CHỦ ĐỀ 7 – BẤT ĐẲNG THỨC

I. BẤT ĐẲNG THỨC CÔSI........................................................................................................................................................2
DẠNG 1: DẠNG TỔNG SANG TÍCH.....................................................................................................................................2
DẠNG 2: DẠNG TÍCH SANG TỔNG, NHÂN BẰNG SỐ THÍCH HỢP.......................................................................................3
DẠNG 3: QUA MỘT BƯỚC BIẾN ĐỔI RỒI SỬ DỤNG BẤT ĐẲNG THỨC CÔSI......................................................................5
DẠNG 4: GHÉP CẶP ĐÔI.....................................................................................................................................................8
DẠNG 5: DỰ ĐOÁN KẾT QUẢ RỒI TÁCH THÍCH HỢP..............................................................................................................8
DẠNG 6: KẾT HỢP ĐẶT ẨN PHỤ VÀ DỰ ĐOÁN KÊT QUẢ.....................................................................................................11
DẠNG 7: TÌM LẠI ĐIỀU KIỆN CỦA ẨN...................................................................................................................................15
II. BẤT ĐẲNG THỨC BUNHIA................................................................................................................................................17
III. PHƯƠNG PHÁP BIẾN ĐỔI TƯƠNG ĐƯƠNG....................................................................................................................21
DẠNG 1: ĐƯA VỀ BÌNH PHƯƠNG....................................................................................................................................21
DẠNG 2: TẠO RA BẬC HAI BẰNG CÁCH NHÂN HAI BẬC MỘT..........................................................................................22
DẠNG 3: TẠO RA ab+bc+ca..............................................................................................................................................24
DẠNG 4: SỬ DỤNG TÍNH CHẤT TRONG BA SỐ BẤT KÌ LUÔN TÒN TẠI HAI SỐ CÓ TÍCH KHÔNG ÂM................................25
DẠNG 5: SỬ DỤNG TÍNH CHẤT CỦA MỘT SỐ BỊ CHẶN TỪ 0 ĐẾN 1.................................................................................27
DẠNG 6 : DỰ ĐOÁN KẾT QUẢ RỒI XÉT HIỆU....................................................................................................................30
HỆ THỐNG BÀI TẬP SỬ DỤNG TRONG CHỦ ĐỀ....................................................................................................................32
I. BẤT ĐẲNG THỨC CÔSI..................................................................................................................................................32
II. BẤT ĐẲNG THỨC BUNHIA............................................................................................................................................34
III. PHƯƠNG PHÁP BIẾN ĐỔI TƯƠNG ĐƯƠNG................................................................................................................35

I. BẤT ĐẲNG THỨC CÔSI

1. Dạng hai số không âm
 Dạng tổng sang tích:

.

 Dạng tích sang tổng:

hay

 Dạng lũy thừa:
Dấu
xảy ra

.

hay

.

.

 Dạng đặc biệt:
2. Dạng ba số không âm

.

 Dạng tổng sang tích:

.

 Dạng tích sang tổng:

hay

 Dạng lũy thừa:
Dấu
xảy ra

hay

.

.

 Dạng đặc biệt:
3. Dạng tổng quát với

.

.
số không âm

 Dạng tổng sang tích:

.

 Dạng tích sang tổng:

hay

 Dạng lũy thừa:
Dấu

hay

xảy ra

.

.

 Dạng đặc biệt:
4. Bất đẳng thức trung gian


.

.

. Dấu


DẠNG 1: DẠNG TỔNG SANG TÍCH

xảy ra
. Dấu

.
xảy ra

.

Ví dụ 1. Cho

. Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức

.

Lời giải
Có

Vậy
Ví dụ 2. Cho

khi
. Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức

.

Lời giải
Có

.
Vậy

khi

Ví dụ 2. Cho

và

. Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức

.

Lời giải
Có

.

Vậy

khi

.

