CHỦ ĐỀ 2 – HỆ PHƯƠNG TRÌNH

I. HỆ KHÔNG CHỨA THAM SỐ...............................................................................................................................................1
DẠNG 1: HỆ ĐA THỨC BẬC NHẤT ĐỐI VỚI X VÀ Y.............................................................................................................1
DẠNG 2: HỆ CHỨA PHÂN THỨC.........................................................................................................................................2
DẠNG 3: HỆ CHỨA CĂN.....................................................................................................................................................4
DẠNG 4: HỆ THỨC CHỨA TRỊ TUYỆT ĐỐI...........................................................................................................................7
II. HỆ CHỨA THAM SỐ.........................................................................................................................................................10
HỆ THỐNG BÀI TẬP SỬ DỤNG TRONG CHỦ ĐỀ....................................................................................................................14
I. HỆ KHÔNG CHỨA THAM SỐ..........................................................................................................................................14
II. HỆ CHỨA THAM SỐ......................................................................................................................................................14

I. HỆ KHÔNG CHỨA THAM SỐ
DẠNG 1: HỆ ĐA THỨC BẬC NHẤT ĐỐI VỚI X VÀ Y
Cách giải Rút gọn về hệ phương trình bậc nhất hai ẩn dạng:

Ví dụ 1. Giải hệ phương trình:

Lời giải

Có

Vậy:

Ví dụ 2. Giải hệ phương trình:

Ta có:

Vậy:

Ví dụ 3. Giải hệ phương trình:

Lời giải

Lời giải

Cách 1: (Giải trực tiếp)
Ta có:

Vậy:
Cách 2: Đặt ẩn phụ
Đặt:

Vậy:

.

DẠNG 2: HỆ CHỨA PHÂN THỨC
Bước 1: Đặt điều kiện cho hệ phương trình.
Bước 2: Giải bằng cách đặt ẩn phụ hoặc quy đồng giải trực tiếp.

Ví dụ 1. Giải hệ phương trình:

Lời giải

Điều kiện:
Cách 1: Đặt ẩn phụ
Đặt

Suy ra
Vậy:
Cách 2: (Giải trực tiếp)

Có

hệ phương trình trở thành

( thoả mãn điều kiện)

Vậy (x;y) = (3; – 1)

(thỏa mãn điều kiện)

Ví dụ 2 Giải hệ phương trình
Lời giải

Điều kiện: x + y ≠ 0
Cách 1: (Đặt ẩn phụ)
Đặt

hệ đã cho trở thành

Suy ra

(thỏa mãn điều kiện)

Vậy (x ; y) = ( ; 0)
Cách 2: (Giải trực tiếp)

Có

(thỏa mãn điều kiện)
Vậy (x ; y) = (

; 0)

Ví dụ 3 Giải hệ phương trình

Điều kiện: x ≠ – 1; y ≠ – 2

Lời giải

Trước hết ta khử x , trên tử trong phương trình (2) của hệ

Có

Cách 1: (Đặt ẩn phụ)
Đặt

hệ đã cho trở thành

Suy ra
Vậy (x ; y) = (– 2 ; – 1)
Cách 2: (Giải trực tiếp)

(thỏa mãn điều kiện)

Có

Vậy (x ; y) = (– 2 ; – 1)

(thỏa mãn điều kiện)

DẠNG 3: HỆ CHỨA CĂN
Bước 1: Đặt điều kiện xác định của hệ
Bước 2: Giải bằng cách đặt hai ẩn phụ cho gọn hoặc giải trực tiếp

Ví dụ 1 Giải hệ phương trình
Điều kiện: x ≥ – 1 ; y ≥ 2
Cách 1: (Đặt ẩn phụ)

Lời giải

Đặt

(điều kiện a ≥ 0 ; b ≥ 0 )hệ đã cho trở thành

Suy ra
Vậy (x ; y) = (0; 6)
Cách 2: (Giải trực tiếp)

