thuvienhoclieu.com
19 CHUYÊN ĐỀ BỒI DƯỠNG HỌC SINH GIỎI
TOÁN 7 CÓ LỜI GIẢI
Chương I
SỐ HỮU TỈ. SỐ THỰC
Chuyên đề 1. TẬP HỢP SỐ HỮU TỈ
A. Kiến thức cần nhớ
1. Số hữu tỉ


Số hữu tỉ là số viết được dưới dạng phân số



Tập hợp các số hữu tỉ được kí hiệu là Q.

với

.

2. Biểu diễn các số hữu tỉ trên trục số.


Mọi số hữu tỉ đều có thể biểu diễn trên trục số.



Trên trục số, điểm biểu diễn số hữu tỉ x được gọi là điểm x.

3. So sánh hai số hữu tỉ


Để so sánh hai số hữu tỉ, ta viết chúng dưới dạng phân số rồi so sánh hai phân số đó.



Số hữu tỉ lớn hơn 0 gọi là số hữu tỉ dương;



Số hữu tỉ nhỏ hơn 0 gọi là số hữu tỉ âm;



Số hữu tỉ 0, không là số hữu tỉ dương cũng không là số hữu tỉ âm.



Số hữu tỉ

là số hữu tỉ dương nếu a và b cùng dấu, là số hữu tỉ âm nếu a, b khác dấu, bằng 0 nếu

a = 0.
B. Một số ví dụ
Ví dụ 1: Điền các kí hiệu N, Z, Q vào ô trống cho hợp nghĩa (điền tất cả các khả năng có thể):
;

;

;
Giải

 Tìm cách giải. Khi điền vào ô trống, ta căn cứ vào định nghĩa tập hợp:


.



 Trình bày lời giải.



thuvienhoclieu.com

Trang 1

thuvienhoclieu.com


 Nhận xét. Chúng ta lưu ý rằng
Ví dụ 2: Cho số hữu tỉ

, nếu không ý thứ nhất và ý thứ hai của ví dụ dễ bị sót.

. Với giá trị nào của a thì:

a) x là số dương;
b) x là số âm;
c) x không là số dương cũng không là số âm.
Giải
 Tìm cách giải. Khi xác định dấu của số hữu tỉ, ta lưu ý
số hữu tỉ âm nếu a, b khác dấu. Chú ý rằng

là số hữu tỉ dương nếu a và b cùng dấu, là

, ta có lời giải sau:

 Trình bày lời giải.
a)

và 2020 cùng dấu.

Mà

nên

suy ra

b)

. Vậy với

thì x là số hữu tỉ dương.

và 2020 khác dấu.

Mà

nên

suy ra

. Vậy với

thì x là số hữu tỉ âm.

c) x không là số dương cũng không là số âm tức là
Vậy với

hay

suy ra

.

thì x không là số dương cũng không là số âm.

Ví dụ 3. So sánh các số hữu tỉ sau:
a)

hay

c)

và

;

b)

và

;

.
Giải

 Tìm cách giải. Trước khi so sánh hai số hữu tỉ, chúng ta thường thực hiện:


Đưa các số hữu tỉ về dạng phân số tối giản;



Quy đồng mẫu số, chú ý để mẫu số dương;



Sau đó so sánh hai phân số.

 Trình bày lời giải.
Rút gọn ta có:
thuvienhoclieu.com

Trang 2

thuvienhoclieu.com
a)

nên

b)

nên

c)

và

nên

Ví dụ 4. Viết tập hợp các số nguyên n sao cho số hữu tỉ sau có giá trị là số nguyên.
a)

;

b)
Giải

 Tìm cách giải. Số hữu tỉ
hay

(với

) có giá trị là số nguyên khi và chỉ khi a chia hết cho b

Ư(a). Từ đó chúng ta có lời giải sau.

 Trình bày lời giải.
a)

Ư(7); mà Ư(7)
n

Vậy với

suy ra bảng giá trị sau:

1

7

-1

-7

6

12

4

-2

thì

có giá trị là số nguyên.

b)

(với

Vậy với

(

) thì

)

.

có giá trị là số nguyên.

Ví dụ 5. Tìm các số nguyên n để số hữu tỉ

có giá trị là số nguyên.
Giải

 Tìm cách giải. Đưa về ví dụ 4, bằng cách tách ra một số hạng nguyên.
 Trình bày lời giải.

Ư(31) mà Ư(31)

.

Suy ra ta có bảng giá trị sau:
n

1

31

-1

-31

-9

21

-11

-41

thuvienhoclieu.com

Trang 3

thuvienhoclieu.com
Với

thì số hữu tỉ

có giá trị là một số nguyên.

Ví dụ 6. Chứng tỏ rằng số hữu tỉ

là phân số tối giản, với mọi

.