DẠNG 2: DẠNG TÍCH SANG TỔNG, NHÂN BẰNG SỐ THÍCH HỢP.
Ví dụ 1: Cho a ≥ 1, b ≥ 1. Chứng minh :

Có

Lời giải

Và tương tự:
Dấu '=” xảy ra khi a = b = 2

đpcm

Ví dụ 2: Cho a ≥ 9, b≥ 4, c≥ 1. Chứng minh:
Có:

Lời giải:

Dấu “=” xảy ra khi a = 18, b = 8, c = 2
Ví dụ 3: Cho a ≥ 0, b ≥ 0, a2 + b2 ≤ 2. Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức: M =
Lời giải
Xét:

Vậy MaxM = 2

khi a = b = 1

Ví dụ 4. Cho

,

và

. Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức
Lời giải

Xét:

.
Vậy

khi

Ví dụ 5. Cho

,

.
và

. Tìm giá trị nhỏ nhất của
Lời giải

.

Từ
và

.

Dấu "=" xảy ra khi
,

là hai nghiệm phương trình

.

Do
Vậy

,

.

khi

,

.

DẠNG 3: QUA MỘT BƯỚC BIẾN ĐỔI RỒI SỬ DỤNG BẤT ĐẲNG THỨC CÔSI
Ví dụ 1. Cho

,

,

và

. Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức:

Lời giải
Thay

Vậy

.

, ta được:

khi

.

Ví dụ 2. Cho các số dương

,

,

thỏa mãn

. Chứng minh:

Lời giải
Ta có

( đpcm).
Ví dụ 3. Cho

,

,

và

. Tìm giá trị nhỏ nhất của

.

Lời giải
Có

.
Vậy

khi

Ví dụ 4. Cho

,

.
,

và

. Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức

Lời giải

.

Có

.
Vậy

khi

Ví dụ 5. Cho

,

.
,

và

. Chứng minh:
Lời giải

.

Có
.
Tương tự:

;

.

Nhân các bất đẳng thức dương, cùng chiều ta được:
hay

(đpcm).

DẠNG 4: GHÉP CẶP ĐÔI
Tách

.
.

Ví dụ 1. Cho

,

,

a)

và
;

. Chứng minh:
b)
Lời giải

.

a) Có
(đpcm).
b) Xét

, do đó

(đpcm).

Ví dụ 2. Cho

là độ dài ba cạnh của

. Chứng minh
Lời giải

Vì

là độ dài ba cạnh của

nên

.

.
Có

;
;

Nhân ba đẳng thức dương cùng chiều ta được

;
(điều phải chứng minh).

DẠNG 5: DỰ ĐOÁN KẾT QUẢ RỒI TÁCH THÍCH HỢP
Bước 1: Kẻ bảng dự đoán giái trị lớn nhất,nhỏ nhất và đạt tại giá trị nào của biến.
Bước 2: Kẻ bảng xác định số nào sẽ đi với nhau.
Bước 3: Tách ghép thích hợp số hạng và sử dụng bất đẳng thức Cô-si.
Ví dụ 1. Cho

. Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức

Phân tích bài toán

Lời giải

.

Từ bảng thứ nhất dự đoán

.

Từ bảng thứ hai, ta suy ra
Trình bày lời giải

sẽ đi với

nên

sẽ đi với

.

Có

Vậy
Ví dụ 2. Cho

.

khi
và

Phân tích bài toán

(thỏa mãn).
. Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức
Lời giải

Từ bảng thứ nhất, ta dự đoán

Từ bảng thứ hai, ta suy ra
.
Trình bày lời giải
Có

khi

sẽ đi với

nên

.

.

sẽ đi với

;

sẽ đi với

nên

sẽ đi với

Vậy
Ví dụ 3. Cho

(thỏa mãn).
và

. Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức
Lời giải

Phân tích bài toán

Từ bảng thứ nhất, ta dự đoán

Từ bảng thứ hai, ta suy ra
Trình bày lời giải
Có

.

sẽ đi với

nên

sẽ đi với

Vậy

;

se đi với

.

.

Ví dụ 4. Cho
Nhận xét: Do

.

và

và

. Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức
Lời giải
vai trò như nhau nên sử dụng bất đẳng thức Cô-si đối với tích

.
Đến đây ta kẻ bảng để dự đoán giá trị lớn nhất của

.
, ta được

Từ bảng thứ nhất dự đoán

Từ bảng thứ hai, ta suy ra

khi

sẽ đi với

.

nên ta biến đổi
.

Vậy

.

DẠNG 6: KẾT HỢP ĐẶT ẨN PHỤ VÀ DỰ ĐOÁN KÊT QUẢ

Khi đặt ẩn phụ ta cần tìm điều kiện của ẩn phụ.

