TÓM TẮT LÍ THUYẾT















GV: PHẠM MINH TỨ
(Bổ sung, sửa chữa năm 2012)














Chương I: MỆNH ĐỀ - TẬP HỢP

MỆNH ĐỀ & MỆNH ĐỀ CHỨA BIẾN

1. Mệnh đề:
Mệnh đề là một khẳng định đúng hoặc sai. Mệnh đề không thể vừa đúng vừa sai.
Ví dụ: i) 2 + 3 = 5 là mệnh đề đúng.
ii) “
là số hữu tỉ” là mệnh đề sai.
iii) “Mệt quá !” không phải là mệnh đề
2. Mệnh đề chứa biến:
Ví dụ: Cho mệnh đề 2 + n = 5. với mỗi giá trị của n thì ta được một đề đúng hoặc sai. Mệnh đề như trên được gọi là mệnh đề chứa biến.
3. Phủ định của mệnh đề:
Phủ định của mệnh đề P kí hiệu là
. Nếu mệnh đề P đúng thì
sai, P sai thì
đúng.
Ví dụ: P: “3 là số nguyên tố”

: “3 không là số nguyên tố”
4. Mệnh đề kéo theo:
Mệnh đề “nếu P thì Q” được gọi là mệnh đề kéo theo. Kí hiệu
.
Mệnh đề
chỉ sai khi P đúng và Q sai.
Ví dụ: Mệnh đề “
” sai
Mệnh đề “
” đúng
Trong mệnh đề
thì:
P: giả thiết (điều kiện đủ để có Q)
Q: kết luận (điều kiện cần để có P)
Ví dụ: Cho hai mệnh đề:
P: “Tam giác ABC có hai góc bằng 600”
Q: “Tam giác ABC là tam giác đều”.
Hãy phát biểu mệnh đề
dưới dạng điều kiện cần, điều kiện đủ.
i) Điều kiện cần: “Để tam giác ABC có hai góc bằng 600 thì điều kiện cần là tam giác ABC là tam giác đều”
ii) Điều kiện đủ: “Để tam giác ABC là tam giác đều thì điều kiện đủ là tam giác ABC có hai góc bằng 600”
5. Mệnh đề đảo – Hai mệnh đề tương đương.
Mệnh đề đảo của mệnh đề
là mệnh đề
.
Chú ý: Mệnh đề
đúng nhưng mệnh đề đảo
chưa chắc đúng.
Nếu hai mệnh đề
và
đều đúng thì ta nói P và Q là hai mệnh đề tương đương nhau. Kí hiệu

6. Kí hiệu
:

: Đọc là với mọi (tất cả)

: Đọc là tồn tại (có một hay có ít nhất một)
7. Phủ đỉnh của
và
:
* Mệnh đề phủ định của mệnh đề “
” là “
”
* Mệnh đề phủ định của mệnh đề “
” là “
”
Ghi nhớ:
- Phủ định của
là
.
- Phủ định của
là
.
- Phủ định của = là
.
- Phủ định của > là
.
- Phủ định của < là
.
Ví dụ: P: “
”


ÁP DỤNG MỆNH ĐỀ VÀO SUY LUẬN TOÁN HỌC

1. Định lí và chứng minh định lí:
- Trong toán học, định lí là một mệnh đề đúng. Nhiều định lí được phát biểu dưới dạng
(1)
Trong đó
là những mệnh đề chứa biến, X là một tập hợp nào đó.
- Chứng minh định lí dạng (1) là dùng suy luận và những kiến thức đúng đã biết để khẳng định rằng mệnh đề (1) là đúng, tức là cần chứng tỏ rằng với mọi x thuộc X mà P(x) đúng thì Q(x) đúng.
Có thể chứng minh định lí dạng (1) một cách trực tiếp hoặc gián tiếp.
* Phép chứng minh trực tiếp gồm các bước:
- Lấy x thùy ý thuộc X mà P(x) đúng;
- Dùng suy luận và những kiến thức toán học đúng đã biết để chỉ ra rằng Q(x) đúng.
* Phép chứng minh phản chứng gồm các bước:
- Giả sử tồn tại
sao cho
đúng và
sai, tức là mệnh đề (1) là một mệnh đề sai.
- Dùng suy luận và những kiến thức toán học đúng đã biết để chỉ ra điều mâu thuẫn.
2. Điều kiện cần, điều kiện đủ:
Cho định lí dạng:
(1).
- P(x) gọi là giả thiết và Q(x) gọi là kết luận của định lí.
- Định lí (1) còn được phát biểu dưới dạng:
+ P(x) là điều kiện đủ để có Q(x), hoặc
+ Q(x) là điều kiện cần để có P(