Mot so dang toan on vao cap 3
Dạng 1: Toán tìm điều kiện để phương trình nguyên

Ví dụ 1
Cho biểu thức:


a, Rút gọn
b, Tìm những giá trị của a để M nguyên

Giải

a, Rút gọn
M =



b, Để M nguyên thì a-1 phải là ước của 2
a – 1 = 1 => a = 2
a – 1 = -1 => a = 0 ( loại )
a – 1 = 2 => a = 3
a – 1 = -2 => a = -1 ( loại )
Vậy M nguyên khi a = 2 hoặc a = 3
2, Ví dụ 2:
Cho biểu thức:

Tìm giá trị nguyên của a để A nguyên

Giải



Để A nguyên thì a – 1 là ước của 2

Tổng quát : Để giảI toán tìm điều kiện để biểu thức nguyên ta làm theo các bước sau:
Bước 1: Đặt điều kiện
Bước 2: Rút gọn về dạng

Nếu
thì f(x) là bội của a
Nếu
thì f(x) là ước của a
Bước 3: Căn cứ vào điều kiện loại những giá trị ngoại lai

Dạng 6: Toán tính giá trị biểu thức chứa căn nhiều tầng

Ví dụ : Tính

Ta có :


Dạng 2: Phương trình vô tỷ

I.Định nghĩa : Phương trình vô tỷ là phương trình chứa ẩn ở biểu thức dưới căn bậc hai .

II. Cách giải:
Cách 1: Để khử căn ta bình phương hai vế
Cách 2: Đặt ẩn phụ

III. Ví dụ
1,Ví dụ 1:
Giải phương trình:

Cách 1: Bình phương hai vế
x – 5 = x2 – 14x + 49
x2 – 14x – x + 49 + 5 = 0
x2 – 15x + 54 = 0
x1 = 6 ; x2 = 9
Lưu ý :
* Nhận định kết quả : x1 = 6 loại vì thay vào phương trình (1) không phải là nghiệm . Vậy phương trình có nghiệm x = 9
* Có thể đặt điều kiện phương trình trước khi giải : Để phương trình có nghiệm thì :

kết hợp
Sau khi giải ta loại điều kiện không thích hợp
Cách 2 Đặt ẩn phụ
Đưa phương trình về dạng :

Đặt
phương trình có dạng
y = y2 – 2
y2 – y – 2 = 0
Giải ta được y1 = - 1 ( loại) y2=2



2, Ví dụ 2:
Giải phương trình

Giải:
Đặt điều kiện để căn thức có nghĩa:


Chú ý : Không nên bình phương hai vế ngay vì sẽ phức tạp hơn mà ta nên chuyển vế.


Bình phương hai vế ta được :


Bình phương hai vế (x + 1) 2 = 4( x+ 1)
x2- 2x – 3 =0 có nghiệm x1 = -1; x2 = 3
Cả hai giá trị này thoả mãn điều kiện


Dạng 3: Phương trình chứa dấu giá trị tuyệt đối

Ví dụ.
1, Ví dụ 1:
Giải phương trình


Đặt điều kiện
* Nếu 2x + 1 ≥ 0 ta có phương trình x2 – ( 2x + 1 ) + 2 = 0
x2 – 2x – 1 + 2 = 0
x2 – 2x +1 = 0
=> x1 = x2 = 1
* Nếu 2x + 1 ≤ 0 ta có phương trình x2 – ( -2x -1 ) + 2 =0
x2 + 2x + 3 = 0
Phương trình vô nghiệm
Vậy phương trình ( 1) có nghiệm x= 1
2, Ví dụ 2:
Giải phương trình

( Đề thi học sinh giỏi lớp 7 1999 – 2000)

3, Ví dụ 3: Giải phương trình

Dạng 3 : Hệ phương trình
Cách giảI một số hệ phương trình phức tạp

1, Ví dụ 1:
Giải hệ phương trình


Giải :
Đặt ẩn phụ :

Ta có hệ :


2, Ví dụ 2:
Giải hệ phương trình


3, Ví dụ 3:
Giải hệ phương trình :