Một số bất đẳng thức trung gian thường dùng:


Với mọi



Với mọi

thì

. Dấu bằng xảy ra khi

thì

.

. Dấu bằng xảy ra khi

.


Với mọi
.

thì



. Dấu bằng xảy ra khi


Ví dụ 1. Cho

Đặt

Có
Vậy

, do

. Dấu bằng xảy ra khi

.

. Dấu bằng xảy ra khi
và

. Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức
Lời giải

.
.

Ví dụ 2. Cho

. Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức

Đặt
Do
Vậy

.

Ví dụ 3. Cho

. Tìm giá trị nhỏ nhất của
Lời giải

Có
Đặt
Ta được
(do
Vậy

khi

).

.

Ví dụ 4. Cho

thỏa mãn

. Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức

Lời giải
Có
Dặt

ta được
(do

Vậy
Ví dụ 5. Cho

khi
và

. Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức
Lời giải

).

Có
Đặt

, do

Ví dụ 6: Cho

, ta được

và

Có

. Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức
Lời giải
Sử dụng

, ta được
. Suy ra

Đặt a = xy,

ta được

Cho x,y >0 và

. Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức

Ví dụ 7:
Lời giải
Cách 1: Sử dụng

ta được
Đặt

, điều kiện

và

, ta được:

.

(do

). Vậy,

khi

Cách 2:
Đặt

do

Ta được:

Vậy,
Ví dụ 8: Cho

và

khi

Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức
Lời giải

Sử dụng

và

Đặt

, điều kiện

Vậy

khi

, ta được

, ta được

DẠNG 7: TÌM LẠI ĐIỀU KIỆN CỦA ẨN

Ví dụ 1. Cho

và

. Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức
Lời giải

.

Có
, mà
Có
(do
Ví dụ 2: Cho

). Vậy

khi

thỏa mãn

.
. Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức

Lời giải
Có

Sử dụng

ta được

Đặt

, ta được
(do

Vậy
Ví dụ 3: Cho
Có

khi

)

hay
và

. Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức:
Lời giải

Có
Sử dụng

, ta được:
(do

)

Suy ra
Đặt

, do

, ta được:

(do
Vậy

khi

Ví dụ 4: Cho

và

Sử dụng

. Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức
Lời giải

, ta được

Đặt

, ta được:

Vậy

(do
hay

Ví dụ 5: Cho

)

khi
và

)

. Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức
Lời giải

Có
Mà

, suy ra

Có

Vậy
II.

khi

BẤT ĐẲNG THỨC BUNHIA
1. Dạng bộ hai số

và

bất kỳ


Dấu


xảy ra

Đặc biệt

2. Dạng bộ ba số

và

bất kì


Dấu


xảy ra

Đặc biệt

3. Dạng tổng quát bộ n số

và


Dấu
xảy ra
Quy ước trong dấu

xảy ra, nếu mẫu nào bằng 0 thì tử tương ứng bằng 0.

Ví dụ 1. Cho 4x + 9y = 13. Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức A = 4x2 + 9y2
Lời giải
Có 132 = (4x + 9y)2 = (2.2x + 3.3y)2

(22 + 32)(4x2 + 9y2) = 13A

Ví dụ 2. Cho 4x + 3y = 1. Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức A = 4x2 + 3y2
Lời giải
Có 12 = (4x + 3y)2 = (2.2x +

y)2

(4 + 3)(4x2 + 3y2) = 7A

Vậy MinA =

khi

Ví dụ 3. Cho x ≥ 0; y ≥ 0; z ≥ 0 và x + y + z = 2. Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức A = x2 + y2 + z2
Lời giải
Có 22 = (1.x + 1.y + 1.z)2

Vậy MinA =

(12 + 12 + 12)( x2 + y2 + z2) = 3A

khi

Ví dụ 4. Cho 3x2 + 2y2 =

. Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức A = 2x + 3y
Lời giải

Có S2 = (2x + 3y)2 =

Vậy MaxS = 1
Ví dụ 5. Cho 4a2 + 25b2 ≤

. Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức H = 6a – 5b

Có H = (6a – 5b) = (3.2a + (–1) .5b)
2

2

2

(9 + 1)(4a2 + 25b2) = 10(4a2 + 25b2) ≤ 10.