(thỏa mãn điều kiện)

Có

(thỏa mãn điều kiện)

Vậy (x ; y) = (0; 6)

Ví dụ 2 Giải hệ phương trình
Lời giải
Điều kiện:
Cách 1: (Đặt ẩn phụ)
Đặt

Suy ra
Cách 2: (Giải trực tiếp)

Có

điều kiện b ≥ 0 hệ đã cho trở thành

(thỏa mãn điều kiện). Vậy (x ; y) = (2;

)

(thỏa mãn điều kiện). Vậy (x ; y) = (2;

Ví dụ 3. Giải hệ phương trình
Lời giải
Điều kiện:
Trước hết ta khử

ở trên tử trong phương trình sau của hệ:

Hệ
Cách 1 (Đặt ẩn phụ)
Đặt

(điều kiện:

), hệ trở thành

(thỏa mãn).

Suy ra
Vậy
.
Cách 2 (Giải trực tiếp)

Có

(thỏa mãn điều kiện).

)

(thỏa mãn điều kiện).
Vậy

.

DẠNG 4: HỆ THỨC CHỨA TRỊ TUYỆT ĐỐI
Bước 1 Đặt điều kiện xác định của hệ.
Bước 2 Giải bằng cách đặt hai ẩn phụ cho gọn hoặc giải trực tiếp.

Ví dụ 1. Giải hệ phương trình
Lời giải
Điều kiện:
Cách 1 (Đặt ẩn phụ)
Đặt

(điều kiện:

), hệ đã cho trở thành
(thỏa mãn điều kiện)

Suy ra

(thỏa mãn điều kiện)

Vậy
Cách 2 (Giải trực tiếp)

Có
(thỏa mãn điều kiện). Vậy

Ví dụ 2. Giải hệ phương trình

Lời giải

Điều kiện:
Cách 1 (Đặt ẩn phụ)
Đặt

Do

nên hệ

(điều kiện:

), hệ đã cho trở thành

(thỏa mãn điều kiện).

Suy ra
Cách 2 (Giải trực tiếp)

(thỏa mãn điều kiện).

Có

(thỏa mãn điều kiện).

Vậy

Ví dụ 3. Giải hệ phương trình

Lời giải

Điều kiện:
Cách 1 (Đặt ẩn phụ)
Có
Đặt

(điều kiện:

), hệ trở thành

Trường hợp 1: Xét

thì

(loại).

Trường hợp 2: Xét
Suy ra

thì

(thỏa mãn).

Thay

vào

ta được

(thỏa mãn).

Vậy
Cách 2 (Giải trực tiếp)
Có
Trường hợp 1: Xét

thì
(loại)

Trường hợp 2: Xét

thì
(thỏa mãn).

Vậy

II. HỆ CHỨA THAM SỐ
Bài toán thường gặp: Cho hệ

chứa tham số m.

Tìm m để hệ có nghiệm duy nhất
thỏa mãn điều kiện cho trước
Bước 1 Dùng phương pháp thế, cộng, trừ để đưa hệ đã cho về phương trình bậc nhất một ẩn
Bước 2: Lập luận: Hệ có nghiệm duy nhất khi phương trình Ax = B có nghiệm duy nhất
Bước 3: Giải nghiệm (x; y) theo m và xử lý điều kiện của bài toán.
Chú ý:

A≠0

* Hệ vô nghiệm khi phương trình Ax = B vô nghiệm
* Hệ vô số nghiệm khi phương trình Ax = B vô số nghiệm
* Đối với hệ:

khi a' , b' , c' ≠ 0 thì ta có các điều kiện sau:

