Mét sè bµi to¸n «n tËp
Bµi 1 : (§Ò 16)
a. BiÕt c¸c sè x1, x2 lµ c¸c nghiÖm cña ph­¬ng tr×nh bËc hai : ax2 + bx + c = 0, vµ c¸c sè d­¬ng x3, x4 lµ c¸c nghiÖm cña ph­¬ng tr×nh bËc hai : cx2 + bx + a = 0, trong ®ã a vµ c lµ c¸c sè d­¬ng . Víi ®iÒu kiÖn nµo cña a vµ c th× biÓu thøc
®¹t gi¸ trÞ nhá nhÊt ?
b. Chøng minh r»ng nÕu cÆp gi¸ trÞ (x, y) nghiÖm ®óng c¸c ph­¬ng tr×nh : x2 - 3xy + 2y2 + x - y = 0 (1) vµ x2 - 2xy + y2 - 5x + 7y = 0 (2) th× còng nghiÖm ®óng ph­¬ng tr×nh : xy - 12x +15 y = 0 (3) .
c. Cho d·y sè nguyªn d­¬ng lÎ t¨ng a1 < a2 < a3 < ...< an
Chøng minh r»ng víi mçi sè tù nhiªn n (n ( 1), gi÷a hai sè a1 + a2 + a3 + ... + an - 1 vµ a1 + a2 + a3 + ... + an + an+1 bao giê còng cã Ýt nhÊt mét sè chÝnh ph­¬ng k2 .
Bµi 2: (§Ò 15)
Chøng minh r»ng nÕu a, b, c lµ ®é dµi c¸c c¹nh cña mét tam gi¸c th× ph­¬ng tr×nh sau ®©y v« nghiÖm : a2x2 + (a2 + b2 - c2)x + b2 = 0.
Bµi 3: (§Ò 17)
a.Gi¶i ph­¬ng tr×nh :

b. Gi¶i hÖ ph­¬ng tr×nh :

Bµi 4: (§Ò 18)
a. Chøng minh r»ng nÕu :
th×

b. Cho ph­¬ng tr×nh :
(1)
1. T×m ®iÒu kiÖn cña m ®Ó ph­¬ng tr×nh cã bèn nghiÖm ph©n biÖt .
2. T×m m ®Ó bèn nghiÖm x1 < x2 < x3 < x4 tháa m·n ®iÒu kiÖn : x2 - x1 = x3 - x2 = x4 - x3
Bµi 5: (§Ò 19)
a. Gi¶i ph­¬ng tr×nh :

b. Gi¶i hÖ ph­¬ng tr×nh :

Bµi 6: (§Ò 21)
a. Cho x, y, z lµ c¸c sè thùc tháa m·n ®iÒu kiÖn : xy + yz + xz = 0 . §Æt
víi a, b, c lµ c¸c sè d­¬ng . Hái a, b, c cã thÓ lµ c¸c c¹nh cña mét tam gi¸c ®­îc hay kh«ng ?
b. Ba sè thùc a, b, c tháa m·n :
. Chøng minh a, b, c < 0
Bµi 7: (§Ò 22)
a. Cho ®a thøc f(x) = ax4+ bx3 +cx2 + dx + e . BiÕt r»ng víi x = 0 vµ x = 1 th× f(x) lµ sè lÎ, trong ®ã a, b, c, d, e ( Z . Chøng minh r»ng ph­¬ng tr×nh f(x) = 0 kh«ng cã nghiÖm nguyªn.
b. Víi sè nguyªn d­¬ng n nµo th× c¸c sè d­¬ng a1, a2, ..., an tháa m·n hÖ ph­¬ng tr×nh sau : :

