CHỦ ĐỀ 5 – PHƯƠNG TRÌNH QUY VỀ PHƯƠNG TRÌNH BẬC HAI
I. PHƯƠNG TRÌNH KHÔNG CHỨA THAM SỐ..........................................................................................................................2
DẠNG 1: PHƯƠNG TRÌNH BẬC BA NHẨM ĐƯỢC MỘT NGHIỆM.......................................................................................2
DẠNG 2: PHƯƠNG TRÌNH TRÙNG PHƯƠNG......................................................................................................................2
DẠNG 3: PHƯƠNG TRÌNH DẠNG.......................................................................................................................................3
DẠNG 4: PHƯƠNG TRÌNH DẠNG.......................................................................................................................................3
DẠNG 5: PHƯƠNG TRÌNH GIẢI BẰNG PHƯƠNG PHÁP ĐẶT ẨN PHỤ.................................................................................4
DẠNG 6: PHƯƠNG TRÌNH CHỨA ẨN Ở MẪU.....................................................................................................................5
II. PHƯƠNG TRÌNH CHỨA THAM SỐ......................................................................................................................................6
DẠNG 1:PHƯƠNG TRÌNH BẬC BA ĐUA ĐƯỢC VỀ DẠNG TÍCH:(x -)( ax 2 + bx + c) = 0.........................................................6
DẠNG 2. PHƯƠNG TRÌNH TRÙNG PHƯƠNG:.....................................................................................................................8
HỆ THỐNG BÀI TẬP SỬ DỤNG TRONG CHỦ ĐỀ....................................................................................................................10
I. PHƯƠNG TRÌNH KHÔNG CHỨA THAM SỐ....................................................................................................................10
II. PHƯƠNG TRÌNH CHỨA THAM SỐ................................................................................................................................10

I.

PHƯƠNG TRÌNH KHÔNG CHỨA THAM SỐ

DẠNG 1: PHƯƠNG TRÌNH BẬC BA NHẨM ĐƯỢC MỘT NGHIỆM


Nếu nhẩm được một nghiệm

của phương trình

đó về dạng tích


thì ta tách được phương trình

.

Nếu nhẩm được một nghiệm

của phương trình

trình đó về dạng tích

thì ta tách được phương

.

Ví dụ. Giải phương trình

.

Lời giải
Nhận xét: phương trình này ta nhẩm được một nghiệm
(có thể dùng máy tính) nên ta sẽ tách được nhân
tử
.
Cách 1 Có

Cách 2 Có

, từ đó giải được
Cách 3 Đặt phép chia da thức

.
cho đa thức

ta được thương là

nên

nên
phương trình

, từ đó giải được

Vậy tập nghiệm của phương trình đã cho là

.
.

DẠNG 2: PHƯƠNG TRÌNH TRÙNG PHƯƠNG
Xét phương trình

.

Cách 1 Đặt
điều kiện
, ta được phương trình bậc hai
suy ra .
Cách 2 Giải trực tiếp bằng cách đưa về tích hoặc đưa về bình phương theo
Ví dụ. giải phương trình
Cách 1 (Đặt
Đặt

.

Lời giải

)

, điều kiện

, phương trình đã cho trở thành

. Giải , đối chiếu điều kiện và
.

(loại),

(thỏa mãn)

.

Vậy tập nghiệm của phương trình đã cho là
Cách 2 (giải trực tiếp)

.

Có
(loại),

.

Vậy tập nghiệm của phương trình đã cho là

.

DẠNG 3: PHƯƠNG TRÌNH DẠNG
Cách giải: Ghép kết hợp

Đặt ẩn phụ

hoặc

.

Ví dụ. Giải phương trình

.
Lời giải

Cách 1 (Đặt ẩn phụ)
Phương trình
.
Đặt

, ta được phương trình

, suy ra

Vậy tập nghiệm của phương trình đã cho là
Cách 2 (Đưa về tích)

.

Phương trình

.
Vậy tập nghiệm của phương trình đã cho là

.

DẠNG 4: PHƯƠNG TRÌNH DẠNG
Cách giải
Trường hợp 1: Xét
, thay vào phương trình xem thỏa mãn hay loại.

Trường hợp 2: Xét

, chia hai vế phương trình cho

thì

được

.

Ví dụ. Giải phương trình

.
Lời giải

Cách 1:(Đặt ẩn phụ)
Trường hợp 1: Xét

, thay vào phương trình ta được

Trường hợp 2: Xét

, chia hai vế phương trình cho

(loại).
được

Đặt
Phương trình trở thành
, suy ra

.
Vậy tập nghiệm của phương trình đã cho là
Cách 2 (Đưa về tích)
Có:

Vậy tập nghiệm của phương trình đã cho là
DẠNG 5: PHƯƠNG TRÌNH GIẢI BẰNG PHƯƠNG PHÁP ĐẶT ẨN PHỤ
 Biến đổi về một biểu thức.


