IV . Phương trình
IV.1- Phương trình bậc nhất một ẩn – Giải và biện luận:
1. Kiến thức cơ bản
- Phương trình bậc nhất 1 ẩn có dạng: ax + b = 0 (a
0) với a, b là 2 số đã cho.
- Giải và biện luận phương trình bậc nhất 1 ẩn:
Xét phương trình ax + b = 0 <=> ax = - b
+ Nếu a = 0; b = 0 -> Phương trình có vô số nghiệm
+ Nếu a = 0; b
0 -> Phương trình vô nghiệm
+ Nếu a
0, Phương trình có 1 nghiệm là x =

2. Bài tập ví dụ
Ví dụ: Giải và biện luận phương trình sau với m là tham số
m2 (x – 1) = x – 2m + 1 (1)
Giải: Phương trình (1) <=> m2x – m2 = x – 2m + 1
<=> m2x – x = m2 – 2m + 1
<=> (m – 1) (m + 1) x = (m – 1)2
- Nếu m

1 thì phương trình có nghiệm là x =

- Nếu m = 1 thì phương trình là 0x = 0 => Phương trình có vô số nghiệm
- Nếu m = -1 thì phương trình là 0x = 4 => Phương trình vô nghiệm
IV.2 Phương trình bậc hai – Hệ thức Viét áp dụng cho phương trình bậc hai
1. Phương trình bậc hai một ẩn:
- Là phương trình có dạng: ax2 + bx + c = 0, (a
0). Trong đó x là ẩn; a, b, c ( R
- Cách giải:
Cách 1: Dùng phương pháp phân tích đa thức thành nhân tử, đưa về phương trình tích.
Cách 2: Dùng công thức nghiệm của phương trình bậc hai.
Ví dụ1: Giải phương trình: 3x2 – 7x + 4 = 0 (1)
Cách 1: Phương trình (1) <=> 3x2 – 3x – 4x + 4 = 0
<=> (3x – 4) (x – 1) = 0 <=>

Vậy phương trình có 2 nghiệm: x1 =
; x2 = 1
Cách 2:
= 49 – 48 = 1;



Vậy phương trình có 2 nghiệm: x1 =
; x2 = 1
Ví dụ 2: Cho phương trình: m(x2 – 4x + 3) + 2(x – 1) = 0 (1)
a) Giải phương trình với m = -

b) Chứng minh rằng phương trình luôn có nghiệm với mọi giá trị của m.
c) Tìm các giá trị của m để phương trình (1) có nghiệm nguyên.
Giải: Phương trình (1) <=> mx2 – 2x (2m – 1) + 3m – 2 = 0
a) Với m = -
, phương trình (1) là: x2 – 8x + 7 = 0. Phương trình có 2 nghiệm
x1 = 1; x2 = 7
b) Với m = 0, phương trình (1) là: 2x – 2 = 0 ; PT có nghiệm x = 1
Với m
0,
’ = 4m2 – 4m + 1 – 3m2 + 2m = m2 – 2m + 1 = (m – 1)2
0 Với
m -> Phương trình luôn có nghiệm.
Vậy phương trình (1) luôn có nghiệm với mọi m.
c) Với m = 0, phương trình có nghiệm là x = 1
Z
Với m
0, phương trình có 2 nghiệm phân biệt


x2
Z => để phương trình luôn có nghiệm nguyên thì


Vậy với m = 0;
thì phương trình (1) luôn có nghiệm nguyên.
Ví dụ 3: Giải phương trình: x4 + x3 – 3a2x2 – 2a2x + 2a4 = 0 (1)
Giải: Phương trình (1) <=> 2a4 – a2(3x2 + 2x) + x4 + x3 = 0 (2)
Coi phương trình (2) là phương trình với ẩn a, tham số x.
Đặt a2 = t ( t
0) ta được phương trình:
2t2 – (3x2 + 2x) t + x4 + x3 = 0 (3)

= (3x2 + 2x)2 – 8 (x4 + x3)
x4 + 4x3 + 4x2 = (x2 + 2x)2
0
=> Phương trình luôn có nghiệm


* Với
ta có: a2 =
<=> x2 = 2a2
- Nếu a = 0 => x1 = x2 = 0
- Nếu a
=> x3, 4 =

* Với t2 = x2 + x ta có: a2 = x2 + x <=> x2 + x – a2 = 0

= 1 + 4a2 > 0 với mọi a
Phương trình luôn có 2 nghiệm phân biệt:


Vậy nếu a = 0, phương trình có 2 nghiệm là: x1 = 0; x2 = -1
Nếu a
, phương trình có 4 nghiệm là:
x1;2 =
; x3;4 =