Bµi 8: (§Ò 24)
a. P(2) lµ gi¸ trÞ cña ®a thøc P(x) khi x = 2 . Chøng minh r»ng P(x) - P(2) chia hÕt cho x - 2.
b.T×m gi¸ trÞ cña ®a thøc Q(x) khi x = 2, biÕt gi¸ trÞ cña ®a thøc P(x) víi x = 2 lµ P(2) = 4 vµ biÕt sè d­ trong phÐp chia (2x - 5).P(x) + (4x - 1).Q(x) cho x - 2 lµ 17.
Bµi 9: (§Ò 26)
Cho ba sè a, b, c tïy ý . Chøng minh r»ng trong ba sè (a - b)2 ; (b - c)2 ; (c - a)2 Ýt nhÊt cã mét sè kh«ng lín h¬n
vµ khi nµo th× sè nhá nhÊt trong ba sè trªn b»ng
.
Bµi 10: (§Ò 28)
a. Cho ph­¬ng tr×nh 2x2 + 2(m + 2)x + m2 + 4m + 3 = 0 (1) . Chøng minh r»ng khi (1) cã nghiÖm th× hai nghiÖm cña nã tháa m·n bÊt ®¼ng thøc :
.
b. Cho hµm sè y = f(x) víi f(x) lµ mét biÓu thøc ®¹i sè lÊy gi¸ trÞ lµ sè thùc kh¸c 0. BiÕt r»ng
víi mäi sè thùc x kh¸c 0. TÝnh gi¸ trÞ cña f(2) .
Bµi 11: (§Ò 29)
a. T×m sè nguyªn x sao cho ®a thøc 19x + 93 nhËn gi¸ trÞ lµ sè chÝnh ph­¬ng.
b. Cho hai ph­¬ng tr×nh : x2 - (2m + n)x - 3m = 0 vµ x2 - (m +3n)x - 6 = 0 .T×m m vµ n ®Ó hai ph­¬ng tr×nh trªn t­¬ng ®­¬ng víi nhau .
Bµi 12: (§Ò 30)
a. Gi¶i ph­¬ng tr×nh :

b. T×m a vµ b sao cho hÖ ph­¬ng tr×nh sau cã nghiÖm duy nhÊt :

c. Chøng minh r»ng nÕu ph­¬ng tr×nh bËc ba : ax3+ bx2 + cx + d = 0 cã hai nghiÖm thùc th× tÝch hai nghiÖm ®ã kh«ng nhá h¬n
.
Bµi 13: (§Ò 32)
a. Cho a, b, c lµ ba sè kh¸c nhau vµ c kh¸c 0. Chøng minh r»ng nÕu c¸c ph­¬ng tr×nh x2 + ax + bc = 0 vµ x2 + bx + ac = 0 cã ®óng mét nghiÖm chung th× c¸c nghiÖm cßn l¹i cña chóng tháa m·n ph­¬ng tr×nh x2 + cx + ab = 0 .
b. Cho ba sè a, b, c tháa m·n :
. TÝnh tæng M = a + b2 + c3 .
c. LËp ph­¬ng tr×nh bËc hai cã c¸c hÖ sè nguyªn vµ cã mét nghiÖm lµ

Bµi 14: (§Ò 33) Cho tam thøc bËc hai f(x) = ax2 + bx + c víi c¸c hÖ sè nguyªn .
a. Chøng minh r»ng víi a, b, c lµ ba sè bÊt k× th× biÖt sè ( cña tam thøc trªn kh«ng thÓ b»ng 1994 vµ còng kh«ng thÓ b»ng 1995.
b. Khi tam thøc cã c¸c hÖ sè nguyªn thay ®æi, h·y t×m sè ( nguyªn d­¬ng nhá nhÊt mµ kh«ng lµ sè chÝnh ph­¬ng .
Bµi 15: (§Ò 35) BiÕt c¸c sè d­¬ng x, y, z tháa m·n hÖ ph­¬ng tr×nh :

TÝnh gi¸ trÞ cña biÓu thøc : xy + 2yz + 3 xz .

