sở giáo dục và đào tạo
quảng ninh

kỳ thi chọn học sinh giỏi cấp tỉnh
lớp 9 năm học 2005-2006



đề thi chính thức


môn : Toán





(bảng A)

Số BD: ..................



Thời gian làm bài : 150 phút

Chữ ký giám thị 1



(không kể thời gian giao đề)





Ngày thi: 21/3/2006





Bài 1.
Rút gọn các biểu thức sau :
a)A =
+
+
..... +
+

b) B = x3 - 3x + 2000 với x =
+


Bài 2.
Trong mặt phẳng tọa độ Oxy xét ba đường thẳng có phương trình :
(d1) : x - 5y + k = 0 ; (d2) : (2k - 3)x + k(y - 1) = 0 ; (d3) : (k + 1)x - y + 1 = 0
Tìm các giá trị của tham số k để ba đường thẳng đó đồng quy.

Bài 3.
Giải hệ phương trình :

Bài 4.
Cho đường tròn (O;R) có hai đường kính AC và BD vuông góc với nhau. Điểm M thay đổi trên cung nhỏ BC (M khác B và C) và điểm N thay đổi trên cung nhỏ CD sao cho góc MAN = góc MAB + góc NAD. Dây AM cắt dây BC tại E, dây AN cắt dây CD tại F.
1) Chứng minh rằng ta luôn có :
- Góc AEB = góc AEF.
- Đường thẳng EF luôn tiếp xúc với một đường tròn cố định.
2) Đặt góc MAB = (, tính diện tích tam giác AEF theo R và (.

Bài 5.
Chứng minh rằng:
+
( 80 với (a ( 3, (b ( 3.

Dấu bằng xảy ra khi nào ?


------------------------ Hết -------------------------
hướng dẫn chấm thi Học Sinh Giỏi cấp tỉnh
môn toán lớp 9 - bảng a. năm học 2005-2006.


Bài
Sơ lược lời giải
Cho điểm

Bài 1.a
1,5 điểm
áp dụng công thức (a+b)3=a3+b3+3ab(a+b), với a=
, b=

và biến đổi => x3 = 6 + 3x
Suy ra A = 2006

1,25 đ
0,25

Bài 1.b
2,5 điểm
Có A =
+
+
+...+
+

Rút gọn, được A =
.

1,0 đ

1,5 đ


Bài 2
3 điểm
Chứng minh được (d2) luôn cắt (d1) tại điểm M0(0 ; 1)
Khi đó M0(0 ; 1) ( (d3) <=> k = 5
1,5 đ
1,0 đ


Vậy ba đường thẳng đồng qui <=> k = 5

0,5 đ

Bài 3
4 điểm
Điều kiện của ẩn : x, y, z ( 1/4.
Nhân vế-vế cả ba phương trình với 2 rồi cộng lại, ta được phương trình:
4x + 4y + 4z = 2
+ 2
+ 2
(*)
Biến đổi (*) <=> (
-1)2 + (
-1)2 + (
-1)2 = 0
<=>
=
=
= 1 <=> x = y = z = 1/2 thỏa mãn đ/kiện.
0,5 đ

1,5 đ


1,5 đ


Thử lại, thấy x = y = z = 1/2 thỏa mãn hệ.
Vậy hệ đã cho có duy nhất nghiệm là (x ; y ; z) = (1/2 ; 1/2 ; 1/2).


0,5 đ

Bài 4
4. 1)
4 điểm
Trước hết từ giả thiết suy ra (MAN = 450.
Gọi DB, cắt AN, AM tại P, Q. Chứng minh được: ABEP và ADFQ là các tứ giác nội tiếp
=> (EPF = (EQF = 900 => tứ giác PQEF nội tiếp.
Từ đó ch/minh được (AEB = (APB = (AEE => (AEB = (AEF.
0,5 đ

1,0 đ
0.75 đ
0,75 đ


Kẻ AH ( EF (H(EF). Chứng minh được (AEH = (AEB => AH=AB
Suy ra EF luôn tiếp xúc với đường tròn cố định là (A;a) với a =AB=R
.
0,5 đ
0,5 đ

4. 2)
2 điểm
Dể chứng minh được SAEF = SAEH + SAFH = SAEB + SAFD
Tính được SAEB = (1/2).AB.EB = (1/2).R
. R
.tg( = R2. tg(
và SAFD = ... = R2. tg(450-()
Suy ra SAEF = R2.(tg( + tg(450-())

Chú ý: Có thể tính theo cách khác:
* SAEF = (1/2).AF.EP = ... = SAEF = (R2/
.cos(.cos(450-())
* Hoặc SAEF=(1/2).AH.EF=(1/2).AB.EF = R2.