Lời giải

=1

H≤1

Vậy MaxH = 1
Ví dụ 6. Cho x2 + y2 + z2 =

. Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức P = x + y + z

Lời giải
Có P2 = (1.x + 1.y + 1.z)2

Vậy MaxP =

(12+ + 12 + 12)(x2 + y2 + z2) = 3.

=

P≤

khi

Ví dụ 7. Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức

khi 1 ≤ x ≤ 3
Lời giải

Có P2 =

=4

Vậy MaxP = 2 khi

P≤2

x = 2 (thỏa mãn)

Ví dụ 8. Cho a ≥ 0, b ≥ 0, c ≥ 0 và a + b + c = 3. Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức

Lời giải
Có K2 =
(12+ + 12 + 12)( 4a + 5 + 4b + 5 + 4c + 5)
= 3[4(a + b + c) + 15] = 3(4.3 + 15) = 81
K≤9

Vậy MaxK = 9 khi
Ví dụ 9. Cho a ≥ 0, b ≥ 0, c ≥ 0 và a + b + c = 1. Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức

Lời giải
Có P2 =
(12+ + 12 + 12)
= 6 (a +b + c) = 6

Vậy MaxP =

khi

Ví dụ 10. Cho a, b, c ≥ 0 và

. Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức

Lời giải

Ta có
Suy ra

Vậy MinM = 3 khi a = b = c = 1

hay M ≥ 3

III. PHƯƠNG PHÁP BIẾN ĐỔI TƯƠNG ĐƯƠNG
DẠNG 1: ĐƯA VỀ BÌNH PHƯƠNG
 A2 ± m ≥ 0 ± m ; - A 2 ± m ≤ 0 ± m
Dấu “=” xảy ra khi A = 0.
 A2 + B2 ± m ≥ 0 + 0 ± m; - A2 - B2 ± m ≤ 0 + 0 ± m
Dấu “=” xảy ra khi A = 0, B = 0.
Ví dụ 1. Cho x ≥ - 2; y ≥ 1. Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức
.
Lời giải
Có

Vậy MinA = 18 khi

( thỏa mãn)

Ví dụ 2. Cho x ≥ - . Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức

.

Lời giải
Có

Vậy MinA = - 19 khi
Ví dụ 3. Cho

( thỏa mãn)

Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức
T=

Lời giải

Xét 2T =

Vậy Min
Ví dụ 4. Cho

khi

(thỏa mãn)
Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức

Lời giải
Xét

Vậy Min

khi

(thỏa mãn)

Ví dụ 5. Cho

và
T=

Chú ý: Với

Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức
Lời giải

ta có

Vận dụng vào bài toán, ta có
T
Vậy MaxT

khi a = b = c =2.

Ví dụ 6. Cho

,
S=

Chú ý: Với

Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức
Lời giải

ta có

Vận dụng vào bài toán, ta có
Vậy MinS

khi

DẠNG 2: TẠO RA BẬC HAI BẰNG CÁCH NHÂN HAI BẬC MỘT



Ví dụ 1.Cho
và
Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức
Vì

Lời giải

nên

Suy ra
Tương tự, ta cũng tìm được
Do đó

Vậy MinM =4 khi
Ví dụ 2.Cho

thỏa mãn

Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức

Lời giải

 Tìm MinA
Cách 1 (Sử dụng bất đẳng thức Bunhia)
Có

Vậy MinA = 12 khi
Cách 2 (Sử dụng bất đẳng thức Côsi – dự đoán min đạt tại x=y=z=2)
Có
Vậy MinA

Khi

 Tìm MaxA
Có

Vậy MaxA
Ví dụ 3.Cho

và

nên

khi

hay
thỏa mãn

Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức

là hoán vị của

Lời giải
 Tìm MaxK
Cách 1 (Sử dụng bất đẳng thức Bunhia)
Xét
Vậy MaxK
khi
Cách 2 (Sử dụng bất đẳng thức Côsi – dự đoán min đạt tại a=b=c=1)

Vậy Max

khi

 Tìm MinA
Có
Đặt

và

Từ

và

Tương tự

, suy ra

Vậy MinK

khi

là hoán vị của

nên

DẠNG 3: TẠO RA ab+bc+ca


Ví dụ 1. Cho

và

Chứng minh
Lời giải

Do

nên
(do

)

hoán vị của

, mà

nên

(đpcm).

