tròn với đường tròn.
V.Góc và đường tròn: Đặc điểm, quan hệ với cung bị chắn, tính chất.
VI.Tứ giác nội tiếp: Khái niệm, tính chất, dấu hiệu.
VII.Độ dài và diện tích hình tròn.
VIII.Hình học không gian: Khái niệm, công thức tính diện tích xung quanh, diện tích toàn phần, thể tích.


§1.ĐA THỨC
A.KIẾN THỨC CƠ BẢN
1.Nhân đơn, đa thức



2.Cộng, trừ đơn, đa thức
Thực chất của việc làm này là cộng, trừ đơn thức đồng dạng dựa vào quy tắc sau cùng tính chất giao hoán, kết hợp của phép cộng các đa thức.



3.Hằng đẳng thức đáng nhớ


Mở rộng:

4.Phân tích đa thức thành nhân tử
Phân tích đa thức thành nhân tử thực chất là viết đa thức đó thành tích của hai hay nhiều đa thức khác đơn giản hơn.
Các phương pháp phân tích đa thức thành nhân tử gồm:
-Đặt nhân tử chung.
-Dùng hằng đẳng thức.
-Nhóm nhiều hạng tử.
-Tách một hạng tử thành nhiều hạng tử.
-Thêm, bớt cùng một hạng tử.
-Đặt ẩn phụ.
Trong thực hành thông thường ta dùng kết hợp các phương pháp với nhau. Song nên đi theo thứ tự các phương pháp như trên để thuận lợi trong quá trình xử lý kết quả.
B.MỘT SỐ VÍ DỤ
Ví dụ 1.Thực hiện phép tính


Giải




Ví dụ 2.Tính giá trị của biểu thức

với x = - 2; y =
.

với x =

Giải
-Thu gọn biểu thức. (đã làm ở ví dụ 1)
-Thay số, tính:



.
Ví dụ 3.Chứng minh


Giải
a) Có VT = a2 + 2ab + b2 – 4ab = a2 – 2ab + b2 = (a – b)2 = VP.(đpcm)
b) Có A = n2 + 5n – n2 + n + 6 = 6n + 6 = 6.(n + 1)
do
. (đpcm)
c) Có B = (x2 + 2x + 1) + 1 = (x + 1)2 + 1.
Do (x + 1)2
0

(x + 1)2 + 1 > 0
.(đpcm)
Ví dụ 4.Phân tích các đa thức sau thành nhân tử
a) x3 – 4x b) x2 – 5x + 4 c) x4 + 4.
Giải
a) x3 – 4x = x.(x2 – 4) = x.(x – 2).(x + 2).
b) x2 – 5x + 4 = (x2 – 4x) – (x – 4) = x.(x – 4) – (x – 4) = (x – 4).(x – 1).
c) x4 + 4 = (x2)2 +2x2.2 +22 – 4x2 = (x2 +2)2 – (2x)2 = (x2 +2 – 2x).(x2 +2 + 2x).
C.MỘT SỐ BÀI TẬP CƠ BẢN
1.Chứng minh

.

không phụ thuộc vào biến x.

.
2.Tính giá trị của biểu thức
A = 6(4x + 5) + 3(4 – 5x) với x = 1,5.
B = 40y – 5(2y – 3) + 6(5 – 1,5y) với y = -1,5.
3.Tìm x
a) 2x(3x + 1) + (4 – 2x).3x = 7.
b) 5x(x – 3) – x + 3 = 0.
4.Chứng minh
a) (1 – 2a)(5a2 + 2a + 1) = 1 – 10a3.
b) (5x3 + 4x2y + 2xy2 + y3)(2x – 10y) = 10(x4 – y4).
c) a3 + b3 + c3 -3abc = 0
a = b = c hoặc a + b + c = 0.
(Nếu a, b, c là độ dài ba cạnh của tam giác thì tam giác đó là tam giác gì?)
d)
thì
.
5.Cho x + y + z = 0 và xy + yz + zx = 0 Tính T = (x – 1)1991 + y1992 + (z + 1)1993.
6.Tìm max, min của các biểu thức sau
A = x2 – 4x + 1.
B = 2 + x – x2.
C = x2 – 2x + y2 – 4y + 6.