Bµi 16: (§Ò 15)
1. Cho tam gi¸c ®Òu ABC néi tiÕp trong mét ®­êng trßn . Mét ®­êng trßn tiÕp xóc trong víi ®­êng trßn ®· cho t¹i ®iÓm T trªn cung nhá AB vµ c¾t c¸c d©y TA, TB, TC lÇn l­ît ë D, E, F .Chøng minh :
a. EF // BC; DF // AC vµ DE // AB
b. CT = TA + TB
c. Tõ c¸c ®iÓm A, B, C vÏ c¸c tiÕp tuyÕn AM, Bn, vµ CP víi ®­êng trßn nhá . Chøng minh CP = AM + BN.
2. Cho ®­êng trßn t©m O vµ tiÕp tuyÕn PN (N lµ tiÕp ®iÓm). Gäi M lµ trung ®iÓm ®o¹n PN. §­êng trßn t©m O1 qua P vµ M c¾t ®­êng trßn t©m O ë A vµ B .§­êng th¼ng BA c¾t PN ë Q.
Chøng minh MQ : QN : PM : PQ = 1 : 2 : 3 : 4
Bµi 17: (§Ò 17) Cho tam gi¸c ABC néi tiÕp ®­êng trßn vµ d lµ tiÕp tuyÕn cña ®­êng trßn t¹i C . Gäi AH vµ BI lµ c¸c ®­êng cao cña tam gi¸c .
a. Chøng minh HI // d
b. Gäi MN vµ EF lÇn l­ît lµ h×nh chiÕu cña c¸c ®o¹n th¼ng AH vµ BI lªn ®­êng th¼ng d . Chøng minh MN = EF.
Bµi 18: (§Ò 19) Cho ®­êng trßn t©m O vµ mét ®­êng th¼ng AB tiÕp xóc víi ®­êng trßn t¹i T sao cho T lµ trung ®iÓm cña ®o¹n AB, P lµ mét ®iÓm trªn ®o¹n BT (P kh«ng trïng víi B vµ T). Tõ P kÎ tiÕp tuyÕn PMN víi ®­êng trßn (O) trong ®ã M n»m gi÷a P vµ N . NB c¾t ®­êng trßn (O) ë E , AM c¾t ®­êng trßn (O) ë I, IE c¾t AB ë F . Chøng minh AF = BP.
Bµi 19: (§Ò 23)
1. Mét h×nh vu«ng AMKE néi tiÕp tam gi¸c vu«ng ABC sao cho K thuéc c¹nh huyÒn BC ; E, M thuéc c¸c c¹nh gãc vu«ng CA vµ AB . C¸c c¹nh h×nh vu«ng tØ lÖ víi b¸n kÝnh ®­êng trßn néi tiÕp tam gi¸c ABC theo tØ sè
. TÝnh c¸c gãc cña tam gi¸c .
2. Cho h×nh vu«ng ABCD t©m O . Gäi K, N lÇn l­ît lµ trung ®iÓm c¸c c¹nh AB, BC vµ F lµ trung ®iÓm cña NC. Tõ A kÎ ®­êng th¼ng song song víi KF c¾t CD t¹i G. Chøng minh FG lµ tiÕp tuyÕn ®­êng trßn t©m O néi tiÕp trong h×nh vu«ng.
3. Trªn mét ®­êng trßn viÕt 1994 sè tù nhiªn, biÕt r»ng mçi sè lµ trung b×nh céng cña hai sè ®øng liÌn tr­íc vµ sau nã . Chøng minh tÊt c¶ c¸c sè ®ã b»ng nhau.
Bµi 20: (§Ò 24)
H×nh thang ABCD ngo¹i tiÕp mét ®­êng trßn víi hai c¹nh bªn AD vµ BC kh«ng song song . C¸c ®¸y AB vµ CD tiÕp xóc víi ®­êng trßn lÇn l­ît ë M vµ N . Trªn c¹nh AB lÊy ®iÓm M` sao cho AM` = MB . Chøng minh c¸c ®­êng th¼ng AD, BC, NM` ®ång qui.
