GIỚI HẠN DÃY SỐ
1. Dãy số có giới hạn 0. (định nghĩa xem SGK)
( Chú ý : ( lim(un) = 0 ( lim((un () = 0
( Dãy (un) không đổi với un = 0 có giới hạn 0
* Từ định nghĩa, ta có: lim= 0; lim= 0; lim= 0; (k ( Z+)
* Một số định lý về dãy có giới hạn 0.
Định lý 1: Cho 2 dãy (un) và (vn). Nếu (un(( vn (n( N* và limvn = 0
thì limun = 0
Định lý 2: Nếu (q(( 1 ( limqn = 0
2. Dãy số có giới hạn hữu hạn:
a. Định nghĩa: ( Dãy (un) có giới hạn là số thực L nếu lim(un – L) = 0.
Ta viết: lim(un) = L hoặc limun = L hoặc L hoặc un ( L (khi n ( + ().
Ta có: limun = L ( lim(un – L) = 0. Đặc biệt: limC = C.
( Dãy số có giới hạn là một số thực gọi là dãy có giới hạn hữu hạn.
b. Một số định lí về giơi hạn
Định lí 1: limun = L. Khi đó:
( lim(un (= (L( = (limun(. ( lim= =
( un ( 0 (n ( N* ( L ( 0 và = =
Định lí 2: limun = L, limvn = M, C = hằng số. Khi đó, ta có:
( lim(un + vn) = L + M ( lim(un ( vn) = L ( M
( lim(un.vn) = L. M; lim(C.un) = C.L ( lim = (M ( 0)
3. Dãy số có giới hạn vô cực. (Định nghĩa: Xem SGK)
a. Từ định nghĩa, ta có:
( limnk = + (, k ( Z+ ; = + ( ; = + (.
( limun = ( ( ( lim((un) = + (
Các dãy số có giới hạn + ( hay ( ( được gọi chung là các dãy có giới hạn vô cực hay dần đến vô cực.
( Định lý: (
b. Một số quy tắc tìm giới hạn vô cực.
( Chú ý: Các định lý (đã biết trong phần giới hạn hữu hạn) không áp dụng được cho các dãy số có giới hạn vô cực.
( Khi tìm các giới hạn vô cực, ta sử dụng các qui tắc sau:
Quy tắc 1: Nếu limun = ( ( và limvn = ( ( thì lim(unvn) được cho bởi bảng sau:
limun
limvn
lim(unvn)

+ (
+ (
( (
( (
+ (
( (
+ (
( (
+ (
( (
( (
+ (

 Quy tắc 2: Nếu limun = ( ( và limvn = L ( 0 thì lim(unvn) được cho bởi bảng sau:
limun
Dấu của L
lim(unvn)

+ (
+ (
( (
( (
+ (
( (
+ (
( (
+ (
( (
( (
+ (

 Quy tắc 3: Nếu limun = L ( 0, limvn = 0 và vn > 0 hoặc vn < 0 kể từ một số hạng nào đó trở đi thì lim được cho bởi bảng sau:
Dấu của L
Dấu củavn
lim(un/vn)

+ (
+ (
( (
( (
+ (
( (
+ (
( (
+ (
( (
( (
+ (

( Giới hạn đặc biệt * Nếu un = C, C là hằng số ( limun = C.
* q > 1 ( limqn = + ( ; (q(< 1 ( limqn = 0
* = 0; limnk = + ( (k ( N*)
4. Tổng của CSN lùi vô hạn
( CSN vô hạn (un) có công bội q mà (q( < 1 gọi là CSN lùi vô hạn.
( Tổng của CSN (lùi vô hạn): S = u1 + u2 + u3 + … =