Ví dụ 2: Cho a 1, b 1, c 1 và ab+bc+ca =9.
Tìm giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của biểu thức: P =a2 + b2 + c2
Lời giải:
* Tìm Min P
Có (a –b)2 +(b- c)2 +(c-a)2 0 => a2 +b2 +c 2 ab +bc+ca => P 9.
Vậy MinP =9 khi a = b= c =
* Tìm MãP
Do a 1, b 1, c 1 => (a-1)(b-1) +(b-1)(c-1) +(c-1)(a-1)
<=> (ab+ bc +ca) -2(a+b+c) +3
0 <=> a+ b+ c 6
<=> a2 + b2 +c2 +2(ab+bc+ca) 36 <=> P 18
Vậy MaxP=18 khi (a,b,c) là hoán vị của (1;1;4)

0

DẠNG 4: SỬ DỤNG TÍNH CHẤT TRONG BA SỐ BẤT KÌ LUÔN TÒN TẠI HAI SỐ CÓ TÍCH
KHÔNG ÂM
Tính chất 1: Nếu -1 a 1 thì
Dấu “=” xảy ra khi a=0 hoặc a=1 nếu n lẻ, khi a=0 hoặc a=

1 nếu n chẳn

Tính chất 2: Nếu hai số a và b có tích ab 0 thì
Tính chất 3: Với ba số x, y, z bất kỳ, luôn tồn tại hai số có tích không âm.
Bài toán cơ bản: Cho -1

x, y, z

1, x+ y+ z =0

Tìm giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của biểu thức: T =
Lời giải:
Với ba số x, y, z bất kỳ, luôn tồn tại hai số có tích không âm.
Giả sử xy

0 =>

Nên
( do -1 z 1 ).
Vậy MaxT =2 khi (x;y;z) là hoán vị (-1;0;1).
Ví dụ 1. Cho -2

x, y, z

2, x+ y+ z =0. Chứng minh rằng a4 +b4 +c4
Lời giải:

Có -2

x, y, z

2 =>

Đặt

và x+y+z=0.

Khi đó a4 +b4 +c4 =16(x4 +y4 +z4)
.
Với ba số x, y, z bất kỳ, luôn tồn tại hai số có tích không âm.
Giả sử: xy

0 =>

nên
( đpcm)

Ví dụ 2. Cho 0
x, y, z 1 và x+ y+ z = .
Tìm giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của biểu thức: P=x2 +y2 +z2
Lời giải:

Tìm Min P
Cách 1( Sử dụng bất đẳng thúc Bunhia)
Có

Vậy MinP =

Khi

Cách 2( Sử dụng bất đẳng thức Côsi – dự đoán min đạt tại x=y=z=

Vậy MinP =
Tìm MaxP

)

Khi x = y = z =

Có x + y + z =
 (2x – 1) + (2y – 1) + (2z – 1) = 0
Đặt a = 2x – 1, b = 2y – 1, c = 2z – 1.
Do (2x – 1) + (2y – 1) + (2z – 1) = 0 nên a + b + c = 0
Vì 0 ≤ x, y, z ≤ 1  - 1 ≤ 2x – 1, 2y – 1, 2z – 1 ≤ 1 nên – 1 ≤ a, b, c ≤ 1.
Có P =
=
Với ba số a, b, c bất kì, luôn tồn tại hai số có tích không âm.
Giả sử a.b ≥ 0 thì

nên
.

Vậy MaxP =

khi (a; b; c) là hoán vị của (- 1; 0; 1) hay (x; y; z) là hoán vị của

.

Ví dụ 3: Cho 0 ≤ x, y, z ≤ 2 và x + y + z = 3. Tìm giá trị lớn nhất và nhỏ nhất của biểu thức
M = x4 + y4 + z4 + 12(1 – x)(1 – y)(1 – z).
Lời giải

Có x + y + z = 3  (x – 1) + (y – 1) + (z – 1) = 0
Đặt a = x – 1, b = y – 1, c = z – 1  - 1 ≤ a, b, c ≤ 1 và a + b + c = 0

Với a + b + c = 0 thì a3 + b3 + c3 = 3abc
Có M = (a + 1)4 + (b + 1)4 + (c + 1)4 – 12abc
= (a4 + b4 + c4 ) + 4(a3 + b3 + c3) + 6(a2 + b2 + c2) + 4(a + b + c) – 12abc
= (a4 + b4 + c4) + 6(a2 + b2 + c2).
* Có M = (a4 + b4 + c4) + 6(a2 + b2 + c2) ≥ 0
Vậy Min M = 0 khi a = b = c = 0  x = y = z = 1
* Có M = (a4 + b4 + c4) + 6(a2 + b2 + c2) ≤
Với ba số a, b, c bất kì, luôn tồn tại hai số có tích không âm.

