Phòng giáo dục bình giang









Kinh nghiệm

một số phương pháp tìm cực trị

Môn: Toán
Lớp : 8, 9
----------------













Năm 2006 – 2007



Phòng giáo dục & Đào tạo Bình giang
trường t.h.c.s Hồng khê
---------------------------












Kinh nghiệm

một số phương pháp tìm cực trị

Môn: Toán
Lớp : 8, 9
----------------


Chủ biên : Nguyễn Văn Định


đánh giá của nhà trường
(Nhận xét, xếp loại)




















Kinh nghiệm

một số phương pháp tìm cực trị

Môn: Toán
Lớp: 8, 9
----------------




đánh giá của phòng giáo dục & đào tạo
(Nhận xét, xếp loại)











Tên tác giả : ……………………………………..

Đơn vị : …………………………………

phần I : đặt vấn đề

I. cơ sở lý thuyết.
Trong giảng dạy bộ môn toán, việc giúp học sinh nắm chắc kiến thức cơ bản, biết cách khai thác kiến thức, áp dụng kiến thức giải được nhiều loại toán, nhiều dạng bài tập là hết sức quan trọng, bởi đó là một phương tiện tốt giúp học sinh nắm vững tri thức, phát triển tư duy hình thành kĩ năng kĩ xảo trong quá trình giải toán.
Môn toán có nhiều dạng bài tập, trong đó dạng toán tìm cực trị (giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất) là những bài toán đi tìm cái lớn nhất, nhỏ nhất, rẻ nhất, đắt nhất, ngắn nhất, dài nhất ... Qua những bài toán dẫn dắt học sinh có thói quen đi tìm một giải pháp tối ưu cho một công việc cụ thể trong cuộc sống thực tế. Điều đó cho thấy rằng toán cực trị là loại toán rất gần gũi với thực tế và có nhiều ứng dụng trong thực tế hàng ngày. Nó giúp học sinh rèn luyện nếp nghĩ khoa học, luôn mong muốn làm những công việc đạt hiệu quả cao nhất, tốt nhất. Vì vậy, nó góp phần không nhỏ vào việc phát triển trí tuệ, thúc đẩy niềm say mê học toán cho học sinh, đặc biệt là các em học sinh khá giỏi.
Toán cực trị được đề cập nhiều trong các loại sách tham khảo, do vậy giáo viên rất khó khăn trong việc sưu tầm và tuyển chọn, và một vấn đề đặt ra ở đây là làm thế nào để học sinh nắm được phương pháp, tư duy suy luận một cách có lô gíc khi giải toán cực trị ?
Để góp phần vào việc giải quyết các vấn đề trên, bản thân là giáo viên thường xuyên giảng dạy và bồi dưỡng học sinh giỏi môn toán lớp 8 và lớp 9, tôi mạnh dạn sưu tầm, tuyển chọn một số dạng bài toán cực trị và một số phương pháp giải áp dụng cho từng dạng, hy vọng đem lại một phần thuận lợi cho giáo viên khi thực hiện chuyên đề này trong quá trình giảng dạy cho học sinh cấp trung học cơ sở nói chung và bồi dưỡng học sinh giỏi lớp 8, lớp 9 nói riêng.
II. những yêu cầu cần thiết.
1. Đối với giáo viên.
Sưu tầm tài liệu, đọc, nghiên cứu để hệ thống hoá kiến thức, hệ thống các dạng bài tập về cực trị.
Tìm hiểu sâu về các bài toán cực trị trong nội dung chương trình toán ở bậc trung học cơ sở.
Xây dựng được cơ sở lý thuyết để giải các bài toán cực trị.
Tuyển chọn, phân loại được các dạng bài tập cơ bản và nêu lên các phương pháp chính giải từng dạng bài tập cực trị.
Dự đoán được một số sai sót của học sinh có thể mắc phải và nêu được những điểm cần chú ý khi giải các bài toán cực trị.
2. Đối với học sinh.
Hiểu được bản chất của khái niệm cực trị và nắm được các bước giải của bài toán cực trị.
Có kĩ năng nhận dạng được từng loại toán cực trị, vận dụng linh hoạt và sáng tạo các phương pháp giải toán cực trị vào từng bài tập cụ thể từ đơn giản đến phức tạp.
Thấy được những ứng dụng của toán cực trị trong thực tế.