đều là đáp số đúng và cũng cho điểm tối đa.

0,5 đ
1,0 đ
0,5 đ



Bài
Sơ lược lời giải
Cho điểm

Bài 5
3 điểm
Ta có: 21a+(3/a) =(3/a) + a/3 + 62a/3 ( 2
+ (62.3/3) = 64 (1) (a( 3
Dấu bằng xảy ra <=> (3/a) = a/3 và a = 3 <=> a = 3.

0,75 đ
0,5 đ


Lại có: (21/b) + 3b =(21/b) + 7b/3 + 2b/3 ( 2
+ (2.3/3) = 16 (2) (b( 3. Dấu bằng xảy ra <=> (21/b) = 7b/3 và b = 3 <=> b = 3.

0,75 đ
0,5 đ


Từ (1) và (2) suy ra BĐT cần chứng minh !
Dấu bằng xảy ra <=> a = b = 3.
0,25 đ
0,25 đ






Cách giải khác:
Trước hết chứng minh BĐT: (21/b) + (3b) ( 16 (*) với ( b ( 3.
Với b ( 3 thì (*) <=> 3b2 - 16b + 21 ( 0 <=> (b - 3)(3b - 7) ( 0.
Do b ( 3 nên (b - 3) ( 0 và (3b - 7) ( 3.3 - 7 = 2 => (b - 3)(3b - 7) ( 0.
Dấu bằng xảy ra <=> b = 3 .
Tương tự, chứng minh được: 21a + (3/a) ( 64 với ( a ( 3.
(<=> (a-3)(21a-1) ( 0). Dấu bằng xảy ra <=> a = 3.
Từ đó suy ra điều phải chứng minh.




Hình vẽ bài 4:














Các chú ý khi chấm:

1. Hướng dẫn chấm này chỉ trình bày sơ lược một cách giải. Bài làm của học sinh phải chi tiết, lập luận chặt chẽ, tính toán chính xác mới được điểm tối đa.
2. Các cách giải khác nếu đúng vẫn cho điểm. Tổ chấm trao đổi và thống nhất điểm chi tiết nhưng không được vượt quá số điểm dành cho câu hoặc phần đó.
3. Có thể chia điểm thành phần đến 0,25 đ nhưng phải thống nhất trong cả tổ chấm. Điểm toàn bài là tổng số điểm các phần đã chấm, không làm tròn.

Sở Giáo dục và Đào tạo Quảng Ninh.



Bài 5.
Tìm tất cả các số nguyên dương a, b, c thỏa mãn : a3 + b3 + c3 = 2001.
(Loại trừ , thử => ra đáp số)

Bài 1.
b) B =
-

Bài 1.b
2,5 điểm
Nhân cả tử và mẫu các phân thức với
, rồi biến đổi, ta được: A =
=
-
=
-
=
-
=
=



1,0 đ

1,5 đ



c) Tìm giá trị của tham số m để phương trình (x2 - 1)(x + 3)(x + 5) = m
có 4 nghiệm x1, x2, x3, x4 thỏa mãn
= -1.

Cho phương trình x4 - (m2 + 2)x2 + 1 = 0 với m là tham số.
Gọi các nghiệm của phương trình là x1, x2, x3, x4, hãy tính theo m giá trị của biểu thức A =
+
+
+


Bài 5.
Chứng minh rằng với (x ( R, (y ( R ta có :

+
( 80

Dấu bằng xảy ra khi nào ?

Tính được EF = R
.

Suy ra SAEF = R2.