Chuyên đề: Thể tích khối đa diện
Vấn đề 1: Thể tích khối chóp
A.Kiến thức cần nhớ.
I. Hệ thức lượng trong tam giác vuông ABC vuông tại A:
1.

2.

3.

4.




II. Các công thức trong tam giác thường:
1.Định lý cô sin:


2. Công thức đường trung tuyến:


3. Công thức diện tích:


4. Công thức thể tích:
* Thể tích khối chóp:




(
là diện tích đáy, h là chiều cao)
*Thể tích khối lăng trụ :

(
là diện tích đáy, h là chiều cao)
5. Góc giữa hai đường thẳng, góc giữa hai mặt phẳng :
- Góc giữa đường thẳng và mặt phẳng (P) : là góc giữa đường thẳng đó và hình chiếu của nó lên mặt phẳng (P)
- Góc giữa hai mặt phẳng : là góc giữa hai đường thẳng nằm trong hai mặt phẳng đó và cùng vuông góc với giao tuyến ( xác định như hình vẽ)



B. Các phương pháp tính thể tích.
I. Tính thể tích trực tiếp bằng cách xác định chân đường cao :
Một số dấu hiệu xác định chân đường cao
1. Khối chóp có một cạnh bên vuông góc với đáy thì cạnh bên đó chính là đường cao của khối chóp.
2. Hình chóp có một mặt bên hoặc mặt chéo vuông góc với đáy thì đường cao chính là đường kẻ trong mặt bên ( hoặc mặt chéo) vuông góc với giao tuyến.
3. Hình chóp có 2 mặt mặt cùng vuông góc với mặt phẳng đáy thì đoạn giao tuyến của 2 mặt nói trên là đường cao của hình chóp.
4. Hình chóp có các cạnh bên bằng nhau hoặc các cạnh bên tạo với mặt đáy những góc bằng nhau thì chân đường cao là tâm đường tròn ngoại tiếp đa giác đáy.
5. Hình chóp có các mặt bên tạo với mặt đáy những góc bằng nhau thì chân đường cao trùng với tâm đường tròn nội tiếp đa giác đáy.
6. Hình chóp S.ABCD có SA=SB , hoặc SA,SB cùng tạo với đáy một góc bằng nhau thì chân đường cao hạ từ S xuống mặt đáy nằm trên đường trung trực của AB
7. Hình chóp S.ABCD có hai mặt (SAB), (SAC) cùng tạo với mặt đáy một góc bằng nhau, thì chân đường cao hạ từ S xuống mặt đáy sẽ nằm trên đường phân giác trong của góc

Bài tập minh họa:
Hình chóp khi biết chân đường cao.
1.1.1 Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình chữ nhật AB=a, AD=2a và cạnh bên SA vuông góc với mặt phẳng đáy. Góc giữa SC và mặt phẳng (ABCD) bằng
. Gọi E là trung điểm của BC, H là hình chiếu vuông góc của A trên SB. Tính thể tích của khối chóp S.BDE theo a.
1.1.2. Cho hình chóp S.ABCD có đáy là hình vuông cạnh 2a. Gọi E là trung điểm của AB. Hình chiếu vuông góc của đỉnh S lên mặt đáy trùng với trung điểm của DE. Biết góc giữa SA và mặt đáy (ABCD) bằng 60o. Tính theo a thể tích của khối chóp.
1.1.3. Cho hình chóp S.ABC có đáy ABC là tam giác vuông cân tại A và
. Hình chiếu vuông góc của S trên mặt phẳng (ABC) là trung điểm M của cạnh AB. Góc giữa SC và đáy (ABC) bằng 60o. Tính thể tích của khối chóp theo a.
Hình chóp có một mặt vuông góc với mặt phẳng đáy.
1.2.1. Cho hình chóp S.ABC có đáy ABC là tam giác vuông tại B, BA = 3a, BC = 4a; Mặt phẳng (SBC) vuông góc với mặt phẳng (ABC). Biết SB =
và
. Tính thể tích khối chóp S.ABC.


(Trích đề thi ĐH khối D – 2011)
Giải:
+ Hạ

. Vậy SH chính là đường cao của khối chóp.
Ta có:


( đvdt)
+ Vậy thể tích khối chóp là:
(đvtt)



1.2.2. Cho hình chóp S.ABCD có đáy là hình thang vuông tại A và B.

. Đường chéo
. Tính thể tích khối chóp S.ABCD
Giải:
Ta có


Do vậy chân đường cao hạ từ S nằm trên BD. Từ giả thiết ta có:
nên tam giác ∆SBD
tại S

với H là hình chiếu vuông góc của S lên BD.
Dễ dàng tính được:

Vậy
(đvtt)






1.2.3