* Quan hệ giữa các nghiệm của 2 phương trình bậc 2:
Ví dụ: Tìm các giá trị của m để 2 phương trình sau có ít nhất một nghiệm chung.
x2 + (m – 8)x + m + 3 = 0 (1)
x2 + (m – 2)x + m - 9 = 0 (2)
Giải: Giả sử x0 là nghiệm chung của 2 phương trình, thế thì:
x02 + (m – 8) x0 + m + 3 = 0 (1’)
x02 + (m – 2) x0 + m – 9 = 0 (2’)
=> - 6x0 + 12 = 0 <=> x0 = 2
Thay vào (1’) tìm được m = 3
Với m = 3 thì phương trình (1) là: x2 – 5x + 6 = 0
<=> (x – 2) (x – 3) = 0 => x1 = 2; x2 = 3
Phương trình (2) là: x2 +x – 6 = 0 <=> (x – 2) (x + 3) = 0
=> x1 = 2; x2 = -3
Khi đó nghiệm chung của 2 phương trình là x = 2
Vậy với m = 3 thì 2 phương trình có nghiệm chung là x = 2
2. Hệ thức Viét áp dụng cho phương trình bậc hai.
a) Hệ thức Viét:
+ Nếu x1, x2 là các nghiệm của phương trình ax2 + bx + c = 0 ( a
) thì:

+ Ngược lại: Nếu có 2 số x1; x2 sao cho x1 + x2 = S; x1.x2 = P thì x1; x2 là các nghiệm của phương trình: X2 – SX + P = 0
b) Một số áp dụng:
Hệ thức Viét thường được ứng dụng để giải một số dạng bài tập sau:
b1) Tính nhẩm nghiệm của phương trình bậc hai:
Cho phương trình bậc hai: ax2 + bx + c = 0 ( a
)
- Nếu a + b + c = 0 thì phương trình có 2 nghiệm: x1 = 1; x2 =

- Nếu a – b + c = 0 thì x1 = -1; x2 = -

Ví dụ: Tính nhẩm nghiệm của các phương trình sau:
a)
.x2 – (3 -
)x + (
- 1)2 = 0 (1)
b) mx2 – (1 – m) x – 1 = 0 (2)
Giải: a) Phương trình (1) là phương trình bậc hai dạng ax2 + bx + c = 0,
có: a + b + c =
- (3 -
) + (
- 1)2
=
- 3 +
+ 3 - 2
= 0
=> Phương trình có 2 nghiệm: x1 = 1; x2 =
=

b) + Với m = 0, phương trình là: -x – 1 = 0 <=> x = -1
+ Với m
, phương trình (2) là phương trình bậc hai có
a – b + c = m + 1 – m – 1 = 0
Phương trình có 2 nghiệm: x1 = -1; x2 = -
=

b2) Xét dấu các nghiệm của phương trình.
Cho phương trình: ax2 + bx + c = 0 (a
)
Gọi S = x1 + x2; S = -
; P = x1.x2; P =

Điều kiện để phương trình:
- Có 2 nghiệm trái dấu: P < 0 (khi đó hiển nhiên
> 0)
- Có 2 nghiệm cùng dấu

- Có 2 nghiệm cùng dương:

- Có 2 nghiệm cùng âm

Ví dụ: Cho phương trình: x2 + 2( m – 2)x – 2m + 1 = 0 (1)
Tìm giá trị của m để phương trình có 2 nghiệm cùng dương? 2 nghiệm trái dấu
Giải: Phương trình (1) có 2 nghiệm dương:

<=>



<=> m <

Vậy với m <
thì phương trình có 2 nghiệm dương.
b3) Tính giá trị của 1 hệ thức giữa các nghiệm của phương trình.
Trước hết, kiểm tra điều kiện có nghiệm của phương trình. Sau đó tính S = x1 + x2; P = x1.x2 và biến đổi hệ thức cần tính theo S và P.
Ví dụ: Cho phương trình x2 – 5x + 3 = 0 (1)
Gọi x1; x2 là 2 nghiệm của phương trình. Không giải phương trình, hãy tính:
a) x12 + x22
b) x12 – x22
c)

Giải: Phương trình (1) có:
= 25 – 12 = 13 > 0 -> Phương trình luôn có 2 nghiệm x1; x2. Theo định lý Viét ta có: x1 + x2 = 5; x1.x2 = 3
a) x12 + x22 = (x1 + x2)2 – 2x1x2 = 52 – 2.3 = 19
b) (x1 – x2)2 = (x1 + x2)2 – 4 x1x2 = 52 – 4.3 = 13 ( x1 - x2 =
.
Ta có: x12 – x22 = (x1 – x2)(x1 + x2) =

c)
=


b4) Xác định hệ số của phương trình, biết hệ thức giữa các nghiệm
Ví dụ: Cho phương trình: x2 – 3x + (k – 1) = 0 (1)
Xác định hệ số k để phương trình có 2 nghiệm x1; x2 thoả mãn 1 trong các điều kiện sau:
a) 2x1 – 5x2 = - 8
b) x12 – x22 = 15
c) x12 + x22 = 3
Giải: Điều kiện để phương trình (1) có nghiệm là:


= 9 – 4 (k – 1) = 9 – 4k + 4 = 13 – 4k


0 <=> 13 – 4k
0 <=> k
(2)
Gọi 2 nghiệm của phương trình (1) là x1; x2
áp dụng hệ thức Viét ta có:
x1 + x2 = 3
x1.x2 = k – 1 (3)
a) Giải hệ phương trình:



Khi đó, thay vào (3) ta có: 1.2 = k – 1 => k = 3 (TMĐK (2))
b) Giải hệ phương trình:


Thay vào (3) ta có: 4. (-1) = k – 1 <=> k = -3 (TMĐK)
c) Giải hệ phương trình:

Ta có: x12 + x22 = (x1 + x2)2 – 2x1x2
=> 3 = 32 – 2 (k – 1)
<=> k = 4, không TMĐK (2).
Vậy không tồn tại số k để thoả mãn x12 + x22 = 3.
b5) Tìm hệ thức giữa các nghiệm độc lập với tham số.
Ví dụ: Cho phương trình bậc 2: ( m – 2)x2 – 2(m + 2)x + 2 (m – 1) = 0 (1)
Khi phương trình có nghiệm, hãy tìm 1 hệ thức giữa các nghiệm không phụ thuộc vào tham số m.
Giải: Vì phương trình đã cho là phương trình bậc hai nên m
2

=[-(m+2)]2 – 2(m – 2) (m – 1) = -m2 + 10m
Phương trình đã cho có nghiệm khi và chỉ khi:


0 <=> m2 – 10m
0 <=> m ( m – 10)
0 <=> 0
m
10
Gọi x1; x2 là các nghiệm của phương trình (1). Theo hệ thức Viét ta có:


Từ (1) : x1 + x2 =

Từ (2): x1.x2 =

Từ (3); (4) =>

Vậy hệ thức cần tìm là: 4x1x2 – (x1 + x2) = 6
b6) Lập phương trình bậc hai biết 2 nghiệm của nó
Ví dụ: Gọi m, n là các nghiệm của phương trình:
x2 – (1 +
) x +
= 0 (1) (m < n)
Lập phương trình bậc 2 có các nghiệm là:


Giải: Phương trình (1) có: a + b + c = 1 – (1 +
) +
= 0
=> Phương trình có 2 nghiệm là 1 và

Gọi m, n là các nghiệm của phương trình (1) với m < n
=> m = 1; n =



x1 + x2 =

x1.x2 =

=> x1; x2 là 2 nghiệm của phương trình: x2 + 2x – 1 = 0
3. Bài tập tự luyện
1. Giải và biện luận phương trình bậc nhất 1 ẩn
Bài 1: Giải các phương trình sau:
a) (2x –1)2 – (2x – 2) (2x + 2) = x (2x – 1) – (2x2 + 5x – 3)
b)

c)

d)

e)

g)

Bài 2: Giải các phương trình sau (với x là ẩn số):
a) 4m2 (x – 1) = x – 4m + 1
b)

c)

d)

2. Phương trình bậc hai – Hệ thức Viét và ứng dụng:
Bài 3: Giải các phương trình sau:
a) 2
x2 – (
+1)x -
+ 1 = 0
b)
x2 + (2
-3)x +
-3 = 0
c)

Bài 4: Chứng minh rằng phương trình sau có nghiệm với mọi m.
(m – 2) x2 – (5m2 + 4m – 1)x – m + 2 = 0
Bài 5: Tìm các số nguyên n để các nghiệm của phương trình sau là các số nguyên.
x2 – 2(2n + 1)x + 4 (n – 2) = 0
Bài 6: Gọi x1; x2 là các nghiệm của phương trình: x2 – x – 1 = 0
a) Tính x12 + x22
b) Chứng minh: Q = (x12 + x22 + x14 + x24)
5
Bài 7: Tìm m để phương trình: x2 – mx + m2 – 7 = 0 có nghiệm này gấp đôi nghiệm kia.
Bài 8: Cho phương trình: x2 – mx + m2 – 3 = 0
a) Tìm m để phương trình có 2 nghiệm dương phân biệt.
b) Tìm m để phương trình chỉ có 1 nghiệm là dương.
Bài 9: Cho phương trình: x2 – 2( m+ 1) x + m2 + 3m + 2 = 0
a) Tìm m để phương trình có nghiệm x1, x2 thoả mãn: x12 + x22 = 12
b) Tìm hệ thức liên hệ giữa x1 và x2 không phụ thuộc m?
Bài 10: Cho phương trình: x2 – 2(m + 1)x + 2m – 15 = 0
Gọi các nghiệm của phương trình là x1; x2
a) Tìm m sao cho x1 + 5x2 = 4
b) Tìm số nguyên m sao cho F =
cũng là số nguyên.
Bài 11: Cho phương trình: (m + 1) x2 – 2(m – 1) x + m – 2 = 0
a) Xác định m để phương trình có 2 nghiệm phân biệt.
b) Xá