---------------------------------------------------------------------------------

§2.PHÂN THỨC
A.KIẾN THỨC CƠ BẢN
1.Khái niệm
Dạng
trong đó A, B là các đa thức, B
0.
2.Điều kiện xác định
Cách tìm:
-Giải B = 0.
-Kết luận: loại đi các giá trị tìm được của ẩn ở trên.
3.Rút gọn
-Phân tích cả tử và mẫu thành nhân tử.
-Chia cả tử và mẫu cho nhân tử chung.


4.Quy đồng mẫu các phân thức
-Phân tích cả tử và mẫu thành nhân tử.
-Lập tích = (BCNN của các hệ số).(các nhân tử với số mũ lớn nhất).
-Tìm thừa số phụ = MTC : MR.
-Nhân cả tử và mẫu của mỗi phân thức với thừa số phụ tương ứng của nó.
5.Các phép tính


Chú ý:
-Ở phần b, MTC có thể khác.
-Cần rút gọn kết quả nếu có thể.
B.MỘT SỐ VÍ DỤ
Ví dụ 1.Tìm điều kiện xác định của các phân thức sau


Giải
a) Phân thức
không xác định khi x – 1 = 0
x = 1.
Vậy ĐKXĐ: x
1.
b) Phân thức
không xác định khi 4x2 – xy = 0
x(4x – y) = 0

x = 0 hoặc 4x – y = 0

x = 0 hoặc y = 4x.
Vậy ĐKXĐ:
.

Ví dụ 2.Rút gọn các biểu thức sau


Giải

.

.

Ví dụ 3.Thực hiện phép tính


Giải



.

C.MỘT SỐ BÀI TẬP CƠ BẢN
1.Tìm điều kiện xác định của các phân thức sau


2.Các biểu thức sau có phụ thuộc vào giá trị của biến hay không?


3.Chứng minh
.
4.Cho biểu thức

a)Tìm ĐKXĐ của biểu thức A.
b)Rút gọn A và tính giá trị với x = - 0,5; y = 3.
c)Tìm điều kiện của x, y để A = 1.
d)Tìm x, y để biểu thức A có giá trị âm.


------------------------------------------------------------------

§3.CĂN BẬC HAI
A.KIẾN THỨC CƠ BẢN
1.Khái niệm
x là căn bậc hai của số không âm a
x2 = a. Kí hiệu:
.
2.Điều kiện xác định của biểu thức

Biểu thức
xác định

.
3.Hằng đẳng thức căn bậc hai


4.Các phép biến đổi căn thức
+)

+)

+)

+)

+)

+)

+)

với


B.MỘT SỐ VÍ DỤ
VD1.Thu gọn, tính giá trị các biểu thức


Giải








VD2.Cho biểu thức

a)Rút gọn y. Tìm x để y = 2.
b)Cho x > 1. Chứng minh

c)Tìm giá trị nhỏ nhất của y
Giải
a)



(Ở đây ta có thể áp dụng giải phương trình bậc hai bằng cách đặt ẩn phụ)
b) Có



c) Có:

Vậy

VD3.So sánh hai số sau

và

Giải
Có

Vậy a < b.

C.MỘT SỐ BÀI TẬP CƠ BẢN
1.Thực hiện phép tính, rút gọn biểu thức
































2.Tính giá trị của biểu thức






3.Chứng minh
a)

b)

c)

d)
là một số nguyên.
4.Cho

a) Rút gọn A và B.
b) Tìm x để A = B.
5.Cho
. Tìm số nguyên x để A nhận giá trị nguyên.
6.Tìm x, biết:








§4.HỆ THỨC LƯỢNG TRONG TAM GIÁC VUÔNG
TỈ SỐ LƯỢNG GIÁC CỦA GÓC NHỌN

A.KIẾN THỨC CƠ BẢN
1.Định lý Pitago

vuông tại A

2.Hệ thức lượng trong tam giác vuông


1) AB2 = BH.BC; AC2 = CH.BC
2) AB.AC = AH.BC
3) AH2 = BH.HC
4)

Kết quả:
-Với tam giác đều cạnh là a, ta có:

3.Tỉ số lượng giác của góc nhọn
Đặt
khi đó:



Kết quả suy ra:






4) Cho
nhọn, BC = a; AC = b; AB = c khi đó:


B.MỘT SỐ VÍ DỤ
VD1.Cho tam giác ABC có AB>AC, kẻ trung tuyến AM và đường cao AH. Chứng minh:


VD2.Cho hình thang ABCD (AB//CD có AB = 3cm; CD = 14cm; AC = 15cm; BD = 8cm.
a) Chứng minh AC vuông góc với BD.
b) Tính diện tích hình thang.
VD3.Tính diện tích hình bình hành ABCD biết AD = 12; DC = 15;
ADC=700.