Đặt

bằng biểu thức đó và đưa về phương trình bậc hai đối với .

Ví dụ: Giải phương trình

.
Lời giải

Có
Đặt

.
, ta được

.

, rồi đặt ẩn phụ



.



(vô nghiệm).

Vậy tập nghiệm của phương trình đã cho là
DẠNG 6: PHƯƠNG TRÌNH CHỨA ẨN Ở MẪU
 Đặt điều kiện các mẫu khác 0.
 Quy đồng cùng mẫu chung rồi bỏ mẫu.
 Đặt ẩn phụ nếu được.
Ví dụ 1. Giải phương trình

.
Lời giải

Điều kiện:

.

Có

. (thỏa mãn điều kiện)
Vậy tập nghiệm của phương trình đã cho là

II. PHƯƠNG TRÌNH CHỨA THAM SỐ
DẠNG 1:PHƯƠNG TRÌNH BẬC BA ĐUA ĐƯỢC VỀ DẠNG TÍCH:(x - )( ax2 + bx + c) = 0
Bước 1: Tách riêng phần chứa m được dạng f(x) + m(x - ) = 0, rồi tách x từ f(x) ta đưa được phương
trình đã cho về dạng:
(x - )( ax2 + bx + c) = 0 
Bước 2: Ghi nhớ một số điều kiện sau:
 Phương trình đã cho có 3 nghiệm phân biệt  Phương trình ax2 + bx + c = 0 có
hai nghiệm phân biệt x
.
 Phương trình đã cho có đúng 2 phân biệt  Phương trình ax2 + bx + c = 0 có đúng một nghiệm thỏa
mãn x
.
 Phương trình đã cho có đúng 1 nghiệm  Phương trình ax2 + bx + c = 0 hoặc vô nghiệm, hoặc có
nghiệm kép x
.
Ví dụ: Cho phương trình: x3 – 3x2 + 3mx + 3m + 4 = 0 (1)
Tìm m để phương trình đã cho:
a) Có ba nghiệm phân biệt
b) Có đúng hai nghiệm khác nhau
c) Có đúng một nghiệm
d) Có ba nghiệm phân biệt

thỏa mãn

Ta có: (1)  x – 3x + 4 + 3m(x + 1) = 0
3

2

.

Lời giải
(x + 1)(x2 – 4x + 4) + 3m(x + 1) = 0

 (x + 1)(x2 – 4x + 4 + 3m) = 0
a) (1) có ba nghiệm phân biệt  (2) có hai nghiệm phân biệt x

-1


Vậy m < 0, m -3 là giá trị cần tìm
b) (1) có đúng hai nghiệm khác nhau  (2) có đúng một nghiệm x
Trường hợp 1: (2) có nghiệm kép x -1

-1


Trường hợp 2: (2) có hai nghiệm phân biệt trong đó một có nghiệm x = -1

(loại).
Vậy m = 0 là giá trị cần tìm
c) (1) có đúng hai nghiệm  (2) không có nghiệm nào thỏa mãn x
Trường hợp 1: (2) có nghiệm kép x = -1

Trường hợp 2: (2) vô nghiệm kép 
Vậy m > 0 là giá trị cần tìm

(loại).
m>0

-1

d) Theo câu a) với m < 0, m
Do

-3 thì (1) có ba nghiệm phân biệt

vai trò như nhau và trong ba nghiệm của (1) có một nghiệm bằng - 1 nên ta giả sử
là hai nghiệm của (2).

Theo định lý Vi-ét, ta có
Thay

vào

ta được:

Vậy m = -2 là giá trị cần tìm.

(thỏa mãn)

= -1 thì

DẠNG 2. PHƯƠNG TRÌNH TRÙNG PHƯƠNG:
Bài toán: Tìm m để phương trình ax4 + bx2 + c = 0 (a 0) (1)
a) Có bốn nghiệm phân biệt.
b) Có đúng ba nghiệm khác nhau.
c) Có đúng hai nghiệm khác nhau.
d) Có đúng một nghiệm.
e) Vô nghiệm.
Bước 1: Đặt t = x2, t
, phương trình trở thành at2 + bt + c = 0
Bước 2: Nhận xét
 Với t < 0 thì không có x
 Với t = 0 thì có 1 giá trị x = 0

(2)