Giải
 Tìm cách giải. Để chứng minh

là phân số tối giản

chúng ta chứng tỏ ƯCLN (a; b) = 1

 Trình bày lời giải.
Đặt ƯCLN

(với

) suy ra:

Suy ra: ƯCLN
Vậy

là phân số tối giản, với mọi

.

Ví dụ 7. Tìm các số hữu tỉ.
a) Có mẫu là 15, lớn hơn
b) Có tử là 4, lớn hơn

và nhỏ hơn
và nhỏ hơn

;

.
Giải

a) Gọi số hữu tỉ cần tìm là

với

.

Theo đề bài, ta có:

Vậy các số hữu tỉ cần tìm là:
b) Gọi số hữu tỉ cần tìm là

.
với

Theo đề bài ta có:

thuvienhoclieu.com

Trang 4

thuvienhoclieu.com
Vậy các số hữu tỉ cần tìm là

.

C. Bài tập vận dụng
1.1. Trong các phân số sau, những phân số nào biểu diễn số hữu tỉ

?

.
1.2. Viết các số hữu tỉ sau dưới dạng phân số với mẫu số dương.

1.3. Cho ba số hữu tỉ
a) Viết ba số hữu tỉ bằng mỗi số hữu tỉ trên và có mẫu là số dương.
b) Viết ba số hữu tỉ bằng mỗi số hữu tỉ trên và có mẫu là số dương bằng nhau.
1.4. Cho số hữu tỉ

. Với giá trị nào của m thì:

a) x là số dương.

b) x là số âm.

c) x không là số dương cũng không là số âm.
1.5. Cho số hữu tỉ

. Với giá trị nào của m thì:

a) x là số dương.

b) x là số âm.

1.6. Viết tập hợp các số nguyên n sao cho số hữu tỉ sau có giá trị là một số nguyên.
a)

;

b)

1.7. Tìm số nguyên a để số hữu tỉ

là một số nguyên.

1.8. Tìm các số nguyên x để số hữu tỉ
1.9. Chứng tỏ số hữu tỉ

có giá trị là một số nguyên.

là phân số tối giản, với mọi

.

1.10.
a) Cho hai số hữu tỉ

và

. Chứng minh rằng

b) Áp dụng kết quả trên, so sánh các số hữu tỉ sau:

và

khi và chỉ khi
và

.

.

1.11.

thuvienhoclieu.com

Trang 5

thuvienhoclieu.com
a) Cho hai số hữu tỉ

và

. Chứng minh rằng nếu

b) Hãy viết ba số hữu tỉ xen giữa hai số hữu tỉ

và

thì

.

1.12. Cho a, b, m là các số nguyên và b > 0; m > 0.
a) So sánh

và

c) So sánh

và

.

b) So sánh
và

và

.

.

1.13. Cho các số hữu tỉ a, b, c thỏa mãn

và

. Chứng minh rằng

.

1.14. Tìm các số hữu tỉ:
a) Có mẫu số là 20, lớn hơn
b) Có tử là 2, lớn hơn

và nhỏ hơn

;

và nhỏ hơn

HƯỚNG DẪN GIẢI – ĐÁP SỐ
1.1. Những phân số biểu diễn số hữu tỉ

là

.

1.2.
1.3.
a) Ba số hữu tỉ bằng mỗi số hữu tỉ trên và có mẫu là số dương.

b) Ba số hữu tỉ bằng mỗi số hữu tỉ trên và có mẫu là các số dương bằng nhau.

1.4.
a)
Vậy với

thì số hữu tỉ x là số dương.

b)
Vậy với

thì số hữu tỉ x là số âm.

c) x không là số dương cũng không là số âm

thuvienhoclieu.com

Trang 6

thuvienhoclieu.com
Vậy với

thì số hữu tỉ x không là số dương cũng không là số âm.

1.5.
a)
Vậy với

thì số hữu tỉ x là số dương.

b)
Vậy với

thì số hữu tỉ x là số âm.

1.6.
a) Ta có

Ư(5) mà Ư(5)

Suy ra bảng giá trị sau:
n

1

5

-1

-5

0

4

-2

-6

Vậy với

thì

b) Ta có:
Vậy với

thì

1.7.

Ư(-2019)

Mà Ư(-2019)
Suy ra bảng giá trị sau:
a

1

3

673

2019

-1

-3

-673

-2019

-5

-3

667

2013

-7

-9

-679

-2025

Vậy với

thì

là một số nguyên.

1.8.
Ư(7) mà Ư(7)
Suy ra bảng giá trị sau:
thuvienhoclieu.com

Trang 7

thuvienhoclieu.com
x

1

7

-1

-7

6

12

4

-2

Vậy với

thì

1.9. Đặt ƯCLN

Suy ra: ƯCLN

. Vậy

là phân số tối giản với mọi

.

