Chương IV: GIỚI HẠN

A. GIỚI HẠN CỦA DÃY SỐ
I. Tóm tắt lý thuyết:
1. Giới hạn hữu hạn và giới hạn vô cực:
a). Giới hạn hữu hạn
(
un = a

(un – a) = 0
b). Giới hạn vô cực:
(
un = +

(
un = –


(–un ) = +

( Chú ý: Thay vì viết:
un = a;

un =
, ta viết tắt:
un = a;

un =

2. Các giới hạn đặc biệt:
a). lim
; lim
; limnk = +

( với k nguyên dương)
b).

c). limc = c ( với c là hằng số )
3. Định lí về giới hạn hữu hạn:
a). Nếu limun = a và limvn = b, thì:
(
( nếu
)
lim(un – vn) = a – b
lim(un.vn) = a.b
( lim(un + vn) = a + b
b). Nếu
, và limun = a, thì
.
4. Định lí liên hệ giữa giới hạn hữu hạn và giới hạn vô cực:
a). Nếu
un = a và
vn =
thì
.
b). Nếu lim un = a > 0, lim vn = 0 và vn > 0
n thì

-Nếu lim un = a < 0, lim vn = 0 và vn > 0
n thì

-Nếu lim un = a > 0, lim vn = 0 và vn < 0
n thì

-Nếu lim un = a < 0, lim vn = 0 và vn < 0
n thì

c). Nếu limun = +
và limvn = a > 0 thì lim(un.vn) = +
.
5. Cấp số nhân lùi vô hạn:
a). Định nghĩa: CSN lùi vô hạn là cấp số nhân vô hạn có công bội q thỏa mãn
.
b). Công thức tính tổng của CSNLVH:



Lưu ý:
Dạng 1 A = lim

Nếu q = p thì A =

Nếu q

A = 0
Nếu q> p thì:
+Ta chia cả tử và mấu cho nq rồi xét dấu mẫu và A =

+ Hoặc ta chia cả tử và mẫu cho nprồi đưa về dạng tích limunvn
Dạng 2: limun với un là đa thức ta đưa n có số mũ cao nhất ra ngoài rồi đưa về dạng tích
limun với un chứa căn dạng
-
ta nhân cả chia biểu thức liên hợp để khử căn rồi đưa về dạng 1











II. Các dạng bài tập áp dụng:
Bài 1:
1.

2.

3.

4.

5.

6.

7.

8.

9.

10. lim

11. lim

12. lim

13. lim

14. lim

15. lim

16. lim

17. lim







Bài tập về nhà: Tính các giới hạn sau:
1. lim

2. lim

3.

4. lim

5. lim

6. lim

7. lim

8.lim

9. lim

10. lim

11. lim

12. lim

13. lim

14. lim

15. lim

16. lim

15.lim









Bài 2: Tìm các giới hạn sau:
1.
. 2

3.
4.

5.

6.
7.

8.
9.

10.

Bài 3: Tìm các giới hạn sau:
1.

2.

3.

4. lim
5. lim(
-n)
6.

7.

8.

9. lim
10. lim-
11.

12. lim- n)
13. lim[n(n -
14. lim
15. lim-
16. lim
17.

18.

19. lim-
20. lim- n)
21-2n)
22. lim- n)n
23. lim
Bài 4: Tìm các giới hạn sau:
lim- + 1)
lim(3n3 - 7n + 11)
lim(-n3 + 4n - 1)
lim(2n -