Phần II : Nội dung

A. Một số dạng toán cực trị trong đại số.
I. Định nghĩa và chú ý.
Cho biểu thức f(x).
Giá trị M được gọi là giá trị lớn nhất (GTLN) của biểu thức f(x) nếu thoả mãn hai điều kiện :
+ Với mọi x để f(x) xác định thì f(x) ( M (M là hằng số) (1)
+ Tồn tại x0 sao cho f(x0) = M (2)
Giá trị m được gọi là giá trị nhỏ nhất (GTNN) của biểu thức f(x) nếu thoả mãn hai điều kiện :
+ Với mọi x để f(x) xác định thì f(x) ≥ m (m là hằng số) (1’)
+ Tồn tại x0 sao cho f(x0) = m (2’)
Kí hiệu : GTLN của hàm f là M = max f(x)
GTLN của hàm f là m = min f(x)
Tổng quát chung : Đối với biểu thức chứa nhiều biến ta cũng có định nghĩa tương tự.
Các bước tìm cực trị : Từ các định nghĩa trên, thông thường, để tìm GTLN hoặc GTNN ta tiến hành theo 3 bước như sau :
Bước 1 : Xác lập bất đẳng thức dạng :
f(x) ≤ M hoặc f(x) ≥ m với M, m là các hằng số.
Bước 2 : Xét xem dấu đẳng thức xảy ra khi nào ?
Bước 3 : Kết luận max hoặc min theo yêu cầu.
Chú ý : Nếu chỉ có điều kiện (1) hay (1’) thì chưa thể nói gì về cực trị của một biểu thức.
Chẳng hạn, xét biểu thức
(x – 1)2 + (x – 3)2 .
Mặc dù ta có A ≥ 0, nhưng chưa thể kết luận được minA, vì không tồn tại giá trị nào của x để A = 0.

II. Các kiến thức thường dùng.
x2 ( 0 ( x Dấu “=” xảy ra ( x = 0
Mở rộng : [f(x)]2n ( 0 , (x ( R , n ( Z. Khi đó ta có
[f(x)]2n + M ( M ; -[f (x)]2n + m ( m. Dấu “=” xảy ra ( f(x) = 0
a/ (x( ( 0 Dấu “=” xảy ra ( x = 0
b/ (x + y( ( (x( + (y( Dấu “=” xảy ra ( x, y cùng dấu
c/ (x - y( ( (x( - (y( Dấu “=” xảy ra ( x, y cùng dấu và(x( >(y(
a/ a2 + b2 ( 2ab , ( a, b. Dấu “=” xảy ra ( a = b
b/
( a > 0, b > 0. Dấu “=” xảy ra ( a = b
Bất đẳng thức Cô-si
a/ Cho 2 số không âm a và b ta có :

. Dấu “=” xảy ra ( a = b
b/ Cho 3 số không âm a, b và c, ta có :

. Dấu “=” xảy ra ( a = b = c.
c/ Tổng quát : Cho n số không âm a1 , a2 , ..... , an , ta có :

(
. Dấu “=” xảy ra ( a1 = a2 = .....= an
Bất đẳng thức Bu-nhi-a-côp-xki
a/ Cho hai cặp số a, b và x, y ta có :
(ax + by)2 ( (a2 + b2) (x2 + y2). Dấu “=” xảy ra ( ay = bx
b/ Tổng quát : Cho 2n số a1 , a2 , .... , an , b1 , b2 , .... , bn, ta có :
(a1b1 + a2b2 + ...... + anbn )2 ( ( a12 + a22 +.... + an2 ) ( b12 + b22 + ... bn2 )
Dấu “=” xảy ra (


