Lời giải một số bài toán về tính tổng tổ hợp có sử dụng đạo hàm
Tính các tổng sau :
a)

Giải:
Ta có lời giải như sau:
Xét

Lấy đạo hàm hai vế ta được:

Cho
ta được
hay
.
Bình luận: Trong lời giải trên ta đã dựa vào nhận xét sau: ta có

, số mũ của x bằng “chỉ số trên’’ nên xét khai triển:
,lấy đạo hàm cấp 1,rồi cho x = 5 b)
.
Giải:
Ta có lời giải như sau:
Xét

Lấy đạo hàm hai vế ta được:

Lấy tiếp đạo hàm hàm hai vế ta được

Cho x = 1 ta được:
hay
.
Bình luận:Trong lời giải trên ta đã dựa vào nhận xét sau: Trong số hạng
ta thấy có tích k(k-1) là hai số liên tiếp có được nhờ lấy đạo hàm cấp 2 của
và số mũ của x bằng “chỉ số trêni’’ ,số mũ của 2 bằng ‘’chỉ số dưới – chỉ số trên ’’ nên xét khai triển
và lấy đến đạo hàm cấp 2 rồi chon x = 1. c)

Giải:
Xét

Lấy đạo hàm hai vế ta được:

Nhân cả hai vế với x ta được

Lấy đạo hàm hai vế ta được:

Cho x = 1 ta được
=

Bình luận: Trong lời giải trên ta đã dựa vào nhận xét sau: không có mặt của
; số hạng tổng quát có dạng
có chứa tích của hai thừa số k và thừa số k.k có được nhờ lấy đạo hàm của
2 lần nhưng. sau khi lấy đạo hàm 1 lần thì trong số hạng tổng quát chỉ còn
nên ta phải nhân hai vế với x để lại có được
.
d)
.
Giải:
Ta có

Ta có



Xét

Lấy đạo hàm hai vế ta được:

Cho
ta được
.
Vậy

Bình luận: Trong lời giải trên ta dựa vào nhận xét sau: trong số hạng tổng quát
thừa số 3k + 2 không liên quan trực tiếp đến số mũ của
trong
nên ta biến đổi
. Từ đó tách

Rút gọn các tổng sau :
a)

Giải:
Xét

Lấy đạo hàm hai vế ta được:

Cho
ta được
.
b)
;
Giải:






Xét

Lấy đạo hàm hai vế ta được:

Cho
ta được
.
Vậy

Bình luận: Trong lời giải trên ta dựa vào nhận xét sau: trong số hạng tổng quát thừa số k +1 hơn số mũ của
trong
nên ta biến đổi
. Từ đó tách

Cách 2: : Nhìn vào số hạng cuối cùng
chỉ số trên và dưới cao nhất là n ta không thể sử dụng
mà ta phải sử dụng khai triển của
. Mặt khác trong
thừa số n + 1 có được nhờ lấy đạo hàm của
tại x = 1 nhưng số mũ cao nhất là
nên ta nâng số mũ của
nên 1 đơn vị bằng cách trong khai triển của
ta nhân 2 vế với x rồi mới lấy đạo hàm tại x = 1., cụ thể như sau:
Giải:
Xét

Nhân hai vế với x ta được:

Lấy đạo hàm hai vế ta được:

Cho
ta được
..
(*) Rút gọn các tổng sau :

.
Giải:
Xét

Nhân hai vế với
ta có

Lấy đạo hàm hai vế ta được:

Cho
ta được

Bình luận: Trong lời giải trên ta dựa vào nhận xét sau: nhìn vào số hạng cuối cùng
ta thấy:thừa số 200 liên quan đến số mũ của
nên ta nghĩ
nhưng “chỉ số ở dưới” của C là 100 và chỉ số trên cao nhất cũng bằng 100 nên số mũ cao nhất chỉ là
ta phải nâng lũy thừa
thành
bằng cách nhân cả hai vế với của khai triển
với
. b)
.
Giải:
Xét khai triển

Lấy đạo hàm hai vế ta được:

Lấy tiếp đạo hàm hai vế ta được:

Cho x = 1 ta được

Bình luận: Trong lời giải trên ta dựa vào nhận xét sau: Nhìn vào số hạng bất kì, giả sử số hạng:
ta thấy
. Và
có số mũ bằng “chỉ số dưới - chỉ số trên”, các số hạng khác cũng có đặc điểm như vậy, dấu + - đan xen, nên ta xét khai triển
và lấy đến đạo hàm cấp 2 tại x = 1 c)
.
Xét khai triển:

Lấy đạo hàm hai vế ta được:

Nhân cả