C.MỘT SỐ BÀI TẬP CƠ BẢN

1.Cho tam giác ABC vuông cân tại A, trung tuyến BD. Gọi I là hình chiếu của C trên BD, H là hình chiếu của I trên AC.
Chứng minh: AH = 3HI.

2.Qua đỉnh A của hình vuông ABCD cạnh bằng a, vẽ một đường thẳng cắt BC ở E và cắt đường thẳng DC ở F.
Chứng minh:


3.Cho tam giác cân ABC có đáy BC = a;
BAC = 2
;
. Kẻ các đường cao AE, BF.
a) Tính các cạnh của tam giác BFC theo a và tỉ số lượng giác của góc
.
b) Tính theo a, theo các tỉ số lượng giác của góc
và
, các cạnh của tam giác ABF, BFC.
c) Từ các kết quả trên, chứng minh các đẳng thức sau:



------------------------------------------------------------------


§5.PHƯƠNG TRÌNH - HỆ PHƯƠNG TRÌNH - BẤT PHƯƠNG TRÌNH
(Bậc nhất)


A.KIẾN THỨC CƠ BẢN
1.Phương trình bậc nhất một ẩn
-Quy đồng khử mẫu.
-Đưa về dạng ax + b = 0 (a ≠ 0)
-Nghiệm duy nhất là

2.Phương trình chứa ẩn ở mẫu
-Tìm ĐKXĐ của phương trình.
-Quy đồng và khử mẫu.
-Giải phương trình vừa tìm được.
-So sánh giá trị vừa tìm được với ĐKXĐ rồi kết luận.
3.Phương trình tích
Để giái phương trình tích ta chỉ cần giải các phương trình thành phần của nó. Chẳng hạn: Với phương trình A(x).B(x).C(x) = 0


4.Phương trình có chứa hệ số chữ (Giải và biện luận phương trình)
Dạng phương trình này sau khi biến đổi cũng có dạng ax + b = 0. Song giá trị cụ thể của a, b ta không biết nên cần đặt điều kiện để xác định số nghiệm của phương trình.
-Nếu a ≠ 0 thì phương trình có nghiệm duy nhất
.
-Nếu a = 0 và b = 0 thì phương trình có vô số nghiệm.
-Nếu a = 0 và b ≠ 0 thì phương trình vô nghiệm.
5.Phương trình có chứa dấu giá trị tuyệt đối
Cần chú ý khái niệm giá trị tuyệt đối của một biểu thức


6.Hệ phương trình bậc nhất
Cách giải chủ yếu dựa vào hai phương pháp cộng đại số và thế. Chú ý phương pháp đặt ẩn phụ trong một số trường hợp xuất hiện các biểu thức giống nhau ở cả hai phương trình.
7.Bất phương trình bậc nhất
Với bất phương trình bậc nhất thì việc biến đổi tương tự như với phương trình bậc nhất. Tuy nhiên cần chú ý khi nhân và cả hai vế với cùng một số âm thì phải đổi chiều bất phương trình.

B.MỘT SỐ VÍ DỤ
VD1.Giải các phương trình sau
a)
b)

c)
d)
(*)
Giải

(Vô lý)
Vậy phương trình vô nghệm.

Vậy phương trình có nghiệm x = 6.

c)


ĐKXĐ:





Vậy phương trình có nghiệm x = - 4.

d) Lập bảng xét dấu
x
 3 7

x – 3
 - 0 + +

x - 7
 - - 0 +

 -Xét x < 3:
(*)
(loại)
-Xét
:
(*)
(t/mãn)
-Xét
:
(*)
(loại)
Vậy phương trình có nghiệm x = 4.

VD2.Giải và biện luận phương trình sau
a)
(1)
b)
(2)
Giải
a) ĐK: a ≠ 0; b ≠ 0.


-Nếu b – a ≠ 0
thì

-Nếu b – a = 0
thì phương trình có vô số nghiệm.
Vậy:
-Với b ≠ a, phương trình có nghiệm duy nhất x = 2(b + a).
-Với b = a, phương trình có vô số nghiệm

b) ĐKXĐ:



-Nếu a + 1 ≠ 0
thì

-Nếu a + 1 =