.

Giả sử ab ≥ 0 

.
Vậy MaxM = 14 khi (a; b; c) là hoán vị của (- 1; 0; 1) hay (x, y, z) là hoán vị của (0; 1; 2).
Ví dụ 4: Cho 0 ≤ a, b, c ≤ 4 và a + b + c = 6.
Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức P = a2 + b2 + c2 + ab + bc + ca.

Lời giải
Có P
Do a + b + c = 6  (a – 2) + (b – 2) + (c – 2) = 0 
Đặt

 x + y + z = 0.

Vì 0 ≤ a, b, c ≤ 4  - 2 ≤ a – 2, b – 2, c – 2 ≤ 2  - 1
 - 1 ≤ x, y, z ≤ 1.
Có P

= 2(x2 + y2 + z2) + 4(x + y + z) + 24

= 2(x2 + y2 + z2) + 24 ≤
Với ba số x, y, z bất kì, luôn tồn tại hai số có tích không âm.
Giả sử xy ≥ 0 
nên
Vậy MaxP = 28 khi (x, y, z) là hoán vị của (- 1; 0; 1) nên (a, b, c) là hoán vị của
(0; 2; 4).
DẠNG 5: SỬ DỤNG TÍNH CHẤT CỦA MỘT SỐ BỊ CHẶN TỪ 0 ĐẾN 1
* Nếu

thì

* Nếu

thì

. Dấu

xảy ra khi
. Dấu

xảy ra khi

hoặc
hoặc

.

Ví dụ 1: Cho

và

. Tìm giá trị lớn nhất và nhỏ nhất của biểu thức

.
Lời giải
* Tìm
Cách 1: ( Sử dụng bất đẳng thức Bunhia)
Xét

Vậy

khi

Cách 2: ( Sử dụng bất đẳng thức Cosi - dự đoán max đạt tại

)

Xét

Vậy
* Tìm

khi

Sử dụng tính chất:
Do

và

thì
nên

Có
Vậy

khi

là hoán vị

Ví dụ 2: Cho

và

.
. Tìm giá trị lớn nhất và nhỏ nhất của biểu thức

.
Lời giải
* Tìm
Cách 1: ( Sử dụng bất đẳng thức Bunhia)
Xét

Vậy
khi
Cách 2: ( Sử dụng bất đẳng thức Cosi - dự đoán max đạt tại

)

Xét

Vậy
* Tìm

khi

Sử dụng tính chất:
Do

thì

và

nên

Có

Vậy

khi

Ví dụ 3: Cho

là hoán vị
và

.
. Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức

.
Lời giải:
Cách 1: Có
Do đó :
.
Vậy

khi

là hoán vị

Cách 2: Có
Đặt
và
Từ

và

và

Tương tự:
Vậy

, suy ra
khi

là hoán vị

nên

là hoán vị

.

Ví dụ 4: Cho

và

. Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức
.
Lời giải:

Có
Do đó :

.
Vậy

khi

là hoán vị

.

DẠNG 6 : DỰ ĐOÁN KẾT QUẢ RỒI XÉT HIỆU
Ví dụ 1: Cho

thỏa mãn

. Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức

.

Lời giải
Có

Đặt

thì

Ta được
Đến đây ta kẻ bảng dự đoán
t
P
Từ bảng trên ta dự đoán

Vậy

khi

0
101
khi

1
64
nên ta xét hiệu :

2
45

2,5
52,5625

là hai nghiệm của phương trình :
.

Ví dụ 2: Cho

. Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức

.

Lời giải
Có :
, mà

hay

.