III. Một số phương pháp tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất.
Phương pháp nhóm – so sánh.
Để tiến hành giải bài toán tìm GTLN, GTNN ta có thể dùng các phép biến đổi đại số để nhóm các số hạng và đưa bất đẳng thức ban đầu về các dạng sau :
p = A2 + k ≥ k,
p = -B2 + l ≤ l,
p = A2 + B2 + m ≥ m,
p = A.B2 + n ≥ n với A ≥ 0,
p = A.B ≥ k.l với A ≥ k > 0, B ≥ l > 0.
Tất nhiên là dấu đẳng thức phải xảy ra trong miền xác định của các biến số. Ngoài ra, đôi khi ta sử dụng các tính chất đồng biến, nghịch biến của hàm số.
Chẳng hạn : M ≥ N, a > 1 ( aM ≥ aN;
M ≥ N, 0 < a < 1 ( aM ≤ aN;
A ≥ B > 0, α > 0 ( Aα ≥ Bα ;
A ≥ B > 0, α < 0 ( Aα ≤ Bα .
Lưu ý rằng nếu ta sử dụng nhiều bất đẳng thức so sánh thì dấu “=” xảy ra phải mang tính đồng thời ở các đẳng thức đó.
Ví dụ 1: Tìm giá trị nhỏ nhất của các biểu thức :
1/ A = x4 + 4x2 – 3;
2/ B = x4 + 2x3 + 3x2 + 2x + 1;
3/ C = (x – 1)2 + (x2 – 1)4 + (x3 – 1)6.
Giải :
1/ Vì x4, x2 ≥ 0 nên ( A ≥ 0 + 0 – 3 ( A ≥ -3. Dấu “=” xảy ra ( x = 0
Vậy minA = -3 khi x = 0
Cách khác :
Ta có A = x2(x2 + 4) – 3 ≥ – 3. Dấu “=” xảy ra ( x2(x2 + 4) = 0 ( x = 0
Vậy minA = -3 khi x = 0
2/ Ta có B = (x2 + x + 1)2 =

Vì
, dấu “=” xảy ra khi x =
.
Nên minB =
( x =
.
3/ Dễ thấy C ≥ 0. Dấu “=” xảy ra ( (x–1)2= (x2–1)4 = (x3–1)6 = 0 ( x = 1
Vậy minC = 0, khi x = 1.
Ví dụ 2 : Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức
M = - x2 + 2x + 6
Giải : Ta có B = - x2 + 2x + 6 = -(x2 – 2x) + 6 = -( x – 1)2 + 7
Vì -( x – 1)2 ( 0 , (x ( -( x – 1)2 + 7 ( 7. Dấu “=” xảy ra khi x = 1
Vậy max B = 7 ( x = 1
Phương pháp dùng bất đẳng thức.
Cũng giống như khi sử dụng các bất đẳng thức khác, có khi ta phải tiến hành việc tách, nhóm, thêm, bớt, chia nhân các số hạng để đưa về dạng có thể áp dụng trực tiếp.
Ví dụ : Tìm giá trị lớn nhất của các biểu thức :
1/ A = (x(
;
2/ B =
;
3/ C =
.
Giải :
1/ Điều kiện 0 ≤(x(≤ 1.
áp dụng bất đẳng thức Cô-si cho 2 số không âm ta được :
A = (x(

Dấu “=” xảy ra ( x2 = 1 – x2 ( x2 =
( x = ±
.
Vậy max A =

2/ Điều kiện x ≥ 1, ta có
B =

Dấu “=” xảy ra ( 1 = x – 1 ( x =2. Vậy max B =

3/ Điều kiện x ≥ 1, y ≥ 2, z ≥ 3, ta có :
C =

=

≤
=

Dấu “=” xảy ra ( 1 = x – 1 ; 2 = y – 2 ; 3 = z – 3 ( x = 2, y = 4, z = 6.
Vậy max C =
( x = 2, y = 4, z = 6


IV. Những dạng toán thường gặp.
Dạng 1 : Cực trị của đa thức dạng tam thức bậc hai.
1. Kiến thức cần thiết.
Giả sử cho đa thức f(x) xác định trên R. Sử dụng phương pháp nhóm – so sánh
Đưa f(x) về dạng : f(x) = k (
(k là hằng số)
a/ Nếu f(x) = k +
thì min f(x) = k ( g(x) = 0
b/ Nếu f(x) = k –
thì max f(x) = k ( g(x) = 0
Hoặc có thể sử dụng phương pháp dùng bất đẳng thức.
2. Một số ví dụ.
Ví dụ 1 : Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức :
A = x2 – x + 1
Giải : Ta có A = x2 – x + 1 = x2 – 2x.
+
+
=
+

Vì
≥ 0 ( x nên
+
≥

Dấu “=” xảy ra (
(

Vậy min A =
( x =

Ví dụ 2 : Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức
B = - x2 + 4x