phòng giáo dục thành phố hạ long
----------------- @ -------------------

kỳ thi chọn học sinh giỏi lớp 8 thành phố
năm học 2004 - 2005



đề thi môn : toán




Ngày thi : ......../......./2005





Thời gian làm bài : 150 phút
(không kể thời gian giao đề)






Bài 1:
a) Có hay không các số tự nhiên n thoả mãn: n2 + n + 1 chia hết cho 2005 ?
b) Cho x và y là hai số thực sao cho
và
đều là các số nguyên.
Chứng minh rằng
là số nguyên.

Bài 2:
Cho hai đa thức: P(x) = x(x + 1)(x + 2)(x + 3)(x + 4)(x + 5)( x+ 6)(x + 7) + a
và Q(x) = x2 + 7x + 14.
Tìm giá trị của a để đa thức P(x) chia hết cho đa thức Q(x)

Bài 3:
Tìm x biết:
+
+
= 0

Bài 4:
Cho tam giác ABC. Lấy một điểm O sao cho tia AO nằm giữa hai tia AB và AC. Gọi M, N, P, Q lần lượt là trung điểm các đoạn thẳng OB, OC, AC, AB.
a) Tứ giác MNPQ là hình gì ? Vì sao ?
b) Tìm vị trí điểm O để tứ giác MNPQ là hình chữ nhật đồng thời diện tích tứ giác MNPQ bằng diện tích tam giác ABC.



------------------------ Hết -------------------------

Họ và tên : .............................................................
Số báo danh : ........................................................

hướng dẫn chấm thi HSG thành phố năm học 2004-2005
môn toán lớp 8

Bài
Sơ lược lời giải
Điểm

Bài 1a)
3 điểm
Ta sẽ chứng minh n2 + n + 1 không chia hết cho 5 với (n ( N.
Xét n = 5k + r với 0 ( n ( 4 => n2 + n + 1 = 5p + r2 + r + 1
Thử trực tiếp từng trường hợp của r => r2 + r + 1 ( (1;2;3(
=> n2 + n + 1 chia 5 cho dư là 1;2;3 => n2 + n + 1 không chiahếtcho 5
Mặt khác thấy 2005 chia hết cho 5
Vậy không có số tự nhiên n nào thoả mãn: n2 +n+1 chia hết cho 2005



2,0 đ
0,5 đ
0,5 đ

1b)
2 điểm
Từ giả thiết => (
)(
) ( Z =>
( Z

1,0 đ


=> (
)2 ( Z =>
( Z (đpcm !)

1,0 đ

Bài 2
4 điểm
Đặt x2 + 7x + 6 = t => Q(x) = t + 8 = q(t)
và P(x) = (t - 6) t (t + 4)(t + 6) + a = t4 + 4t3 - 36t2 - 144t + a = p(t)
0,5 đ
1,25 đ


Chia p(t) cho q(t), được p(t) = (t3 - 4t2 - 4t - 112).q(t) + a + 896
Khi đó P(x) chia hết cho Q(x) <=> p(t) chia hết cho q(t) <=> a = -896
Vậy với a = -896 thì P(x) chia hết cho Q(x).
1,25 đ

1,0 đ

Bài 3
4 điểm
Đặt:
= a ;
= b ;
= c => a + b + c = 0
Chứng minh được với a+b+c = 0 thì a3 + b3 + c3 = 3 abc
0,5 đ

2,0 đ


Khi đó giả thiết
+
+
= 0 <=>


= 0 <=> x = 70 hoặc x = 5/4 hoặc x = 15
Vậy các giá trị cần tìm của x là: x = 70 hoặc x = 5/4 hoặc x = 15




1,5 đ

Bài 4

 A A
Q P
Q P
O B C
M N
M N
B C O


4a) 2 đ
Tứ giác MNPQ là hình bình hành
2,0 đ

4 b)
5 điểm
Giả sử MNPQ là hình chữ nhật => MQ ( MN => AO ( BC
Do d/t MNPQ = d/t ABC => ... => AO = 2 AH (đường cao của (ABC)
=> O ( tia AH sao cho AO = 2 AH (với AH là đường cao của (ABC)
1,0 đ
1,5 đ
0,5 đ


Ngược lại, lấy điểm O ( tia AH sao cho AO = 2 AH (với AH - đường cao của (ABC), dễ chứng minh được tứ giác MNPQ là hình chữ nhật và d/t MNPQ = d/t ABC
Vậy điểm O cần tìm ( tia AH sao cho AO = 2 AH (với AH là đường cao của (ABC). Có duy nhất điểm O thoả mãn yêu cầu bài toán.


1,5 đ

0,5 đ