ĐỀ THI KHẢO SÁT HSG TOÁN 7
(Thời gian làm bài 90 phút, không kể thời gian giao đề)
Câu 1.
a) Tìm nghiệm của đa thức
.
Chứng tỏ rằng đa thức
không có nghiệm.
Tìm các số nguyên z thoả mãn

Câu 2. Một tam giác có độ dài ba cạnh là a, b, c và ba đường cao tương ứng có độ dài là ha, hb, hc. Biết rằng ha, hb, hc tỉ lệ với 20, 15, 12. Chứng tỏ rằng tam giác ABC là tam giác vuông.
Câu 3. Cho tam giác ABC có
. Tia phân giác của góc B cắt cạnh AC tại D, tia phân giác của góc C cắt cạnh AB tại F, hai tia phân giác này cắt nhau tại I. Các đường phân giác ngoài của các góc B và C cắt nhau tại K. Gọi E là giao điểm của các đường thẳng BI và KC.
Tính các góc:
.
Chứng minh ID = IF.
Câu 4. Cho đa thức bậc hai
, biết rằng với mọi giá trị của biến x thoả mãn
thì
. Tính giá trị của đa thức
.


























HƯỚNG DẪN CHẤM THI KHẢO SÁT HSG
TOÁN 7

Câu 1 (3 điểm)
a) Ta có







Vậy đa thức có nghiệm duy nhất
1 điểm

b)Ta có
suy ra đa thức không có nghiệm. 1điểm

c) Ta có
và
do đó từ đó
suy ra
z = 2 vì z là số nguyên. 1 điểm


Câu 2 (1,5 điểm)
Theo đề ra ta có

Mặt khác




suy ra tam giác ABC là tam giác vuông .


Câu 3 (2,5 điểm) Vẽ đúng hình (Trang sau) 0,5 điểm
a) + Theo tính chất phân giác và tổng ba góc trong tam giác tính được:

+ Ta có FC(CE , EB( BK (Tính chất hai tia phân giác của hai góc kề bù) (
,

Từ đó
(T/c góc ngoài tam giác IEC),

1 điểm
b) Vẽ phân giác IG của
, chứng minh

kết hợp với giả thiết chứng minh
và
suy ra IF=IG=ID. 1 điểm





























Câu 4 (2,5 điểm)
Với
ta có
, thay x=0, x=1, x= -1 vào
ta có:


Từ (2) và (3) ta được
kết hợp với (1) suy ra

Thay
vào (2) và (3) ta được
và
do đó a=0
Vậy giá trị của đa thức
là
.