PHÒNG GD&ĐT BÌNH XUYÊN KÌ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI LỚP 9, NĂM HỌC 2019-2020
ĐỀ THI MÔN:TOÁN
ĐỀ CHÍNH THỨC
Thời gian làm bài: 150 phút (không kể thời gian giao đề)
Câu 1(2,0 điểm).
 x +3
x + 2 x−5 x −9 x −3
−
+
.
Cho số thực 3 < x ≠ 4 và biểu thức A= 
:
x + 1 x − x − 2  2 x
 x −2
a) Rút gọn biểu thức A.
b) Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức A.
Câu 2(1,0 điểm).

Cho góc nhọn α thoả mãn tanα =

2
.
3

cos 4α + sin 2α . ( cos 2α + 1)
.
Hãy tính giá trị biểu thức B=
3 2
4
2
2
2.cos α + 2 sin α . cos α − sin α
5

Câu 3(1,0 điểm).
Tìm tất cả các cặp số nguyên ( x, y ) thoả mãn 2 x 2 + 4 xy + 4 y 2 = xy 2 + 18 x + 16 y − 39
Câu 4(1,0 điểm).
Cho số k thoả mãn

1
1
1
1
1
1
1 
 1
+
+
+ ... +
= k.
+
+
+ ... +

1.2 3.4 5.6
2019.2020
2020 
 1011 1012 1013

Chứng minh rằng: k ∈ .
Câu 5(1,0 điểm).
23.
Giải phương trình 1926 − x + 1954 − x + 1971 − x =
Câu 6(1,0 điểm).
Cho tam giác ABC nhọn với trực tâm H. Trên đoạn HB lấy M và trên đoạn HC lấy N sao
= ANB
= 90° . Chứng minh rằng AM = AN.
cho AMC
Câu 7(1,0 điểm).
Cho tam giác ABC nhọn. Gọi D là trung điểm của BC; E là điểm bất kỳ trên cạnh AC. Gọi
M là giao điểm của AD với BE. Kẻ đường thẳng CM cắt AB tại F.
Chứng minh rằng hai đường thẳng EF và BC song song với nhau.
Câu 8(1,0 điểm).
Cho a, b, c là độ dài các cạnh của một tam giác bất kỳ.
Chứng minh rằng:

a
b
c
+
+
≥ 3.
b+c −a c + a −b a +b−c

Câu 9(1,0 điểm).
Trong hình vuông cạnh bằng 18 cho 1945 điểm. Chứng minh rằng luôn tồn tại một đường
tròn bán kính 1 chứa ít nhất 7 điểm trong số 1945 điểm đã cho.
-----------Hết----------Thí sinh không được sử dụng tài liệu và máy tính cầm tay. Cán bộ coi thi không giải thích gì thêm!
Họ và tên thí sinh:………………………………………………….. Số báo danh:…….…………..............

PHÒNG GD&ĐT BÌNH XUYÊN

KÌ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI LỚP 9, NĂM HỌC 2019-2020
HƯỚNG DẪN CHẤM MÔN:TOÁN
( Hướng dẫn chấm gồm 04 trang)

I) Hướng dẫn chung:
1) Hướng dẫn chấm chỉ nêu một cách giải với những ý cơ bản, nếu thí sinh làm bài không theo cách
nêu trong hướng dẫn chấm nhưng vẫn đúng thì cho đủ số điểm từng phần như thang điểm quy
định.
2) Việc chi tiết hoá thang điểm (nếu có) trong hướng dẫn chấm phải đảm bảo không làm sai lệch
hướng dẫn chấm và phải được thống nhất thực hiện với tất cả giám khảo.
3) Điểm toàn bài tính đến 0,25 điểm. Sau khi cộng điểm toàn bài, giữ nguyên kết quả .
4) Với bài hình học nếu học sinh không vẽ hình phần nào thì không cho điểm phần đó.
II) Đáp án và thang điểm:
Câu 1 (2,0 điểm).
 x +3
x + 2 x −5 x −9 x −3
−
+
.
Cho số thực x thoả mãn 3 < x ≠ 4 và biểu thức A= 
:
x + 1 x − x − 2  2 x
 x −2

a) Rút gọn biểu thức A.

Với 3 < x ≠ 4 thì A=

=

=

(

x +3

)(

Nội dung trình bày

) ( x + 2)( x − 2) + ( x − 5
( x − 2)( x + 1)

x +1 −

x + 4 x + 3 − ( x − 4) + x − 5 x − 9
x− x −2

x − x − 2 2x
=
.
x − x −2 x −3

Vậy, với 3 < x ≠ 4 thì A =

.

x −9

).