Nên
Đặt

.
thì

và

Ta có

Đến đây ta kẻ bảng dự đoán

Từ bảng trên ta dự đoán

khi

nên ta xét hiệu

. Do
Vậy

khi

hay

.

nên

, suy ra

HỆ THỐNG BÀI TẬP SỬ DỤNG TRONG CHỦ ĐỀ
I. BẤT ĐẲNG THỨC CÔSI
Bài 1. Cho

. Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức

Bài 2. Cho

. Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức

Bài 3. Cho
Bài 4. Cho

và

.
.

. Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức

. Chứng minh

.

.

Bài 5. Cho

. Chứng minh

Bài 6. Cho

.

.

Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức
Bài 7. Cho

.

.

Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức
Bài 8. Cho
Bài 9. Cho

.

và

. Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức

và

.

Tính giá trị lớn nhất của biểu thức
Bài 10. Cho các số dương

thỏa mãn

chứng minh
Bài 11. Cho

Tìm giá trị nhỏ nhất của

và

.

.

Bài 12. Cho

và

Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức
Bài 13. Cho

và

Bài 14. Cho

. Chứng minh rằng
và

.

. Chứng minh :

a)

b)

Bài 15. Cho

là độ dài ba cạnh của

.

Chứng minh
Bài 16. Cho

. Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức

.

Bài 17. Cho

và

. Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức

Bài 18. Cho

và

. Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức

Bài 19. Cho

và

và

Bài 21. Cho

. Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức

Bài 22. Cho

. Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức

. Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức

thỏa mãn

và

.

.

.

.

.

Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức

Bài 24. Cho

.

. Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức

Bài 20. Cho

Bài 23. Cho

.

. Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức

.

.

Bài 25. Cho

và

. Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức

Bài 26. Cho

và

. Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức

Bài 27. Cho

và

. Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức

Bài 28. Cho

và

thỏa mãn

.
.

và

.

Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức
Bài 31. Cho

và

.
.

Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức
Bài 32. Cho

và

Cho

Bài 2.

Cho

Bài 3.

Cho

Bài 4.

Cho

.
.

Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức
II. BẤT ĐẲNG THỨC BUNHIA
Bài 1.

.

.

Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức
Bài 30. Cho

.

.

Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức
Bài 29. Cho

.

.

. Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức
. Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức
và

.
.

. Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức

. Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức

.

.

Bài 5.

Cho

. Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức

.

Bài 6.

Cho

. Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức

.

Bài 7.

Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức

Bài 8.

Cho

khi

và

.

.

Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức
Bài 9.

Cho

.

và

.

Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức
Bài 10.

Cho

.

và

.

Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức

.

III. PHƯƠNG PHÁP BIẾN ĐỔI TƯƠNG ĐƯƠNG
Bài 1. Cho

,

Bài 2. Cho

. Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức:

Bài 3. Cho

. Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức:

.

. Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức:

Bài 4. Cho

.

. Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức:

Bài 5. Cho

và

.

. Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức:
.

Bài 6. Cho

. Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức:
.

Bài 7. Cho

và

Bài 8. Cho

. Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức:
thỏa mãn

. Tìm giá trị lớn nhất và nhỏ nhất của biểu thức:

.
Bài 9. Cho

và

. Tìm giá trị lớn nhất và nhỏ nhất của biểu thức:
.

Bài 10. Cho

và

Bài 11. Cho

và
.

.

. Chứng minh:

.

. Tìm giá trị lớn nhất và nhỏ nhất của biểu thức:

Bài 12. Cho
Bài 13. Cho
Bài 14. Cho

,

. Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức:
và

. Chứng minh:

và

.

.

Tìm giá trị lớn nhất và nhỏ nhất của biểu thức:
Bài 15. Cho

và

.

.

Tìm giá trị lớn nhất và nhỏ nhất của biểu thức:
Bài 16. Cho

và

.

.

Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức:
Bài 17. Cho

.

.

và

. Tìm giá trị lớn nhất và nhỏ nhất của biểu thức:

và

.Tìm giá trị lớn nhất và nhỏ nhất của biểu thức:

và

.Tìm giá trị lớn nhất và nhỏ nhất của biểu thức:

.
Bài 18. Cho
.
Bài 19. Cho

.
Bài 20. Cho

và

. Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức:
.

Bài 21. Cho

thỏa mãn:

.

Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức:
Bài 22. Cho

.
.

Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức:

.

Tài liệu được chia sẻ bởi Website VnTeach.Com
https://www.vnteach.com