Vài dòng Lịch sử
Lý thuyết Đồng dư do nhà Toán học Đức lỗi lạc K.F.Gauss (Kaclơ Friđơrich Gauxơ 1777-1855, người được mệnh danh là “ông vua Toán học”) xây dựng (các bạn có nhớ bài toán Gauss ở lớp 6 không ?), đây là lý thuyết rất quan trọng trong số học. Theo lịch sử, nhiều nhà Toán học Trung Quốc đã có khái niệm về đồng dư và vận dụng nó trong việc giải nhiều bài toán từ nhiều thế kỷ trước đó.
Việc hiểu biết một vài khái niệm ban đầu về đồng dư thức giúp ta giải nhiều bài toán khó trong số học một cách nhẹ nhàng, ngắn gọn và rất đẹp (cái mà người học toán cần vươn đến !) trong tập hợp số nguyên Z.


PHẦN I :
Định nghĩa :
Hai số nguyên a, b được gọi là đồng dư với nhau theo modulo m với m nguyên dương nếu hiệu a – b chia hết cho m. Ký hiệu a ( b (mod m)
Chú ý :
Ký hiệu a ( b (mod m) được gọi là một đồng dư thức.
Các thể hiện  (  (
Nếu a – b không chia hết cho m (với m nguyên dương) thì ta viết a ( b (mod m)

PHẦN II :
Tính phản xạ :
Với mọi số nguyên a, ta có : a ( a (mod m)
Tính đối xứng :
Nếu a ( b (mod m) thì b ( a (mod m)
Tính bắc cầu :
Nếu a ( b (mod m) và b ( c (mod m) thì a ( c (mod m)
Các tính chất mở rộng :



a ( b (mod m)
c ( d (mod m)
Hệ quả 1
a ( b (mod m) a ( x ( b ( x (mod m)


a ( b (mod m)
c ( d (mod m)
Hệ quả 2
a ( b (mod m) an ( bn (mod m) , n(N




c)
a ( b (mod m)
d(ƯC(a , b)
( d , m ) = 1
e)
a ( b (mod m)
d(ƯC(a , b , m)

d)
a ( b (mod m1)
a ( b (mod m2)
m = [ m1 ; m2 ]
f)
a ( b (mod m)
d(Ư(m)


Định lý nhỏ FERMAT (Pierre de Fermat – Nhà Toán học thiên tài người Pháp, thế kỷ 17 )
Tại sao là định lý nhỏ ? có định lý lớn không ? chúng ta nói về lịch sử của chúng một chút !
Chúng ta biết rằng một trong những mục tiêu trong lịch sử phát triển Toán học là đưa lý thuyết Số học vào Đại số nhằm giải quyết các bài toán thực tế. Một trong các bài toán đó là bài toán về Phương trình nghiệm nguyên – có người nói “là cái đích cuối cùng của Số học” (theo tôi là rất đúng !) – chúng thuộc vào lớp các phương trình vô định.
Người đầu tiên nghiên cứu có hệ thống về Phương trình vô định là nhà Toán học Diophante , sống ở thế kỷ thứ III. Tập sách “Số học “ của ông có ảnh hưởng rất lớn đến sự phát triển của Lý thuyết Số.
Khi xét phương trình Diophante sau đây : xn + yn = zn với n>2, nhà toán học Fermat (Nhà toán hoc Bell – gắn với phương trình nghiệm nguyên Bell nổi tiếng – hóm hỉnh gọi Fermat là “ Hoàng tử của những người nghiệp dư “. Bell cho rằng Fermat đã đạt được nhiều thành tựu toán học quan trọng hơn hầu hếtcác nhà toán học “chuyên nghiệp” cùng thời với ông) khẳng định rằng phương trình trên không có nghiệm nguyên dương. Kết luận này được mang tên là Định lý lớn Fermat . Năm 1983, một nhà Toán học người Đức đã chứng minh được rằng phương trình xn + yn = zn với n>2 chỉ có một số hữu hạn nghiệm nguyên.
Việc giải hoàn chỉnh phương trình xn + yn = zn với n>2, cho đến ngày nay vẫn còn là một thách thức đối với các nhà Toán học trên thế giới. Vì lẽ đó, định lý lớn Fermat đúng ra nên gọi là “một giả thuyết Fermat”.
Các bạn biết rằng “ một giả thuyết “ thì có thể đúng hoặc sai, siêu bài toán Fermat tưởng đã đi vào ngõ cụt. Tuy nhiên, ngày 23/06/1993 nhà toán học AndrewWiles đã công bố công trình nghiên cứu của mình trước Hội nghị toán học Quốc tế tại Đại học Cambridge (Anh) về “Bài toán Fermat” sau 8 năm nghiên cứu (công trình này dày khoảng 300 trang giấy A4). Thế là bài toán nổi