Ngày soạn: 15/3/2009
Ngày giảng: 17/3/2009
Chuyên đề: Dãy các phân số viết theo quy luật
I/ Nhận xét mở đầu:
Khi giải các bài toán về phân số, ta thường gặp các bài toán tính tổng các phân số mà tử và mẫu của chúng được viết theo quy luật. VD:
3 + 3 + 3 + .... + 3
4.7 7.10 10. 13 73.76
Dễ nhận thấy các phân số có tử không thay đổi và đúng bằng hiệu hai thừa số ở dưới mẫu, thừa số cuối ở mẫu trước bằng thừa số đầu ở mẫu sau.
Phương pháp chung để giải các bài toán dạng này là dùng công thức:
m = 1 _ 1
b. ( b+m) b b+m
Khi đó ta có thể viết mỗi số hạng thành hiệu của hai phân số , số trừ của nhóm trước bằng số bị trừ của nhóm sau rồi khử liên tiếp. Kết quả còn lại số bị trừ đầu tiên và số trừ cuói cùng, khi đó phép tính thực hiện được dễ dàng.
Nếu mỗi số hạng phức tạp hơn, chẳng hạn:
2m
b. ( b+m ).(b+ 2m )
thì ta dùng công thức:
2m = 1 _ 1
b. ( b+m ).(b+ 2m ) b.( b+ m ) ( b+m ).( b+ 2m )

Tuy nhiên không phải bài toán nào ta cũng phát hiện được ngay quy luật mà phải qua một số phép biến đổi dựa trên tính chất cơ bản của phân số như nhân cả tử và mẫu với cùng một số để tìm quy luật của mẫu, áp dụng hợp lý tính chất phân phối của phép nhân đối với phép cộng để biến đổi tử đúng bằng hiệu hai thừa số dưới mẫu...
II/ Các ví dụ :
VD1: Tính tổng 100 số hạng đầu tiên của dãy sau:
a/ 1/1.2 ; 1/ 2.3 ; 1/ 3.4 ..........
b/ 1/6 ; 1/ 66 ; 1/ 176..........

Trước hết ta có nhận xét sau:
Tổng 100 số hạng đầu tiên của dãy là:
a/ 1/ 1.2 + 1/ 2.3 + 1/ 3.4 +.........+ 1/ 100.101
Các phân số trong tổng có tử bằng nhau và đúng bằng hiệu hai thừa số dưới mẫu nên ta dùng công thức biến đổi:
m/ b. ( b+ m ) = 1/ b - 1/ b+m
Vậy 1/ 1.2 + 1/ 2.3 + 1/ 3.4 +.........+ 1/ 100.101 = 1 – 1/ 101 = 100/ 101

b/ Trước hết ta viết các mẫu thành tích theo quy luật:
6 = 1.6 ; 66 = 6. 11 ; 176 = 11. 16......
số hạng thứ n của dãy có dạng : ( 5n – 4 ) ( 5n + 1 )
=> số hạng thứ 100 của dãy có dạng : ( 5. 100 – 4 ) ( 5. 100 + 1 ) = 496 . 501
lại có 1- 1/6 = 5/ 1.6 ; 1/6 – 1/11 = 5/ 6.11
Từ đó: 1/6 + 1/ 66 + 1/ 176 + .... + 1/ 496. 501 = 1/5 .( 1 – 1/6 + 1/6 - 1/11 + 1/11 - .......+ 1/ 496 - 1/ 501 ) = 1/5 . ( 1 – 1/500) = 1/5 . 500/ 501 = 100/ 501
VD2: Tính tổng
B= 1/ 1.2