Hướng dẫn: Rút z từ (1) thay vào (2); (3)



4, Ví dụ 4: Giải hệ phương trình:


Hướng dẫn: Nhân (1) với 4 rồi trừ cho (2)
=> (x2 + y 2 + z2 ) – 4( x+ y + z ) = 12 – 24
x2 – 4x + y2 -4y + z2 - 4z + 12 = 0
( x2 – 4x + 4 ) + ( y 2 – 4y + 4 ) + ( z2 – 4z -4 ) = 0
( x – 2 )2 + ( y – 2 )2 + ( z – 2 )2 = 0
=> x = y = z = 2
5, Ví dụ 5:
Giải hệ phương trình


( Đề thi vào 10 năm 1998 – 1999)
6, Ví dụ 6:
Giải hệ phương trình :


( Đề thi vào 10 năm 2002 – 2003 )



Dạng 4: Toán cực trị

1.Ví dụ 1:
Cho biểu thức:


Rút gọn A.
Với giá trị nào của x thì A nhỏ nhất.
Giải:
a. Rút gọn được:


b. A nhỏ nhất nếu mẫu
là lớn nhất
Gọi
ta có K(1- K) = -K2+ K
-(K2- K) = -(K2 - 2K/2 +1/4 -1/4)
= -[(K-1/4)2 – 1/4]
Mẫu này lớn nhất khi: -[(K-1/4)2- 1/4] là nhỏ nhất
Và nó nhỏ nhất khi: K= 1/4
Hay

=>A nhỏ nhất =4
2.Ví dụ 2:
Cho biểu thức:


a, Rút gọn
b, Tìm giá trị lớn nhất của M và giá trị tương ứng của x
3. Ví dụ 3:
Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức


Giải:

Ta nhận thấy x = 0 => M = 0. Vậy M lớn nhất x≠ 0.
Chia cả tử và mẫu cho x2

Vậy M lớn nhất khi mẫu nhỏ nhất
Mẫu nhỏ nhất khi
nhỏ nhất

Vậy
nhỏ nhất x =1
Vậy





4.Ví dụ 4:
Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức :



Giải:



Biết rằng |A| + |B| ≥|A + B|
Vậy Y nhỏ nhất là 2 khi





Dạng 5: Toán tính giá trị biểu thức chứa căn nhiều tầng

Ví dụ : Tính

Ta có :



Loại 7: Biện luận phương trình

1.Ví dụ 1:
Cho phương trình: x2 – ( m + 2 )x + m + 1 = 0 ( x là ẩn )
a, Giải phương trình khi

b, Tìm giá trị m để phương trình có hai nghiệm trái dấu
c, Gọi x1 , x2 là hai nghiệm phương trình . Tìm giá trị m để :
x1( 1 – 2x2 ) + x2( 1 – 2x1 ) = m2

Giải
a, Thay
vào ta có phương trình :





Phương trình có hai nghiệm :



b, Phương trình có hai nghiệm trái dấu khi x1x2 =

hay a.c < 0
1(m + 1) < 0
m < -1
c, x1( 1 – 2x2) + x2 ( 1 – 2x1) = m2


Theo viet ta có :

Thay vào (*) ta có :
2(m + 2 ) – 4 ( m + 1 ) = m2
2m + 4 – 4m – 4 = m2
m2 + 2m = 0
m ( m + 2 ) = 0



2.Ví dụ 2:
Cho phương trình : x2 – 2mx + 2m – 1 = 0
1, Chưng tỏ phương trình có hai nghiệm với mọi m
2, Đặt
a. Chứng minh A = 8m2 – 18m + 9
b. Tìm m sao cho A = 27
3, Tìm m sao cho nghiệm này bằng hai lần nghiệm kia
Giải
1. Xét


