Với
là số nguyên dương, chứng minh hệ thức sau:

000
Ta có: 
Cho
, ta có:      


111
Chứng minh: 

000
Đặt:  
Ta có: 
.
.
Đề bài

Chứng minh rằng:
.


Bài giải chi tiết | n

Ta có:  
. Lấy đạo hàm 2 vế ta có :
. Cho
  ta có :

Đề bài

Tìm hệ số của
trong khai triển thành đa thức của



Bài giải chi tiết |



                        

Bậc của
trong 3 số hạng đầu nhỏ hơn 8, bậc của
trong 4 sô hạng cuối lớn hơn 8.
Vậy
chỉ có trong các số hạng thứ tư, thứ năm, với hệ số tương ứng là:



Đề bài

Gọi
là hệ số của
trong khai triển thành đa thức của
. Tìm
để



Bài giải chi tiết |

Cách 1:
Ta có 
,

.
Dễ dàng kiểm tra
không thỏa mãn điều kiện bài toán.
Với
thì
.
Do đó hệ số của
trong khai triển đa thức của
là

Vậy

Vậy
là giá trị cần tìm (vì
nguyên dương).
Đề bài

Tính tổng  
 


Bài giải chi tiết |

Ta có






.
Đề bài

Giải hệ phương trình  :
 


Bài giải chi tiết |

Điều kiện :
.
Từ phương trình thứ hai suy ra

Thay
vào phương trình thứ nhất và sử dụng công thức tổ hợp
Đưa về phương trình
.
Giải phương trình này và loại
, nhận

Đề bài

Tìm hệ số của số hạng chứa
trong khai triển nhị thức Niutơn của

, biết rằng



Bài giải chi tiết |

Từ giả thiết suy ra:

   (1)
Vì
,
,
  nên :

    (2)    
Từ triển khai nhị thức Niutơn của
suy ra :







                                       (3)                                                                        
Ta có :

                 
Hệ số của
là
  với
thỏa mãn :
 
Vậy hệ số của
là :
                         
Đề bài

Cho
. Sau khi khai triển và rút gọn thì biểu thức A sẽ gồm bao nhiêu số hạng  ?


Bài giải chi tiết |







Xét trường hợp   

Vì
và
phải là bội số của 3.

hay
hay

Vậy có 3 số hạng  trong khai triển trên có lũy thừa của x giống nhau.
Mặt khác: biểu thức
chứa 21 số hạng
và biểu thức
chứa 11 số hạng
Nên sau khi khai triển và rút gọn biểu thức A sẽ gồm : 21 + 11 - 3 = 29 số hạng  .
Đề bài

Khai triển biểu thức
ta được đa thức có dạng
. Tìm hệ số của
, biết
.


Bài giải chi tiết |

 Số hạng thứ k + 1 trong khai triển
là :
Từ đó ta có :




Với
, ta có hệ số của
trong khai triển
là

Đề bài

Tìm hệ số của số hạng chứa
trong khai triển nhị thức Niutơn của
, biết:




Bài giải chi tiết |





Do đó hệ số của số hạng chứa
là:

Đề bài

Chứng minh rằng: 



Bài giải chi tiết |

Dùng khai triển nhị thức Niutơn :

  (1)

  (2)
Cộng hai vế (1) và (2) ta được :


Cho
:




Đề bài

Trong khai triển nhị thức Niutơn của
, biết số hạng thứ tư bằng 200 . Tìm x.


Bài giải chi tiết |

Điều kiện

Ta có :

Theo giả thiết số hạng thứ tư bằng 200




Vậy
là những giá trị phải tìm thỏa mãn điều kiện đầu bài .
Đề bài

Đặt :

Tính tổng :



Bài giải chi tiết |

Ta có

Xét x=1 =>

=>
=