Bµi 21: (§Ò 25)
Cho tam gi¸c tam gi¸c vu«ng c©n (AB = AC) . M lµ mét ®iÓm trªn c¹nh BC kh¸c hai ®iÓm B vµ C vµ kh¸c trung ®iÓm cña BC, kÎ MP // AC, MQ // AB (P(AB, Q(AC) . §­êng th¼ng qua A song song PQ c¾t ®­êng trßn ngo¹i tiÕp tam gi¸c ABC t¹i ®iÓm thø hai R. TÝnh gãc ARM.
Bµi 22: (§Ò 26)
Tõ mét ®iÓm P n»m ngoµi ®­êng trßn tam O b¸n kÝnh R ta kÎ hai tiÕp tuyÕn PA vµ PB víi A vµ B lµ c¸c tiÕp ®iÓm . Gäi H lµ ch©n ®­êng vu«ng gãc h¹ tõ A ®Õn ®­êng kÝnh BC .
Chøng minh r»ng: PC c¾t AH t¹i trung ®iÓm cña AH.
TÝnh AH theo R vµ PO = d
Bµi 23: (§Ò 28)
Cho tam gi¸c ABC vu«ng ë B néi tiÕp ®­êng trßn t©m O . Trªn tia ®èi cña tia BA lÊy ®iÓm B sao cho AD = 3AB . §­êng th¼ng Dy vu«ng gãc víi CD t¹i D vµ c¾t tiÕp tuyÕn Ax cña ®­êng trßn t©m O t¹i E. Tam gi¸c BDE lµ tam gi¸c g× ? v× sao ?
Bµi 24: (§Ò 30)
Mét ®­êng trßn t©m O ®i qua c¸c ®Ønh A vµ B cña tam gi¸c ABC c¾t c¸c c¹nh AC vµ BC cña tam gi¸c ABC lÇn l­ît t¹i D vµ E . C¸c ®­êng trßn ngo¹i tiÕp tam gi¸c ABC vµ CDE c¾t nhau t¹i hai ®iÓm ph©n biÖt lµ C vµ M . Chøng minh gãc OMC = 900 .
Bµi 25: (§Ò 35) Cho ®­êng trßn t©m O, d©y cung AB vµ M lµ ®iÓm chÝnh gi÷a cña cung AB. Qua M kÎ d©y cung thay ®æi c¾t d©y cung AB ë P vµ c¾t ®­êng trßn t¹i Q.
Chøng minh r»ng c¸c ®­êng th¼ng MA vµ MB theo thø tù lµ tiÕp tuyÕn cña ®­êng trßn ngo¹i tiÕp tam gi¸c APQ vµ ®­êng trßn ngo¹i tiÕp tam gi¸c BPQ.
Chøng minh r»ng khi d©y cung kÎ qua M thay ®æi th× tæng hai b¸n kÝnh ®­êng trßn ngo¹i tiÕp tam gi¸c apq vµ bpq kh«ng ®æi.
Bài 26(Bài 922) Cho tam gi¸c ABC cã ph©n gi¸c AD.
Chøng minh hÖ thøc : AD2 = AB.AC – DB.DC
TÝnh ®é dµi AD theo ®é dµi ba c¹nh a, b, c cña tam gi¸c .
Bµi 27 (Bµi 923) Cho tam gi¸c ABC néi tiÕp ®­êng trßn (O). Gäi D lµ mét ®iÓm bÊt k× trªn cung BC kh«ng chøa A, D kh¸c B vµ C . Gäi H, I, K lÇn l­ît lµ h×nh chiÕu cña D lªn c¸c ®­êng th¼ng BC, CA, AB. Gäi P lµ trùc t©m cña tam gi¸c ABC . Chøng minh:
Ba ®iÓm H, I, K th¼ng hµng .