1.10.
a) Quy đồng mẫu hai phân số, ta có:


Nếu



Nếu

b) Ta có:
Ta có:

thì

. Vì

nên

, do đó:

suy ra

thì

suy ra

.

vì
. Vì

, suy ra:

1.11.
a) Theo bài

, ta có:

, suy ra

Từ (1) ta có:

(1).
hay

Mặt khác, từ (1) ta lại có:

(2)
hay

Từ (2) và (3) suy ra:

(3)

.

b) Theo câu a) ta có:
suy ra
suy ra

;
;

thuvienhoclieu.com

Trang 8

thuvienhoclieu.com
suy ra

;

Vậy ta có:

.

1.12.
a) Trường hợp 1. Xét

Trường hợp 2. Xét

Vậy: Nếu
Nếu

thì
thì

b) Trường hợp 1. Xét

Trường hợp 2. Xét

c) Áp dụng câu a), ta có

nên

Áp dụng câu b),
1.13. Ta có
Vì

hay

suy ra

và

nên

.

1.14.
a) Gọi số hữu tỉ cần tìm là

với

.

Theo đầu bài, ta có:

Vậy các số hữu tỉ cần tìm là:
thuvienhoclieu.com

Trang 9

thuvienhoclieu.com
b) Gọi số hữu tỉ cần tìm là:

với

.

Theo đầu bài, ta có:

Vậy số hữu tỉ cần tìm là:

Chuyên đề 2. CỘNG, TRỪ, NHÂN, CHIA
SỐ HỮU TỈ
A. Kiến thức cần nhớ
1. Với

ta có:
.

2. Với

ta có:
(với

).

3. Các phép toán trong Q cũng có những tính chất giao hoán, kết hợp và phân phối của phép nhân đối với
phép cộng như trong tập hợp Z. Ngoài ra các quy tắc bỏ dấu ngoặc, quy tắc chuyển vế cũng như trong tập
hợp Z.
B. Một số ví dụ
Ví dụ 1. Thực hiện các phép tính:
a)

;

b)

;

Giải


Tìm cách giải. Khi thực hiện các phép tính chỉ có phép cộng và trừ, ta có thể thực hiện trong

ngoặc trước, thực hiện từ trái qua phải. Tuy nhiên nếu có nhiều dấu (-) ta có thể giảm bớt dấu (-) bằng
cách bỏ ngoặc. Ngoài ra có thể dùng tính chất giao hoán và kết hợp nhằm giải bài toán được nhanh hơn.

 Trình bày lời giải.
a)
b)
thuvienhoclieu.com

Trang 10

thuvienhoclieu.com
Ví dụ 2. Thực hiện các phép tính
a)

;

b)
Giải



Tìm cách giải. Vì phép chia là phép nhân số bị chia với số nghịch đảo của số chia nên ta có thể

vận dụng tính chất phân phối:

 Trình bày lời giải
a)
b)
Ví dụ 3. Tìm x.
a)

;

b)

;

c)

;

d)

.
Giải

 Tìm cách giải. Khi tìm x ta có thể vận dụng các tính chất sau:



nên



thì

hoặc

 Trình bày lời giải.
a)

b)

hoặc
hoặc

hoặc

suy ra
.

thuvienhoclieu.com

Trang 11

thuvienhoclieu.com
Vậy
c)

Vì

nên

d)

Mà

. Suy ra

.

Ví dụ 4. Tìm số nguyên x, y biết:
Giải
 Tìm cách giải. Đối với dạng toán này, chúng ta chú ý

thì

Ư(k),

Ư(k).

Do vậy chúng ta quy đồng mẫu số, chuyển x, y về một vế, vế còn lại là một số nguyên.

 Trình bày lời giải.

Vì

là ước lẻ của 40 mà ước lẻ của 40 là: 1; 5; -1; -5 nên ta có bảng giá trị:
y

1

5

-1

-5

40

8

-40

-8

Từ đó suy ra
Ví dụ 5. Rút gọn biểu thức:

a)

;
thuvienhoclieu.com

Trang 12

thuvienhoclieu.com

b)
Giải



Tìm cách giải. Những biểu thức phức tạp, nếu thực hiện theo thứ tự sẽ dài và có thể dẫn đến sai

lầm. Quan sát kĩ, ta thấy có những phần giống nhau cả số và dấu vì vậy ta nên vận dụng tính chất phân
phối
để rút gọn.