+) Hệ có nghiệm duy nhất khi
+) Hệ vô nghiệm
+) Hệ vô số nghiệm

Ví dụ 1. Cho hệ phương trình:
với m là tham số.
1. Tìm m để hệ có nghiệm duy nhất (x; y) và tìm nghiệm duy nhất đó.
2. Với (x; y) là nghiệm duy nhất ở trên, hãy tìm m để:
a) 2x – 3y > 0.
b) Cả x và y là các số nguyên.
c) Biểu thức S = x2 + y2 đạt giá trị nhỏ nhất.
d) Biểu thức T = xy đạt giá trị lớn nhất.
Lời giải
1. Từ 2x + y = 8

y = 8 – 2x, thay vào 4x + my = 2m + 18 ta được

4x + m(8 – 2x) = 2m + 18

(4 – 2m)x = 18 – 6m

(*)

Hệ có nghiệm duy nhất (x; y) khi phương trình (*) có nghiệm duy nhất

4 – 2m ≠ 0

m ≠ 2.

Khi đó
Vậy

thì hệ đã cho có nghiệm duy nhất là

.

2. a) Có
(do
Vậy

)

thì

(thỏa mãn).
.

b) Có
Do đó cả
(thỏa mãn
Vậy

thì cả

và

)
là các số nguyên.

c)
Đặt

, thì
.

Vậy

khi

(thỏa mãn

).

d) Có
Đặt

, ta được

Vậy

khi

Ví dụ 2. Cho hệ phương trình
1. Tìm

để hệ có nghiệm duy nhất

.
(thỏa mãn

với

).

là tham số.

và tìm nghiệm duy nhất đó.

2. Với
là nghiệm duy nhất ở trên:
a) Tìm một hệ thức liên hệ giữa và không phụ thuộc vào
b) Tìm
nguyên để cả và là các số nguyên.
c) Tìm

để biểu thức

đạt giá trị nhỏ nhất.

.

d) Tìm

để biểu thức

đạt giá trị lớn nhất.

1. Từ

Lời giải

, thay vào

Hệ có nghiệm duy nhất

khi phương trình

ta được

có nghiệm duy nhất

.
Khi đó
.
Vậy

thì hệ đã cho có nghiệm duy nhất là

.

2. a) Có

.

Suy ra
Vậy

không phụ thuộc

.

là hệ thức cần tìm.

b) Có
Do đó cả
(thỏa mãn
Vậy

thì

).
và

là các số nguyên.

c) Có
Đặt

, ta được

Xét
Vậy

.
.

khi

(thỏa mãn

).

d) Có
Đặt

, ta được

.

Vậy

khi

(thỏa mãn

).

HỆ THỐNG BÀI TẬP SỬ DỤNG TRONG CHỦ ĐỀ
I. HỆ KHÔNG CHỨA THAM SỐ
Giải các hệ phương trình sau
Bài 1.

Bài 2.

Bài 3.

Bài 4.

Bài 5.

Bài 6.

Bài 7.

Bài 8.

Bài 9.

Bài 10.

Bài 11.

Bài 12.

II. HỆ CHỨA THAM SỐ
Bài 1. Cho hệ phương trình
1. Tìm

để hệ có nghiệm duy nhất

2. Với
a)
b) Cả

với

và tìm nghiệm duy nhất đó.

là nghiệm duy nhất ở trên, hãy tìm
và

c) Biểu thức
d) Biểu thức

.
là các số nguyên.
đạt giá trị nhỏ nhất.
đạt giá trị lớn nhất.

là tham số.

để:

Bài 2. Cho hệ phương trình
1. Tìm

với

để hệ có nghiệm duy nhất

là tham số.

và tìm nghiệm duy nhất đó.

2. Với
là nghiệm duy nhất ở trên:
a) Tìm một hệ thức liên hệ giữa và không phụ thuộc vào
b) Tìm
nguyên để cả và là các số nguyên.
c) Tìm

để biểu thức

d) Tìm

để biểu thức

đạt giá trị nhỏ nhất.
đạt giá trị lớn nhất.

Tài liệu được chia sẻ bởi Website VnTeach.Com
https://www.vnteach.com

.