Chương 1: CáC KIếN THứC CƠ Sở.

1.1. Hàm Lipschitz.
Giả sử X là không gian Banach,
.
Định nghĩa 1.1.
a. Hàm f được gọi là Lipschitz địa phươnng tại
, hay Lipschitz ở gần
, nếu tồn tại lân cận U của
, số K > 0 sao cho:


(1.1)
Hàm f được gọi là Lipschitz địa phương trên tập
, nếu f Lipschitz địa phương tại mọi
.
b. Hàm được gọi là Lipschitz địa phương với hằng số Lipschitz K trên tập
, nếu (1.1) đúng với mọi
.
Định lí 1.1.
Giả sử f là hàm Lipschitz trên tập lồi
. Khi đó, với mọi
, hàm số

có đạo hàm hầu khắp nơi.
Chứng minh
Bởi vì f Lipschitz trên U, cho nên có tồn tại số K > 0 sao cho:


. (1.2)
Ta có hàm

là tuyệt đối liên tục.
Thật vậy, ta lấy các khoảng rời nhau
trong [0,1]. Khi dó, từ (1.2) ta có:

Với
cho trước, ta chọn
. Khi đó:

.
Do đó,
tuyệt đối liên tục
có đạo hàm hầu khắp nơi.
Hệ quả 1.1.1.
Giả sử
là hàm Lipschitz trên tập lồi
. Khi đó, với mọi
:

, (1.3)
trong đó

.
Chứng minh
Theo định lí 1.1,
là tuyệt đối liên tục trên đoạn [0,1]. Ta đã biết trong lý thuyết độ đo và tích phân: nếu hàm
tuyệt đối liên tục, thì đạo hàm
khả tích và

.
Lấy
, ta nhận được (1.3).
1.2. Các ánh xạ khả vi là Lipschitz địa phương:
1.2.1. Các đạo hàm cổ điển :
Giả sử F là ánh xạ
, trong đó X và Y là các không gian Banach. Ký hiệu
là không gian các toán tử tuyến tính liên tục từ X vào Y.
Định nghĩa 1.2:
Đạo hàm của F theo phương v tại
được xác định bởi:

,
nếu giới hạn này tồn tại.
Định nghĩa 1.3:
ánh xạ F được gọi là khả vi Gâteaux tại
, nếu tồn tại
sao cho với mỗi
,

. (1.4)
Khi đó, ta gọi
là đạo hàm Gâteaux của F tại
.
Nhận xét 1.1:
Nếu ánh xạ F kả vi Gâteaux tại
, thì
(1.5)
Sự hội tụ này là đồng đều theo v trên các tập hữu hạn.
Định nghĩa 1.4:
ánh xạ F được gọi là khả vi Hadamard tại
, nếu tồn tại
sao cho với mỗi
(1.4) đúng, và (1.5) hội tụ đồng đều theo v trên các tập compăc.
Định nghĩa 1.5:
ánh xạ F được gọi là khả vi Fréchet tại
, nếu tồn tại
sao cho:

trong đó khi
.
Nhận xét 1.2;
a. ánh xạ F khả vi Fréchet tại
sao cho (1.4) đúng và (1.5) hội tụ đồng đều theo v trên các tập bị chặn.
b. Nếu
thì khái niệm khả vi theo Hadamard và Fréchet trùng nhau.
Ví dụ 1.1:



Khi đó, f khả vi Gâteaux tại (0,0), nhưng f không liên tục và không khả vi Fréchet tại (0, 0).
Định nghĩa 1.6:
ánh xạ F được gọi là Lipschitz địa phương tại
, nếu tồn t