MỘT SỐ PHƯƠNG PHÁP ĐẶT BIỆT ĐỂ SO SÁNH HAI PHÂN SỐ.

I.Đặt vấn đề :

Trong tóan học , người học ngòai việc tính tóan người học còn phải chứng minh các mệnh đề tóan học.Muốn học tốt ,cần phải sử dụng thành thạo các phương pháp chứng minh hoăc suy luận theo đúng hướng. Chính vì lý do này tôi xin được trình bày một số phương pháp đặc biệt để so sánh hai phân số.

II. Nội dung :

Để so sánh hai phân số ngoài cách quy đồng mẫu hoặc tử (cách so sánh “hai tích chéo” thực chất là quy đồng mẫu); trong một số trường hợp cụ thể, tùy theo đặc điểm của các phân số, ta còn có thể so sánh bằng một số phương pháp khác. Tính chất bắc cầu của thứ tự thường được sử dụng, trong đó phát hiện ra số trung gian để làm cầu nối là vấn đề quan trọng.

1. Dùng số 1 làm trung gian:
a. Nếu
và
thì

ví dụ: So sánh
và

Giải: Ta có

b. Nếu
;
. Mà M>N thì
.
M và N theo thứ tự gọi là “ phân thừa” so với một của hai phân số đã cho.
Nếu hai phân số có “phân thừa” so với 1 khác nhau, phân số nào có “phân thừa” lớn hơn thì lớn hơn.

Ví dụ 1: So sánh
và

Giải: Ta có
;

Vì
nên




Ví dụ 2: So sánh

;
;

Giải:






Vì
nên A
Ví dụ 3: So sánh:
;

Giải:




Vì
nên A>B

c. Nếu
;
. Mà M>N thì
.
M, N theo thứ tự gọi là “phần thiếu” hay “phần bù” tới đơn vị của hai phân số đã cho.
Nếu hai phân số “phần bù”tới đơn vị khác nhau, phân số nào có “phân bù” lớn hơn thì phân số đó nhỏ hơn.

Ví dụ 1: So sánh
và

Giải: Ta có
;
Vì
nên


Ví dụ 2: so sánh
và

Giải: Ta có

(
có “phần bù” tới 1 là
)

(
có “phần bù” tới 1 là
)
Mà
nên


Ví dụ 3: So sánh
và

Giải: Ta có :

(có “phần bù” tới 1 là
)

(có “phần bù” tới 1 là
)
Vì:
nên


Ví dụ 4: so sánh

;

Giải: Ta có




Vì
nên A
Nhân xét: ta nhận thấy trong phương pháp sử dụng “phần thừa”, “phần bù” để so sánh hai phân số, các phân số nấy đều có tử và mẫu hơn kém nhau n đơn vị
Các phân số có tử lớn hơn mẫu n đơn vị sẽ sử dụng phương pháp “phần thừa”
Các phân số có tử bé hơn mẫu n đơn vị sẽ sử dụng phương pháp “phần bù”

2. Dùng phân số làm trung gian:

a. Xét phân số trung gian, phân số này có tử là tử của phân số thứ nhất, có mẫu là mẫu của phân số thứ 2.
Ví dụ 1: so sánh
và

Giải: xét phân số trung gian

Ta thấy:
;

Suy ra:
(tính chất bắc cầu).
Ví dụ 2: so sánh
và
(n
N*)
Giải: xét phân số trung gian

Ta có:
và

Suy ra

Nhận xét:
Ta thấy
và
đều bé hơn 1 nên không thể sử dụng số 1 làm trung gian
Ta cũng có thể lấy phân số
là phân số trung gian (phân số này có tử là tử của phân số thứ 2, mẫu là mẫu của phân số thứ nhất ).
Trong hai phân số, phân số nào vừa có tử lớn hơn, vừa có mậu nhỏ hơn thì phân số đó lớn hơn (điều kiện là các tử và mẫu đều dương).

b. Hai phân số đều xấp xỉ phân số trung gian:
Ví dụ 1: so sánh
và
đều xấp xỉ
nên ta dùng phân số
làm trung gian.
Ta có:
và
Suy ra:

Ví dụ 2: So sánh
và

Giải:
;
Vậy:

Nhận xét: Phân số
nếu theâm ở mẫu 1 đơn vị thì phân số mới là
;
nếu bớt đi 1 đơn vị thì phân số mới là
. Vậy
,
đều xấp xỉ bằng phân số
.