 Với t > 0 thì có hai giá trị của x là x =
Do đó ta có các kết quả sau:
a) (1) có bốn nghiệm phân biệt khi (2) có hai nghiệm phân biệt t > 0, t > 0.
b) (1) có đúng ba nghiệm khác nhau khi (2)có hai nghiệm phân biệt t > 0, t > 0.
c) (1) có đúng hai nghiệm khác nhau xảy ra hai trường hợp:
Trường hợp 1: (2) có nghiệm kép t = t > 0.
Trường hợp 2: (2) có hai nghiệm phân biệt thỏa mãn t < 0< t .
d) (1) có đúng một nghiệm xảy ra hai trường hợp:
Trường hợp 1: (2) có nghiệm kép t = t = 0.
Trường hợp 2: (2) có hai nghiệm phân biệt thỏa mãn t < 0 ; t = 0.
e) (1) vô nghiệm xảy ra ba trường hợp:
Trường hợp 1: (2) vô nghiệm
Trường hợp 2: (2) có nghiệm kép thỏa mãn t = t < 0
Trường hợp 3: (2) có hai nghiệm phân biệt thỏa mãn t < 0 ; t < 0.
Ví dụ : Cho phương trình x4 – (2m – 1)x2 + 2m – 2 = 0
(1)
Tìm m để phương trình đã cho :
a) Có bốn nghiệm phân biệt.
b) Có đúng ba nghiệm khác nhau.
c) Có đúng hai nghiệm khác nhau.
d) Có bốn nghiệm phân biệt thỏa mãn:

Lời giải

Cách 1: (Đặt ẩn phụ t =x )
Đặt t = x2 , t
, phương trình (1) trở thành t2 – (2m – 1)t + 2m – 2 = 0 (2)
Nhận xét :
 Với t < 0 thì không có x.
 Với t > 0 thì có một nghiệm x = 0
2



Với t > 0 thì có hai giá trị của x là x =

a) (1) có bốn nghiệm phân biệt khi (2) có 2 nghiệm phân biệt t > 0, t > 0.
Có = [-(2m)]2 – 4.1.(2m – 2) = (2m – 1)2 – 8m + 8 = (2m – 3)2


(2) có hai nghiệm phân biệt t , t khi

> 0  (2m – 3)2 > 0  m

.

Theo định lý Vi-ét, ta có t + t =

= 2m – 1, t t =

= 2m – 2

* t > 0, t > 0 
Vậy với m > 1, m

là các giá trị cần tìm

b)(1) có đúng ba nghiệm khác nhau khi (2) có hai nghiệm phân biệt t > 0, t > 0.
* Theo trên thì (2) có hai nghiệm phân biệt t , t khi m

.

* t = 0, t > 0 
(thỏa mãn)
Vậy m = 1 là giá trị cần tìm
c) (1) có đúng hai nghiệm khác nhau xảy ra hai trường hợp:

Trường hợp 1: (2) có nghiệm kép t = t > 0
Trường hợp 2: (2) có hai nghiệm phân biệt thỏa mãn t < 0< t

Vậy m < 1; m =

là giá trị cần tìm.

d)Theo câu a) thì phương trình đã cho có bốn nghiệm phân biệt khi m > 1, m

.

Do t > 0 ; t > 0 nên bốn nghiệm phân biệt của (1) là :
x =
Suy ra :
=2
= 2(4m2 – 8m +5)
Do đó
(loại),
Vậy
là giá trị cần tìm.
Cách 2 (Đưa về tích)

(thỏa mãn).

Phương trình

a) Vì phương trình đã có hai nghiệm phân biệt là
nên để phương trình đã cho có bốn nghiệm phân biệt
thì phương trình
phải có hai nghiệm phân biệt khác

Vậy
là giá trị cần tìm.
b) Vì phương trình đã có hai nghiệm trình
nên để phương trình đã cho có ba nghiệm khác nhau thì
phương trình
phải có đúng một nghiệm
Vậy
là giá trị cần tìm.
c) Vì phương trình đã có đủ hai nghiệm khác nhau là
nên để phương trình đã cho có đúng hai nghiệm
khác nhau thi phương trình
hoặc vô nghiệm hoặc chỉ có nghiệm là

Vậy

là giá trị cần tìm.

d) Theo câu a) thì phương trình đã cho có bốn nghiệm phân biệt khi
Khi đó bốn nghiệm của

Vậy

là

, do đó

(loại),
(thỏa mãn).
là giá trị cần tìm.

HỆ THỐNG BÀI TẬP SỬ DỤNG TRONG CHỦ ĐỀ
I. PHƯƠNG TRÌNH KHÔNG CHỨA THAM SỐ
Bài 1. Giải phương trình
Bài 2. Giải phương trình
Bài 3. Giải phương trình
Bài 4. Giải phương trình
Bài 5. Giải phương trình
Bài 6. Giải phương trình
II. PHƯƠNG TRÌNH CHỨA THAM SỐ
Bài 1. Cho phương trình
a) Có ba nghiệm phân biệt
b) Có đúng hai nghiệm khác nhau
c) có đúng một nghiệm.
d) Có ba nghiệm

thỏa mãn

Tìm

để phương trình đã cho:

Bài 2. Cho phương trình
a) Có bốn nghiệm phân biệt
b) Có đúng ba nghiệm khác nhau
c) Có đúng hai nghiệm khác nhau
d) Có bốn nghiệm phân biệt thỏa mãn
VnTeach.Com
https://www.vnteach.com

Tìm

để phương trình đã cho:

.Tài liệu được chia sẻ bởi Website