Điểm
2x
x −3

0,5

2x
x −3

2x
.
x −3

0,5

2x
.
x −3

Nếu học sinh không nhắc lại điều kiện trước khi rút gọn thì trừ 0,25 điểm.
b) Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức A.

Với 3 < x ≠ 4 thì A=

Nội dung trình bày

Điểm

2x
6
6
= 2 x −3 +
≥ 2 2 x − 3.
= 4 3.
x −3
x −3
x −3

0,5

2
6
⇔ x − 3 = 3 ⇔ x = 6 (TM).
x −3
Vậy, biểu thức A đạt giá trị nhỏ nhất bằng 4 3 khi và chỉ khi x = 6.
2
Câu 2 (1,0 điểm). Cho góc nhọn α thoả mãn tanα =
.
3

Dấu “=” xảy ra khi và chỉ khi 2 x − 3 =

HDC_HSG Toán 9

(

Trang 1/4

)

0,5

cos 4α + sin 2α . ( cos 2α + 1)
.
Hãy tính giá trị biểu thức: B=
3 2
4
2
2
2.cos α + 2sin α .cos α − sin α
5

Vì α là góc nhọn nên cosα > 0

Nội dung trình bày

cos 2α . ( cos 2α + sin 2α ) + sin 2α
cos 4α + sin 2α .cos 2α + sin 2α
=
Do đó: B=
3 2
3
4
2
2
2.cos α + 2sin α .cos α − sin α 2cos 2α . ( cos 2α + sin 2α ) − sin 2α
5
5
2
sin α
1+
cos 2α + sin 2α
1 + tan 2 α
cos 2α
=
B
= =
2
3
3
2cos 2α − sin 2α 2 − 3 . sin 2α 2 − .tan 2 α
5
5
5 cos α
2

 2 
4
1+ 
1+

2
 3 =
3
=
B
Thay tanα =
, ta được=
2
3
4
3
3  2 
2− .
2 − .
5 3
5  3 

7
  35
3
=
.
 6  18
 
5

Điểm
0,25
0,25

0,25

0,25

Câu 3(1,0 điểm).
Tìm tất cả các cặp số nguyên ( x, y ) thoả mãn: 2 x 2 + 4 xy + 4 y 2 = xy 2 + 18 x + 16 y − 39
Nội dung trình bày

Điểm

2 x 2 + 4 xy + 4 y 2 = xy 2 + 18 x + 16 y − 39 ⇔ ( xy 2 − 4 y 2 ) − ( 2 x 2 − 8 x ) + (10 x − 40 ) − ( 4 xy − 16 y ) + 1 = 0

0,25

Ta có:

⇔ ( x − 4 ) y − 2 x ( x − 4 ) + 10 ( x − 4 ) − 4 y ( x − 4 ) + 1 =
0
2

Nếu x − 4 = 0 ⇔ x = 4 thì dẫn đến 1 = 0 (vô lý). Vậy loại x = 4.
1
.
x−4

0,25

−
Nếu x − 4 ≠ 0 ⇔ x ≠ 4 thì ta được y 2 − 4 y − 2 x + 10 =
1
∈  ⇒ x= 3; x= 5.
Vì y − 4 y − 2 x + 10 ∈  nên
x−4
Với x = 3 thì=
y 1;=
y 3.
2

Với x = 5 thì y =2 ± 3 ∉ .
Vậy các cặp số ( x; y ) cần tìm là ( 3;1) , ( 3;3) .

0,25

0,25

Câu 4(1,0 điểm).
Cho số k thoả mãn

1
1
1
1
1
1
1 
 1
+
+
+ ... +
= k.
+
+
+ ... +
.
1.2 3.4 5.6
2019.2020
2020 
 1011 1012 1013

Chứng minh rằng: k ∈ .
Nội dung trình bày

Ta có:

1
1
1
1
1 1 1 1 1
1
1
+
+
+ ... +
=1 − + − + − + ... +
−
1.2 3.4 5.6
2019.2020
2 3 4 5 6
2019 2020

HDC_HSG Toán 9

Trang 2/4

Điểm
0,25

1  1 1 1
1 
 1 1
= 1 + + + ... +
 −  + + + ... +

2019   2 4 6
2020 
 3 5
1  1 1 1
1 
1 
 1 1
1 1 1
= 1 + + + ... +
 +  + + + ... +
 − 2.  + + + ... +

2019   2 4 6
2020 
2020 
 3 5
2 4 6
1 1
1
1 
 1 1
=1 + + + ... +
− 1 + + + ... +

2 3
2020  2 3
1010 
1
1
1
1
=
+
++
... +
1011 1012
1013
2020
Từ đó suy ra k = 1 . Vậy k ∈ .

