Chứng minh nếu ánh xạ f khả vi Frechet tại
thì f cũng khả vi Gâteaux tại
Nhưng điều ngược lại không đúng.
Chứng minh
Giả sử
là các không gian định chuẩn trên trường
và ánh xạ
khả vi Frechet tại điểm
Khi đó tồn tại ánh xạ tuyến tính liên tục
sao cho với mọi
mà
ta có biểu diễn

với

Ta lấy tuỳ ý
và
thì
Do đó

Vì A là ánh xạ tuyến tính nên
Suy ra

chứng tỏ f khả vi Gâteaux tại
và lúc đó đạo hàm Gâteaux và đạo hàm Frechet của f tại
trùng nhau.

Ngược lại, ánh xạ f khả vi Gâteaux tại
nhưng chưa chắc nó đã khả vi Frechet tại điểm đó. Ta lấy ví dụ sau đây để minh hoạ.
Xét ánh xạ
cho bởi công thức


Lấy tuỳ ý
và xét ánh xạ tuyến tính liên tục
Ta có


Nên
tức là f(x, y) khả vi Gâteaux tại
và đạo hàm Gâteaux có nó tại điểm này chính là


Giả sử f(x, y) khả vi Frechet tại
tức là tồn tại ánh xạ tuyến tính liên tục
sao cho với mọi
ta có biểu diễn

với

Suy ra
khi
(c là hằng số nào đó không âm, lưu ý
nên khi
thì
bị chặn). Từ đó dẫn tới
bị chặn với mọi

Bây giờ ta chọn
thì hiển nhiên

Lúc này
khi
Điều này mâu thuẫn với (*). Chứng tỏ f không khả vi Frechet tại điểm (0,0).