=> Phương trình luôn có nghiệm với mọi m
a.
=



Theo viet ta có :
=> điều phải chứng minh
b, Tìm m để A = 27 chính là giảI phương trình
8m2 – 18m + 9 = 27
8m2 – 18m – 18 = 0
4m2 – 9m – 9 = 0
Phương trình có hai nghiệm : m1 = 3 , m2 = -3/4
2.Tìm m để x1 = 2x2
Theo viet ta có : x1 + x2 = -b/a = 2m
Hay 2x2 + x2 = 2m
3x2 = 2m
x2 = 2m/3
x1 = 4m/3
Theo viet:



Phương trình có hai nghiệm : m1 = 3/2; m2 = 3/4
Ví dụ : Đề 8 ( trang 91)
Đề 17 ( trang 121)
Đề 18 ( trang 124)




















Hướng dẫn giải các đề thi vào 10
phần hình học


Đề 1 ( Đề thi vào lớp 10 năm 2000 – 2001)

GT

đều ;
OB = OC



 KL
a,
đồng dạng với

BC2 = 4BM
b, MO là tia phân giác

c, Đường thẳng MN luôn tiếp xúc với đường tròn cố định khi

quay O



Giải
a, Trong
có

=>
( vì


Vì



Vì
đều



Từ (1) và (2) =>
đồng dạng với


=>



b, Ta có

mà

=>
đồng dạng với

=> CM là tia phân giác của

c, Thật vậy khi
quay tới vị trí ( hình vẽ đỏ ) lúc đó M, N là trung điểm của AB và AC
đường cao AO ┴ MN tại H và HO = 1/2AO
Như vậy đường tròn cố định đó có tâm tại O , bán kính bằng AO/2


Đề 2 ( Đề thi vào lớp 10 năm 2002 – 2003 )








1, Chứng minh AC // MO

Thậy vậy
cân tại O

( hai góc ở đáy )
Theo chứng minh tính chất 2 của tiếp tuyến thì

Theo định lí 7
(góc ngoài bằng tổng hai góc trong)
Hay
AC // MO

2, Chứng minh 5 điểm M, B, O, A, D cùng nằm trên một đường tròn

* Xét tứ giác MBOA có

=> MBOA nội tiếp đường tròn đường kính MO
* Xét tứ giác MDAO
Trong

( tổng hai góc nhọn trong tam giác vuông )
Trong

Theo chứng minh trên :

Trong tức giác MDAO có D và M nhìn AO đưới góc bằng nhau α0
Vậy M, D thuộc cung AO chứa góc α0
Hay MDAO nội tiếp
Ta lại có
=> MO là đường kính đường tròn ngoại tiếp
Vậy 5 điểm M, B, O, A, D cùng nằm trên đường tròn đường kính MO

3, Tìm M trên d để
đều , hãy chỉ ra cách xác định M.

Thậy vậy để AOC là tam giác đều nghĩa là


Để xác định M từ O quay một cung có bán kính bằng 2R cắt d tại M .
Thoả mãn điều kiện nói trên.


Đề 3 ( Đề thi vào 10 năm 1998 - 1999 )

a, AE là phân giác của

Thật vậy BC ┴ EOF =>



( góc nội tiếp chắn hai cung nhau )
=>AE là phân giác của


b, BD // AE


cân tại A =>

c, Nếu I là trung điểm của BC =>



Ta lại có
( góc nội tiếp chắn đường tròn)


Từ (1) (2) =>

=>I, A, F thẳng hàng




Đề 4 ( Đề 3 trong bộ đề ôn vào 10 )








a, Chứng minh tam giác POQ vuông
Xét
theo chứng minh tính chất 2 tiếp tuyến ta có

=>OP là phân giác của


=> OQ là phân giác của

Mà
là 2 góc kề bù do đó
tại O ( theo định lí )
=>tam giác POQ vuông tại O

b, Chứng minh
đồng dạng với


ấy tam giác CED là tam giác vuông tại E ( góc nội tiếp chắn 1/2 đường tròn )
Có
( hai góc nội tiếp cùng chắn cung ED )
=>Tam giác POQ đồng dạng với tam giác CED

c, Tính tích CP . DQ theo R

Theo tính chất 2 của tiếp tuyến ta có : CP = PE
DQ = EQ
Xét
có OE