Biên soạn : ĐOÀN VĂN TỐ - GVCTHB

 PHẦN I

XIN CHÂN THÀNH CẢM ƠN QUÍ THẦY – CÔ ĐÃ CHO YÔI KIẾN THỨC ĐỂ VIẾT ĐƯỢC CHUYÊN ĐỀ NÀY !
----(----
MỘT SỐ TÍNH CHẤT
Trước hết ta nói về quan hệ giữa một số tự nhiên với một số nguyên tố :
( aN , p nguyên tố ) ( hoặc ( a ( p ) hoặc ( a , p ) = 1
Hai tính chất cần lưu ý :
Nếu số tự nhiên A thỏa điều kiện : n2 < A < ( n+1 )2 , nN thì A không thể là một số chính phương.
Nếu số tự nhiên p không chia hết cho các số nguyên tố 2, 3, 5,…, m trong đó m2 > p thì p là một số nguyên tố.
Ví dụ :
Số n2 + n + 1 (nN*) có thể là số chính phương được hay không ?
Với mọi số nN*, ta có : n2 < n2 + n + 1 < n2 + 2n + 1
( n2 < n2 + n + 1 < (n + 1)2
( n2 + n + 1 không thể là số chính phương.
Xét tính nguyên tố của 197 ?
Ta thấy “ 197 không chia hết cho các số nguyên tố 2, 3, 5, …, 13, 17 “
Mà 172 = 289 > 19s7 ( số 197 là một số nguyên tố.
Tính chất mở rộng sử dụng trong các phép chứng minh rằng minh chia hết :
Quan hệ số chính phương – số nguyên tố :
n2 ( p ( n2 ( p2 ( p nguyên tố )
n2 ( p ( n ( p ( p nguyên tố )

Chia hết – nguyên tố cùng nhau :
* Tính chất 1
Nếu (a,b) = d thì a = da1 ; b = db1
Trong đó a1, b1, d (N và d ( 0 và (a1, b1) = 1

# Chứng minh :
Có (a,b) = d ( a = da1 ; b = db1 với a1, b1, d ( N và d ( 0 (vì d  ƯC(a,b))
Ta cần chứng minh (a1, b1) = 1 .
Thật vậy, giả sử (a1, b1) = m > 1 . Khi đó a1= mq , b1 = mk (q, k N)
( a = da1 = dmq và b = db1 = dmk ( dm  ƯC(a,b)
nhưng do m > 1 ( dm > d ( (a,b) ( d ( trái đề ! . Vậy (a1, b1) = 1 : đpcm !
* Tính chất 2
Với a, b, m ( N và m ( 0.
Nếu a.b ( m mà (b, m) = 1 thì a ( m

# Chứng minh : (tự c/m)
Đồng dư thức :



 Tìm số nguyên tố p sao cho 2p + 1 là lập phương của một số tự nhiên.
Hd :
Giả sử 2p + 1 = n3 ( n(N* )
Vì 2p + 1 là số lẻ nên n3 là số lẻ ( n là số lẻ ( * )
Ta có 2p = n3 - 1= (n - 1)(n2 + n + 1)
( n - 1(Ư( 2p ) = {1, 2, p, 2p }
 Với giá trị nào của n ( N thì : ( n + 5 )( n + 6 ) chia hết cho 6n (*)
Hd :
Ta có ( n + 5 )( n + 6 ) = n2 + 11n + 30
Nên từ ( * ) suy ra: 30 chia hết cho n ( n ( Ư(30) = { 1, 2, 3, 5, 6, 10, 15, 30} Ngoài ra cũng từ ( * ) ta có n + 5 hay n + 6 chia hết cho 3 ( n
 Trong 7 số tự nhiên liên tiếp a ; a + 30 ; a + 60 ; ... ; a + 180. Hãy chứng tỏ rằng có duy nhất một số chia hết cho 7. ( a ( N )
Hd :
Xét 2 số trong dãy số trên dạng a + m.30 ; a + n.30 ( 0 ( m, n ( 6 )
Khi m ( n, hiệu 2 số đó không chia hết cho 7 ( hay hai số khác nhau trong dãy khi chia 7 khác dư )
 Với mọi n ( N. Chứng tỏ rằng 9n + 1 không chia hết cho 100
Hd :
9n + 1 = (3 n )2 + 1 = ( 2k + 1 )2 + 1 = 4( k2 + k ) + 2 { do 3n là số lẻ }
Từ đó : 9n + 1 không chia hết cho 4. Vậy 9n + 1 không chia hết