TRƯỜNG THCS ĐỒNG TIẾN

ĐỀ THI THỬ HỌC SINH GIỎI
MÔN TOÁN 7 LẦN 3 NĂM HỌC 2023 - 2024

ĐỀ CHÍNH THỨC

Thời gian làm bài 150 phút (không kể thời gian giao đề)
Đề thi có: 01 trang

Câu I: (4,0 điểm)
1) Tính giá trị các biểu thức sau:
a)

; b) Cho

Tính giá trị của biểu thức

2) Cho biết

và

.
.

. Tính giá trị của biểu thức:

Câu II: (4,0 điểm)
1) Tìm x biết: a)

b)

2) Cho các số a, b, c, d khác 0 và x, y, z, t thỏa mãn
. Tính T = x2023 + y2023 + z2023 + t2023
Câu III: (4,0 điểm)
1) Tìm các số nguyên

biết rằng:

2) Cho x, y là các số nguyên dương thỏa mãn x2 + y2 – x chia hết cho xy.
Chứng minh: x là số chính phương.
Câu IV: (6,0 điểm)
1) Cho tam giác ABC vuông cân tại A. Gọi M là trung điểm BC, D là điểm thuộc đoạn
BM (D khác B và M). Kẻ các đường thẳng BH, CI lần lượt vuông góc với đường thẳng
AD tại H và I. Chứng minh rằng:
a) BH = AI.
b) Tính góc AIM.
2) Cho tam giác ABC có góc

. Kẻ AH vuông góc với BC (H thuộc BC).

Chứng minh rằng AB + AC < BC + AH.
Câu V: (2,0 điểm) Cho
Với

. Chứng minh M không phải là số tự nhiên.
1

--------------- Hết --------------Cán bộ coi thi không giải thích gì thêm.
TRƯỜNG THCS ĐÔNG TIẾN

HƯỚNG DẪN CHẤM THI THỬ HỌC SINH GIỎI
MÔN TOÁN 7 NĂM HỌC 2023 - 2024

HD chấm có: 04 trang

Câu

Ý

Nội dung

Điểm
0,5

a)

0.5
0,5

Ý1
3.0đ
0,5

0,5

Câu I
(5,0đ)

Khi đó

0,5

Ta có:
0,25
Ý2
(1,0đ)

0,25
0,25
Suy ra:

0,25
2

Ý1
3,0đ

a)
Nếu

thì

Nếu

thì

( chọn)

0,5
0,5

( Loại)

Vậy

0,5
0,5

b)

0,5
Câu II
(4,0đ )

0,5

0.25

2

0.25
Mà

Với

mọi x, y, z, t và a, b, c, d khác 0 nên x = y = z = t = 0
T=0
Câu III Ý 1
(3,0đ) (2.0 đ)

Ta có:

(1)
(2)

0.25
0.25
0,5
0,5

3

Từ (1) và (2)

0,5

Dấu “=” sảy ra khi

0,5

Vậy
Đặt (x, y) = d, ta có x = dm, y = dn, với m, n là các số nguyên dương
nguyên tố cùng nhau. Theo đề bài cho ta có:

0,5

Ý2
(2.0đ)

0,5
Vì (m,n)=1 nên (m, n2) = 1 nên từ (2) ta có:
Từ (1) và (3) ta có: m = d
Vậy x = dm = d2 là số chính phương.

Câu IV
(6,0đ)

0,5

(3)
0,5

A

I

1
(2,0đ)

D
B

M

C

H

+ Chỉ ra:
(cùng phụ
)
+ Chứng minh được AIC = BHA (Cạnh huyền – góc nhọn)
=> BH = AI (2 cạnh tương ứng)
2
b) Chứng minh:
(2,0đ) + Chứng minh được: ABM = ACM (c-c-c)
+ Lập luận được:
+ Tính ra được
=>
Tam giác MHI vuông cân.
+ Chứng minh được
+ Chứng minh được AM = MC
+ Chứng minh được
+ Chứng minh được HAM = ICM (c-g-c)
=> HM = MI
(*)

1,0
1,0

0,5
0,5
0,5
0,5

4

+ Do HAM = ICM =>

=>

(do

+ Lập luận được:
(**)
Từ (*) và (**) => MHI vuông cân
B

H
D

A

C

E

3
Vẽ D trên BC sao cho AB = BD.
(2,0đ)
Ta có tam giác ABD cân ở B =>
Lại có
=> AD là phân giác góc CAH.
Vẽ DE vuông góc với AC. Chứng minh được HAD = EAD
=> AH = AE
Trong tam giác DEC có CE< DC => AB + AC < BC + AH.

0,5
0,5
0,5
0,5

Ta có: M có 2n +1 số hạng

0,5
Câu V
(2,0đ)

=> M >1
Lại có
Tổng

0,5

(*)
;
có 2n -1 số hạng

=> M < 2 (**)
Tư (*) và (**) suy ra 1< M < 2
Nên M trị không phải là số tự nhiên

0,5
0,5

* Ghi chú: - Học sinh làm cách khác đúng vẫn cho điểm tối đa.
- Bài hình học học sinh không vẽ hình hoặc vẽ hình sai thì không chấm điểm.
5

- Điểm của toàn bài là tổng điểm của các câu không làm tròn.

6