Dạng I: Phân tích đa thức thành nhân tử
I. Bài toán A:
Phân tích đa thức thành nhân tử:
(a+b+c)(ab+ac+bc) - abc
Giải:
Ta có : (a+b+c)(ab+ac+bc) - abc
=(a+b)(ab+ac+bc)+c(ab+ac+bc) - abc
=(a+b)(ab+ac+bc)+abc+c2(a+b) - abc
=(a+b)( ab+ac+bc+c2)
=(a+b)[a(b+c)+c(b+c)]
=(a+b)(b+c)(a+c)
Khai thác bài toán:
Từ ví dụ trên ta thấy nếu (a+b+c)(ab+ac+bc) = abc (1) thì hoặc a=-b hoặc b=-c hoặc a=-c. Biến đổi giả thiết (1): Chia cả 2 vế cho abc ta được 2). Ta có bài toán mới như sau:
Bài 1:
Cho a, b, c là ba số khác 0 thoả mãn Chứng minh rằng trong ba số a, b, c tồn tại hai số đối nhau.
*Giả thiết (2) còn có thể viết: 3). Ta sử dụng kết luận của bài toán để giải bài toán khác như sau:
Bài 2:
Cho a, b, c là ba số khác 0 thoả mãn Tính giá trị của biểu thức P = (a2003+b2003)(a2005+c2005)(b2007+c2007).
Bài 3:
Cho a, b, c là ba số khác 0 thoả mãn Chứng minh rằng:
với n là số tự nhiên lẻ.
*Ta tiếp tục phát triển bài toán bằng cách không cho trực tiếp giả thiết (3) mà yêu cầu phải biến đổi mới có giả thiết này. Đồng thời ta sử dụng kết quả của bài toán để giải bài toán khác như sau:
Bài 4:
Cho a,b,c là ba số khác 0 thoả mãn a+b+c=2007; 2a2+b=1. Tìm a, b, c.
*Ta có thể đưa ra bài toán tổng quát hơn như sau:
Bài 5:
Cho x, y, z là 3 số khác 0 thoả mãn x+y+z=a và Chứng minh rằng tồn tại một trong ba số x, y, z bằng a.
*Nếu cho a=2x-2006; b = 3-2007x; c = 2006x+2005 thì a+b+c=x+2. Ta có bài toán mới :
Bài 6:
Giải phương trình:

II. Bài toán B:
Phân tích đa thức thành nhân tử:
(a+b+c)3 - a3 - b3 - c3
Giải:
(a+b+c)3 - a3 - b3 - c3
= [(a+b)+c]3 - a3 - b3 - c3
=(a + b)3+c3+3c(a+b)(a+b+c) - a3 - b3 - c3
=a3+b3+3ab(a+b)+c3+3c(a+b)(a+b+c) - a3 - b3 - c3
=3(a+b)(ab+ac+bc+c2)
=3(a+b)[a(b+c)+c(b+c)]
=3(a+b)(b+c)(c+a).
*Từ ví dụ trên ta thấy nếu (a+b+c)3 = a3 + b3 + c3 (1) thì hoặc a=-b hoặc b=-c hoặc a=-c. Ta