Biên soạn : ĐOÀN VĂN TỐ - GVCTHB

 PHẦN II

XIN CHÂN THÀNH CẢM ƠN QUÍ THẦY – CÔ ĐÃ CHO YÔI KIẾN THỨC ĐỂ VIẾT ĐƯỢC CHUYÊN ĐỀ NÀY !
----(----
 Tìm tất cả những số có hai chữ số sao cho tổng của mỗi số với một số mà các chữ số được viết theo thứ tự ngược lại là một số chính phương .
Hd :
Số cần tìm có dạng ab thì a + b chia hết cho 11
Mà a, b là các chữ số nên 0 < a + b ( 18 a + b = 11
 Tìm 4 chữ số tận cùng của số mà khi chia số ấy cho 8 và khi chia cho 125 thì được số dư tương ứng là 7 và 4 .
Hd :
Gọi số thỏa điều kiện đề cho là a thì khi đó a - 7 chia hết cho 8 ; a - 4 chia hết cho 125
Suy ra 3 chữ số tận cùng của a - 4 và để ý là số được tạo bởi 3 chữ số tận cùng đó nếu bớt 7 phải chia hết cho 8.
 Chứng minh rằng tích 4 số tự nhiên chẵn liên tiếp chia hết cho 384 .
Hd :
Ta có 384 = 27 . 3
Tích 4 số chẵn liên tiếp sẽ có dạng : 24 .n.( n + 1).( n + 2 ).( n + 3 )
Ta cần chứng minh tích n.( n + 1).( n + 2 ).( n + 3 ) chia hết cho 23.3 hay chia hết cho 8 và cho 3 ( vì 8, 3 nguyên tố cùng nhau )
 Giải các phương trình sau trong miền số tự nhiên :
xy = x + y
xy = 10. ( x + y )
x + y + z = xyz
1 + x + x2 + x3 = 2y ( Dành cho học sinh Giỏi )
 Cho 8 số tự nhiên mỗi số có 3 chữ số. Chứng minh rằng trong 8 số đó tồn tại hai số viết liên tiếp nhau tạo thành một số có 6 chữ số chia hết cho 7.
Hd :
Trong 8 số tự nhiên đó có ít nhất hai số chia 7 cùng dư, hay hiệu hai số đó chia hết cho 7
Gọi hai số có dạng : abc , mnp
Xét số có 6 chữ số abcmnp , ta có abcmnp = 1001 abc - ( abc - mnp )
 Cho a, b là hai số tự nhiên khác 0. Biết rằng trong 4 mệnh đề dưới đây :
a + 1 chia hết cho b
a = 2b + 5
a + b chia hết cho 3
a + 7b là số nguyên tố
có 3 mệnh đề đúng, một mệnh đề sai . Hãy tìm mọi cặp số a và b có thể có.
Hd :
Rõ ràng hai mệnh đề 3. và 4. mâu thuẩn ! hoặc 3. hoặc 4. sai
Nếu 3. đúng thì từ a = 2b + 5 a + b = 3b + 5 5 chia hết cho 3 : Vô lý !
Vậy mệnh đề 3. sai ! 3 mệnh đề đúng là 1. , 2. , 3.
 Trong các số từ 100 đến 10 000 có bao nhiêu số có đúng 3 chữ số giống nhau .
Hd : Xét sơ đồ cây như sau

Có 3 chữ số : aaa ( a ( 0 ; a = 1, ... , 9 )
Các số cần tìm có dạng : aaab
Có 4 chữ số : aaba
abaa
 Với mọi n(N . Chứng minh rằng : baaa
n2 + 11n + 39 không chia hết cho 49
n2 + n + 2 không chia hết cho 15
Hd :
a/ n2 + 11n + 39 = (n + 2) (n + 9) + 21
n + 2 ; n + 9 có cùng số dư trong phép chia cho 7
b/ Chứng tỏ n2 + n + 2 không chia hết cho 3
 Thả 30 con cá vào một cái hồ và cho chúng ăn thịt lẫn nhau. Con cá được coi là no nếu nó ăn được 3 con cá khác ( no hoặc đói ). Hỏi số cá được coi là no lớn nhất là bao nhiêu ?
Hd :
Số cá được coi là no lớn nhất là 9 con. Ta chứng minh số cá no lớn nhất là 9
Gọi k là số cá no ; m là số cá còn lại ( Có thể no hoặc không )
Ta có : 3k + m = 30 m chia hết cho 3 m = 3n
3k + 3n = 30 k + n = 10. Vì n ( 1 k ( 9
 Chứng minh rằng :
A = 2 + 22 + 23 + 24 + ... + 2100 chia hết cho 31
Hd :
Ta có : 2 + 22