MỘT SỐ BÀI TOÁN
ÔN TẬP THI HỌC SINH GIỎI
-----------------------------------

Bài 1: Tìm số tự nhiên n sao cho các số sau là số chính phương:
a. n2 + 2n + 12 b. n (n+3)
c. n2 + n + 1589
Gợi ý :
a. Vì n2 + 2n + 12 là số chính phương nên đặt n2 + 2n + 12 = k2 (k
N)

(n2 + 2n + 1) + 11 = k2
k2 – (n+1)2 = 11
(k+n+1)(k-n-1) = 11
Nhận xét thấy k+n+1 > k-n-1 và chúng là những số nguyên dương, nên ta có thể viết
(k+n+1)(k-n-1) = 11.1




Vậy n = 4.
* Các câu khác giải tương tự.

Bài 2: Cho A là số chính phương gồm 4 chữ số. Nếu ta thêm vào mỗi chữ số của A một đơn vị thì ta được số chính phương B. Hãy tìm các số A và B.
Gợi ý:
Gọi A =
= k2. Nếu thêm vào mỗi chữ số của A một đơn vị thì ta có số
B =
= m2 với k, m ( N và 32 < k < m < 100
a, b, c, d ( N ; 1 ≤ a ≤ 9 ; 0 ≤ b, c, d ≤ 9

m2 – k2 = 1111
(m - k)(m+k) = 1111 (*)
Xét các trường hợp, kết quả A = 2025 , B = 3136
Bài tập tương tự :
a. Tìm 3 số lẻ liên tiếp mà tổng bình phương là một số có 4 chữ số giống nhau.
b. Tìm số có 2 chữ số sao cho tích của số đó với tổng các chữ số của nó bằng tổng lập phương các chữ số của số đó.

Bài 3: Tìm nghiệm nguyên của phương trình : 3xy + x - y = 1

(3y + 1)(3x - 1) = 2 (Phương trình ước số)
Vì x, y là các số nguyên nên 3x - 1 , 3y + 1 là các số nguyên và là ước của 2

ta có bảng sau :
3x - 1
- 1
1
- 2
2

3y + 1
- 2
2
- 1
1

x
0
/
/
1

y
- 1
/
/
0

 Vậy nghiệm nguyên của phương trình là : (0 ; -1), (1 ; 0)

Bài tập dạng khác :
xy - x - y = 2.
11x + 18y = 120





Bài 4 : Cho a, b là các chữ số với a khác 0. Chứng minh rằng
a.
chia hết cho 11
b.
chia hết cho 7
c.
chia hết cho 37
d.
chia hết cho 7, 11 và 13.
Hướng dẫn
a.

b.

c.

d.

(Hướng dẫn : bài tập chủ đề trang 5, sách tài liệu “ôn luyện thi tuyển sinh lớp 10”)

Bài 5 : Tìm tất cả các số tự nhiên gồm 6 chữ số sao cho mỗi chữ số, kể từ chữ số thứ ba (tính từ trái sang phải) đều là tổng của 2 chữ số liền kề bên trái.

Gợi ý :
Gọi a là chữ số hàng trăm ngàn (a > 0) và b là chữ số hàng chục ngàn của số tự nhiên cần tìm.
Chữ số hàng ngàn là : a + b.
Chữ số hàng trăm là : a + 2b.
Chữ số hàng chục là : 2a + 3b.
Chữ số hàng đơn vị là : 3a + 5b.
Ta có 3a + 5b ≤ 9
b ≤ 1, nên b = 0 hoặc b = 1
Lý luận đưa đến kết quả : 101123 ; 202246 ; 303369 ; 112358 .

Bài 6 : Tìm giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của biểu thức

Gợi ý :
+ Điều kiện để A có nghĩa : - 2008 ≤ x ≤ 2009.
+ Giá trị nhỏ nhất : A = 4017 khi x = -2008 hoặc x = 2009.
+ Sử dụng bất đẳng thức Bunhiacôpski tìm.
Giá trị lớn nhất của A = 8034 khi x =
.

Bài 7 : Cho A =

a. Rút gọn A.
b. Tìm x để A =

c. Tìm