Phương pháp giải phương trình lượng giác lớp 11

Dang1: Phương trinh lượng giác cơ bản
Phương trình sinx = m
Nếu
>1 thì phương trình vô nghiệm
Nếu
chọn được góc
sao cho sin
= m. Khi đó




Hay



Với K

Đặc biệt: sin x= 0
x= k

Sin x = 1

Sin x= -1


Phương trình cos x = m
-Nếu
phương trình vô nghiệm
- Nếu
chọn góc
sao cho cos
= m. Khi đó



Đặc biệt:
Cosx= 0

Cosx = 1

Cosx =-1

*) Chú ý.
Cosx= - cos

cosx = cos(


Phương trình tan x = m
Chọn góc
sao cho tan
= m thì


Phương trình luôn có nghiệm với mọi m
Phương trình cot x = m
Nếu
là góc sao cho cot
= m thì


Ví dụ về các dạng toán
Có hai phương pháp chung nhất để đưa một phương trình lượng giác nào đó về phương trình lượng giác cơ bản:
Đưa phương trình đã cho về dạng phương trình đại số.
Đưa phương trình đã cho về dạng tích các phương trình lượng giác cơ bản :

Ta sẽ lần lượt nêu các ví dụ minh họa cho từng phương pháp
1.1 Phương trình đưa được về phương trình đại số nhờ công thức cơ bản
Bài toán 4.1. (Đại học bách khoa Hà Nội - 1996). Giải phương trình


Lời giải:
Ta áp dụng hằng đẳng thức:

Ta có:


Bởi vậy phương trình đã cho có dạng:


Bài toán 4.2. Giải phương trình.


Lời giải:
Thay
bởi 1- sin2x ta được
8(1- sin2x) + 6 sinx -3 = 0
8 sin2x- 6 sinx – 5 =0
Hay
8t2 – 6t -5 = 0 với t = sinx
Phương trình có nghiệm
(loại)
sin x =
=

sin x =
, phương trình vô nghiệm do sin x

vậy nghiệm của phương trình là:

Bài 4.3: Tìm nghiệm trong khoảng từ (0;
) của phương trình



Lời giải:
Thay
bởi
ta được


Hay 3t2-4t+1 =0 với t= cot2x= t với t>0
Suy ra t=1 và t=

cot2x= 1 suy ra cotx=
1
suy ra x=

cot2x =
suy ra cotx =

suy ra x=


bằng cách biểu diễn các họ nghiệm (1) và (2) trên đường tròn lượng giác ta được nghiệm trong khoảng từ (0,
) là;

Bài 4.4 (Đại học bách khoa 1994).Giải phương trình


Lời giải:
Cosx

khi đó phương trình đã cho tương đương với phương trình.

(1)
Đặt u = cos 2x thay vào phương trình (1) và rút gọn ta được.
2u2+ 3u +1= 0


cos 2x =-1
(loại)
cos 2x =-
= cos





Đáp số :


Bài toán 4.5. ( Học viện kĩ thuật quân sự - 1997) Giải phương trình.


Lời giải:
Phương trình đã cho tương đương với


Do cos x = 0 không thỏa mãn phương trình nên ta có thể chia cả hai vế cho cos3x ≠ 0



Phương trình đưa về dạng tích các phương trình cơ bản
Bài toán 4.6.( Đề thi đại học – 1980). Giải phương trình


Lời giải:


Khi đó phương trình đã cho tương đương với:


Từ (1) và (2) ta có x=

Bài toán 4.7.Giải phương trình


Lời giải:
Do

Nên phương trình đã cho tương đương với


Vậy nghiệm của phương trình cho là;

Bài toán. 4.8 (Đại học mở chất – 1997).Giải phương trình.


Lời giải.
Điều kiện sinx

. Khi đó phương trình đã cho tương đương với.


Do
nên


Do sinx
nên
Bởi vậy hệ trên vô nghiệm
Bài toán: 4.9.(Đại học ngoại thương - 1996) .Giải phương trình


Lời giải:
Biến đổi vế trái thành tích ta có:


Phương trình này có nhiều cách giải,chẳng hạn thay.


Hoặc sử dụng công thức


Hoặc có thể giải như sau;


Hoặc dùng công thức hạ bậc ta có;


Đáp số:

Bài 4.10.(Đề thi đại