§­êng th¼ng Hk ®i qua trung ®iÓm cña ®o¹n DP.
Bµi 28 : (Bµi 924)
Cho tam gi¸c ABC c©n t¹i A . Mét ®­êng trßn cã t©m O trªn BC vµ tiÕp xóc víi AB vµ AC . TiÕp tuyÕn d cña ®­êng trßn (O) c¾t AB t¹i P vµ c¾t AC t¹i Q .
Chøng minh : BC2 = 4BP.CQ
Ng­îc l¹i : chøng minh r»ng nÕu BC2 = 4BP.CQ th× ®o¹n th¼ng PQ tiÕp xóc víi ®­êng trßn t©m (O) (P thuéc AB, Q thuéc AC)
Bµi 29: (Bµi 935)
Cho tam gi¸c ABC .Gäi P lµ t©m ®­êng trßn néi tiÕp tam gi¸c ABC . §­êng th¼ng qua P vµ vu«ng gãc víi CP c¾t c¸c tia CA, CB t­¬ng øng t¹i ®iÓm M vµ N. Chøng minh :
§iÓm M n»m gi÷a hai ®iÓm C vµ A, ®iÓm N n»m gi÷a hai ®iÓm C vµ B.




Bµi 30: (Bµi 952) Cho tø gi¸c ABCD néi tiÕp ®­êng trßn t©m O . Cho biÕt ph©n gi¸c cña c¸c gãc
vµ
c¾t nhau t¹i ®iÓm E thuéc c¹nh CD.
Chøng minh : AD + BC = CD
Cho biÕt
. TÝnh

Bµi 31: (Bµi 956)
Cho tam gi¸c ABC cã ba gãc ®Òu nhän néi tiÕp ®­êng trßn t©m O b¸n kÝnh R. C¸c ®­êng cao AD, BE, CF . Gäi I lµ trùc t©m .
Chøng minh r»ng : I lµ t©m ®­êng trßn (I;r1) néi tiÕp tam gi¸c DEF.
Chøng minh r»ng : SABC =
(DE + EF + FD)
Chøng minh r»ng :

Bµi 32: (Bµi 963) Cho tam gi¸c ABC néi tiÕp ®­êng trßn (O) cã ¢ = 450 , cã BC = a . VÏ c¸c ®­êng cao BB’, CC’ . Gäi O’ lµ ®iÓm ®èi xøng cña O qua ®­êng th¼ng B’C’.
Chøng minh tø gi¸c AB’O’C’ néi tiÕp ®­êng trßn;
TÝnh B’C’ theo a
Bµi 32 : (Bµi 966) Cho tam gi¸c ABC c©n t¹i A vµ H lµ trung ®iÓm cña c¹nh BC . Gäi I lµ h×nh chiÕu vu«ng gãc cña H lªn c¹nh AC vµ O lµ trung ®iÓm cña HI.
Chøng minh hai tam gi¸c BIC vµ AOH dång d¹ng
Chøng minh AO vu«ng gãc víi BI.
Bµi 33: (Bµi 970)
Cho tam gi¸c ABC vu«ng t¹i A. Dùng c¸c ®­êng trßn (O) vµ (O’) cã ®­êng kÝnh t­¬ng øng lµ AB vµ AC, c¸c ®­êng trßn nµy c¾t nhau t¹i A vµ D.
Chøng minh r»ng B, C, D th¼ng hµng, suy ra hÖ thøc :
;
Gäi M lµ ®iÓm chÝnh gi÷a cña cung nhá CD ; AM c¾t BC t¹i E vµ c¾t ®­êng trßn (O) t¹i N. Chøng minh tam gi¸c ABE c©n;
Gäi I lµ trung ®iÓm cña MN. Chøng minh gãc OIO’ = 900 .
c¸c chuyªn ®Ò båi d­ìng häc sinh giái to¸n 9
Bµi 1: (T - 32)
Cho hai sè d­¬ng a, b . Chøng minh r»ng

Bµi 2: (T - 3