0,5

0,25

Câu 5(1,0 điểm). Giải phương trình 1926 − x + 1954 − x + 1971 − x =
23.
Nội dung trình bày
Điều kiện xác định x ≤ 1926
Khi đó, phương trình đã cho tương đương với

(

) (

1926 − x − 6 +

) (

1954 − x − 8 +

2

Điểm
0,25

)

1971 − x − 9 =
0

2

2

1926 − x − 62
1954 − x − 82
1971 − x − 92
⇔
+
+
=
0
1926 − x + 6
1954 − x + 8
1971 − x + 9
1
1
1


⇔ (1890 − x ) 
+
+
0
=
1954 − x + 8
1971 − x + 9 
 1926 − x + 6
1
1
1
⇔ (1890 − x ) =
0 (Vì
+
+
>0)
1926 − x + 6
1954 − x + 8
1971 − x + 9
⇔x=
1890 (thỏa mãn). Vậy x = 1890.

0,25

0,25

0,25
Câu 6 (1,0 điểm). Cho tam giác ABC nhọn với trực tâm H. Trên đoạn HB lấy M và trên đoạn HC

= ANB
= 90° . Chứng minh AM = AN.
lấy N sao cho AMC
Nội dung trình bày

Điểm

A
D
I
M

H

N

C

B

Gọi hai đường cao của tam giác ABC là BD và CI.
Xét tam giác AMC vuông tại M với đường cao MD và tam giác ANB vuông tại N với
đường cao NI,=
ta có: AM 2 AD.AC;
=
AN 2 AI.AB.
 = CAI
 nên
Xét tam giác ABD vuông tại D và tam giác ACI vuông tại I có BAD
∆ABD# ∆ACI , do đó AD.AC = AI.AB ⇒ AM 2 = AN 2 ⇒ AM = AN (đpcm).
Câu 7 (1,0 điểm).

0,5
0,5

Cho tam giác ABC có 3 góc nhọn. Gọi D là trung điểm của BC; E là điểm bất kỳ trên cạnh
AC. Gọi M là giao điểm của AD với BE. Kẻ đường thẳng CM cắt AB tại F.
HDC_HSG Toán 9

Trang 3/4

Chứng minh rằng: Hai đường thẳng EF và BC song song với nhau.
Nội dung trình bày
P

A

Q

Điểm

E

F
M

B

D

C

Qua điểm A, kẻ đường thẳng song song với BC và cắt các đường thẳng BM, CM
lần lượt tại P, Q.
DB EC FA
DC EA FB

Khi đó, áp dụng định lý Ta-lét ta có: =
.
.
Mà BD = CD nên

AP BC AQ
=
.
.
1 ( *)
AQ AP BC

EA FA
=
EC FB

0,5

0,25

Vậy: EF và BC song song với nhau
Lưu ý: Học sinh dùng định lý Ce-va để chứng minh (*), nếu đúng vẫn cho điểm tối đa.
Câu 8(1,0 điểm).

0,25

Cho a, b, c là độ dài các cạnh của một tam giác bất kỳ.
Chứng minh rằng:

a
b
c
+
+
≥ 3.
b+c −a c + a −b a +b−c

Nội dung trình bày
Vì a, b, c là độ dài các cạnh của một tam giác nên b + c − a > 0; c + a − b > 0; a + b − c > 0
Đặt x = b + c − a; y = c + a − b; z = a + b − c
y+z
z+x
x+ y
=
; b =
; c
và a =
.
thì x, y, z là các số dương
2
2
2
a
b
c
y+z z+x x+ y
Khi đó:
+
+
=
+
+
2x
2y
2z
b+c −a c + a −b a +b−c

Điểm
0,25

0,25

1 y z z x x y
 + + + + + ≥3
2 x x y y z z 
Dấu “=” xảy ra khi và chỉ khi x = y = z ⇔ a = b = c
=

0,25

0,25
Câu 9 (1,0 điểm). Trong hình vuông cạnh bằng 18 cho 1945 điểm. Chứng minh rằng luôn tồn tại
một đường tròn bán kính 1 chứa ít nhất 7 điểm trong số 1945 điểm đã cho.
Nội dung trình bày
Ta phân chia hình vuông đã cho thành 182 = 324 hình vuông đơn vị (có cạnh bằng 1).
Vì có 1945 điểm và 324 hình vuông đơn vị nên tồn tại 1 hình vuông đơn vị chứa ít nhất
1945 
7 điểm trong số các điểm đã cho.
 324  + 1 =
Đường tròn ngoại tiếp hình vuông đơn vị có bán kính bằng
HDC_HSG Toán 9

Trang 4/4

2
< 1 chứa ít nhất 7 điểm
2

Điểm
0,25
0,5
0,25

nói trên. Từ đó suy ra bài toán được chứng minh.
Hết .

HDC_HSG Toán 9

Trang 5/4