Chuyên đề: Số nguyên tố. Hợp số
A/ Lý thuyết
1/ Tính chất chia hết liên quan đến số nguyên tố.
Tính chất 1: Nếu tích ab chia hết cho số nguyên tố p ⋮𝑝 ⋮𝑝
Tính chất 2: Nếu
𝑎
𝑛⋮𝑝 thì 𝑎⋮𝑝

B/ Bài tập
Dạng 1: Chứng minh một biểu thức là số nguyên tố hoặc hợp số
Bài 1: Cho p và p + 8 đều là số nguyên tố (p > 3). Hỏi p + 100 là số nguyên tố hay hợp số
Giải
Vìp là số nguyên tố, p > 3 nên 𝑝 không chia hết cho 3.
Do đó p = 3k + 1 hoặc p = 3k + 2 (𝑘∈𝑁)
Nếu p = 3k + 1 thì p + 8 = (3k + 1) + 8 = 3k + 9 = 3(k + 3) ⋮ 3
mà p + 8 > 3
Do đó p + 8 là hợp số (trái với đề bài).
≠3𝑘 + 1 mà p = 3k + 2
Khi đó p + 100 = (3k + 2) + 100 = 3k + 102= 3(k + 343
mà p + 100 > 3
Do đó p+100 là hợp số
Bài 2: Cho p và p + 4 đều là số nguyên tố (p > 3). Chứng minh rằng p + 8 là hợp số
Giải
Vì p là số nguyên tố, p > 3 nên 𝑝 không chia hết cho 3.
Do đó p = 3k + 1 hoặc p = 3k + 2 (𝑘∈𝑁)
Nếu p = 3k + 2 thì p + 4 = (3k + 2) + 4 = 3k + 6 = 3(k + 2) ⋮ 3
mà p + 4> 3
Do đó p + 4 là hợp số (trái với đề bài).
≠3𝑘 + 2 mà p = 3k + 1
Khi đó p + 8 = (3k + 1) + 8 = 3k + 9 = 3(k + 3) ⋮ 3
mà p + 8> 3
Do đó p+8 là hợp số
Bài 3: Cho p và 8p - 1 đều là số nguyên tố (p > 3). Chứng minh rằng 8p + 1 là hợp số
Giải
Vì p là số nguyên tố, p > 3 nên 𝑝 không chia hết cho 3.
Do đó p = 3k + 1 hoặc p = 3k + 2 (𝑘∈𝑁)
Nếu p = 3k + 2 thì 8p - 1 = 8(3k + 2) - 1 = 24k + 15 = 3(8k + 5) ⋮ 3
mà8p - 1> 3
Do đó 8p - 1 là hợp số (trái với đề bài).
≠3𝑘 + 2 mà p = 3k + 1
Khi đó8p + 1 = 8(3k + 1) + 1 = 24k + 9 = 3(8k + 33
mà8p + 1> 3
Do đó 8p+1 là hợp số
Bài tập tương tự
Bài 4: Cho p là số nguyên tố lớn hơn 3, 8p + 1 cũng là số nguyên tố. Chứng minh rằng4p + 1 là hợp số.
Bài 5: Chứng tỏ rằng nếu p là số nguyên tố lớn hơn 3 và2p + 1 cũng là số nguyên tố thì4p + 1 là hợp số.
Bài6: Cho p và p + 8 cùng là số nguyên tố (p > 3). Chứng minh rằng p + 10 là hợp số.
Bài7: Cho p là số nguyên tố lớn hơn 3. Hỏi p2 + 2006 là số nguyên tố hay hợp số
Bài8: Cho p là số nguyên tố lớn hơn 3. Hỏi p2 + 2015 là số nguyên tố hay hợp số
Bài9: Cho p là số nguyên tố lớn hơn 3. Hỏi p2 + 2003 là số nguyên tố hay hợp số
Dạng 2: Tìm số nguyên tố p để các biểu thức đã cho cũng là các số nguyên tố
Bài 1: Tìm tất cả các số nguyên tố p sao cho p + 4 và p + 8 cũng là các số nguyên tố.
Giải
+/ Với p = 2 thì p + 4 = 2 + 4 = 6 không là số nguyên tố.
Vậy p = 2 loại
+/ Với p = 3 thì p + 4 = 3 + 4 = 7 là số nguyên tố
và p + 8 = 3 + 8 = 11 là số nguyên tố
Vậy p = 3 thỏa mãnđiều kiện.
+/ Với p > 3, vì p là số nguyên tố nên p không chia hết cho 3
Do đóp = 3k + 1 hoặc p = 3k + 2 (𝑘∈𝑁)
Nếu p = 3k + 1 thì p + 8 = (3k + 1) + 8 = 3k + 9 = 3(k + 3) ⋮ 3