MỘT SỐ BÀI TOÁN TÌM GIỚI HẠN DÃY TỔNG


A. Một số kiến thức có liên quan.

Định nghĩa 1
Dãy số
được gọi là dãy số tăng nếu với mọi n ta có

Dãy số
được gọi là dãy số giảm nếu với mọi n ta có


Định nghĩa 2
Dãy số
được gọi là dãy số bị chặn trên nếu tồn tại một số M sao cho

Dãy số
được gọi là dãy số bị chặn dưới nếu tồn tại một số m sao cho

Dãy số
được gọi là dãy số bị chặn nếu tồn tại một số M và một số m sao cho


Định lý 1
1) Mọi dãy tăng và bị chặn trên thì hội tụ.
2) Mọi dãy giảm và bị chặn dưới thì hội tụ.

Định lí 2
1) Mọi dãy tăng và không bị chặn trên thì tiến tới
.
2) Mọi dãy giảm và không bị chặn dưới thì tiến tới
.

Định lý 3
1) Nếu một dãy
hội tụ đến a thì mọi dãy con trích từ
cũng hội tụ đến a.
2)
hội tụ đến a

và
hội tụ đến a

Định lý 4
1) Nếu
và
thì

2) Nếu
và
thì















B. Các bài toán.

Bài toán 1.

Cho dãy số thực
xác định bởi:

Tìm giới hạn sau:
.

Lời giải

Bằng phép quy nạp đơn giản ta thấy rằng:
,

Xét tính đơn điệu của
: Từ hệ thức (1) ta suy ra được

,
, vậy
tăng.
Tính tổng: Xuất phát từ hệ thức truy hồi (1) ta suy ra được


Thay n bởi 1,2,3,...,n vào (*) và cộng vế với vế các đẳng thức ta suy ra được:


Do
là dãy tăng nên có hai khả năng sau xảy ra:
1) Dãy
bị chặn trên. Theo tiêu chuẩn Weierstrass, do
tăng và bị chặn trên nên nó có giới hạn.
Giả sử
thì
.Chuyển qua giới hạn hệ thức (1) khi
ta có:

(vô lý)
2) Dãy
không bị chặn trên, do
tăng và không bị chặn trên nên:


Vì thế từ (2) ta suy ra:


Vậy

.






Bài toán 2.

Cho dãy số thực
xác định bởi:

Tìm giới hạn sau:
.


Lời giải

Bằng phép quy nạp đơn giản ta thấy rằng:
,


Xét tính đơn điệu của
: Từ hệ thức (1) ta suy ra được

,
, vậy
tăng.
Tính tổng: Xuất phát từ hệ thức truy hồi (1) ta suy ra được


Thay n bởi 1,2,3,...,n vào (*) và cộng vế với vế các đẳng thức ta suy ra được:



Do
là dãy tăng nên có hai khả năng sau xảy ra:
1) Dãy
bị chặn trên. Theo tiêu chuẩn Weierstrass, do
tăng và bị chặn trên nên nó có giới hạn.
Giả sử
thì
.Chuyển qua giới hạn hệ thức (1) khi
ta có:

(vô lý)
2) Dãy
không bị chặn trên, do
tăng và không bị chặn trên nên:


Vì thế từ (2) ta suy ra:


Vậy

.

Bài toán 3.

Cho dãy số thực
xác định bởi:

Tìm giới hạn sau:


Lời giải

Bằng phép quy nạp đơn giản ta thấy rằng:
,


Xét tính đơn điệu của
: Từ hệ thức (1) ta suy ra được

,
, vậy
tăng.
Tính tổng: Từ hệ thức truy hồi (1) ta suy ra được


Thay n bởi 1,2,3,...,n vào (*) và cộng vế với vế các đẳng thức ta suy ra được:



Do
là dãy tăng nên có hai khả năng sau xảy ra:
1) Dãy
bị chặn trên. Theo tiêu chuẩn Weierstrass, do
tăng và bị chặn trên nên nó có giới hạn.
Giả sử
thì
.Chuyển qua giới hạn hệ thức (1) khi
ta có:

(vô lý)
2) Dãy
không bị chặn trên, do
tăng và không bị chặn trên nên:


Vì thế từ (2) ta suy ra:
.

Vậy
.





Bài toán 4.

Cho dãy số thực