I. LÝ THUYẾT:

Giới hạn hữu hạn
Giới hạn vô cực

1. Giới hạn đặc biệt:

;


;

2. Định lí :
a) Nếu lim un = a, lim vn = b thì
( lim (un + vn) = a + b
( lim (un – vn) = a – b
( lim (un.vn) = a.b
(
(nếu b ( 0)
b) Nếu un ( 0, (n và lim un= a
thì a ( 0 và lim

c) Nếu
,(n và lim vn = 0
thì lim un = 0
d) Nếu lim un = a thì

3. Tổng của cấp số nhân lùi vô hạn
S = u1 + u1q + u1q2 + … =


1. Giới hạn đặc biệt:




2. Định lí:
a) Nếu
thì

b) Nếu lim un = a, lim vn = (( thì lim
= 0
c) Nếu lim un = a ( 0, lim vn = 0
thì lim
=

d) Nếu lim un = +(, lim vn = a
thì lim(un.vn) =


* Khi tính giới hạn có một trong các dạng vô định:
,
, ( – (, 0.( thì phải tìm cách khử dạng vô định.


II. SỐ PHƯƠNG PHÁP TÌM GIỚI HẠN CỦA DÃY SỐ:
1.DẠNG 1:
(Trong đó P(n), Q(n) là các đa thức có chứa biến n)
pháp: Chia cả tử và mẫu cho luỹ thừa cao nhất của n.
Chú ý:

VD1: a)

b)

c)

Do:

d)

e)

f)

Do:

g)

Do:

2.DẠNG 2:
(Trong đó Do:
là các đa thức chứa Do:
và
)
pháp giải: Chia cả tử và mẫu cho số lớn nhất có chứa mũ n.
Chú ý:

VD1: a)

b)

c)

Do:


3.DẠNG 3: Nhân lượng liên hợp:
pháp giải: Dùng các hằng đẳng thức


VD2: a)
=
=
=

b)

c)

d)

=

=
=-1
4.DẠNG 4: Tính giới hạn của tổng hữu hạn:
pháp giải: Áp dụng các công thức đã học


VD3: a

b)


5.DẠNG 5: Dùng định lí kẹp:
pháp giải: Dùng định lí kẹp: Nếu
,(n và lim vn = 0 thì lim un = 0
VD4: a)
.
Vì 0 (
và
nên

b)
.
Vì

nên 0 (
.
Mà
nên

c)
.
Vì 0 (
và
nên

d)
.
Vì 0 (
và
nên


e)
.
III. BÀI TẬP:

Tính các giới hạn sau:
a)
b)
c)

d)
e)
f)

Tính các giới hạn sau:
a)
b)
c)

d)
e)
f)

Tính các giới hạn sau:
a)
b)
c)

d)
e)
f)

Tính các giới hạn sau:
a)
b)

c)
d)

e)
f)


Tính các giới hạn sau:
a)
b)
c)

d)