Trình bày lời giải.

a) Ta có:

b) Ta có:
Ví dụ 6. Cho 2021 số nguyên dương

thỏa mãn:

. Chứng minh rằng tồn tại ít nhất 2 trong số 2021 số nguyên dương đã cho
bằng nhau.
Giải



Tìm cách giải. Dạng toán này chúng ta không chỉ ra được cụ thể tường minh đó là hai giá trị nào,

mà chỉ cần chỉ ra tồn tại ít nhất hai số trong các số đã cho bằng nhau mà thôi. Đối với dạng toán này
thông thường chúng ta dùng phương pháp phản chứng:


Bước 1. Phủ định kết luận. Tức là giả sử không có hai số nguyên dương nào bằng nhau.



Bước 2. Lập luận logic, chứng tỏ mâu thuẫn với đề bài đã cho hoặc một điều hiển nhiên.



Bước 3. Chứng tỏ giả sử là sai. Vậy kết luận của đề bài là đúng.

 Trình bày lời giải.
Giả sử trong 2021 số nguyên dương

thỏa mãn: không có hai số nào bằng nhau.
thuvienhoclieu.com

Trang 13

thuvienhoclieu.com
Khi đó
mâu thuẫn với đề bài.
Vậy có ít nhất 2 trong số 2021 số nguyên dương đã cho bằng nhau


Nhận xét. Trong lời giải bài toán trên, sau khi giả sử 2021 số nguyên dương khác nhau chúng ta

đã so sánh chúng với 2021 số nguyên dương nhỏ nhất. Từ đó nhận thấy 2021 số nguyên dương nhỏ nhất
cũng không thỏa mãn đầu bài. Suy ra 2021 số nào đó cũng không thỏa mãn đề bài và dẫn đến mâu thuẫn
với giả thiết.
Ví dụ 7. Cho

và

Tính giá trị:
Giải


Tìm cách giải. Với điều kiện đề bài, chúng ta không thể tính được giá trị của a, b, c. Do vậy

chúng ta cần biến đổi S nhằm xuất hiện a + b + c và
phần kết luận

. Quan sát kỹ chúng ta thấy

, mỗi phân số đều có tổng tử và mẫu bằng nhau và bằng

Do đó chúng ta cộng mỗi phân số với 1, và có lời giải sau:

 Trình bày lời giải.
Ta có

Ví dụ 8. Tìm x, biết:
a)

;

b)
Giải

 Tìm cách giải. Đối với dạng toán này chúng ta chú ý kiến thức sau:


và B cùng dấu.



và B khác dấu.
thuvienhoclieu.com

Trang 14

.

thuvienhoclieu.com

 Trình bày lời giải
a)

và

mà

nên suy ra:

Vậy với
b)

hoặc
và

cùng dấu.
hoặc

hoặc

thì
cùng dấu, nên ta có trường hợp sau:



Trường hợp 1:

;



Trường hợp 2:

loại.

Vậy với

.

thì

 Nhận xét. Ngoài cách giải trên của câu b, chúng ta có thể lập luận theo cách sau:

và
Mà
Vậy với

khác dấu.
nên suy ra:

và

và

.

thì

Ví dụ 9. Chứng tỏ rằng:

Giải
Xét vế trái, ta có:

.
Vế trái bằng vế phải; Điều phải chứng minh.
 Nhận xét. Nếu vận dụng so sánh số hữu tỷ, ta có:
. Từ đó bạn có thể giải được bài toán sau:
Chứng tỏ rằng:

thuvienhoclieu.com

Trang 15

thuvienhoclieu.com
C. Bài tập vận dụng
2.1. Viết số hữu tỉ

thành:

a) tích của hai số hữu tỉ theo sáu cách khác nhau.
b) thương của hai số hữu tỉ theo sáu cách khác nhau.
2.2. Thực hiện phép tính (tính nhanh nếu có thể).
a)

;

b)

;

c)

;

d)

;

e)

.

2.3. Thực hiện các phép tính sau:
a)

;

b)

.

2.4. Rút gọn:

.

(Đề thi chọn học sinh giỏi môn Toán, lớp 7, tỉnh Bắc Giang, năm học 2012 - 2013)
2.5. Tìm x, biết:
a)

;

c)

b)
;

d)

;
.

2.6. Tính:

2.7. Tìm giá trị nguyên dương của x và
2.8. Tìm số nguyên

, sao cho:

biết:
thuvienhoclieu.com

Trang 16

thuvienhoclieu.com
a)

;

2.9. Tính tổng

b)

;

c)

.

, biết:

2.10. Tìm các số hữu tỉ

thỏa mãn:

2.11. Cho biểu thức
a)

. Chứng minh rằng:
;

b)

2.12. Cho 100 số hữu tỉ, trong đó tích 3 số bất kì là một số âm. Chứng minh rằng:
a) Tích của 100 số đó là một số dương.
b) Tất cả 100 số đó đều là số âm.
2.13. Cho 20 số nguyên khác 0:
+

có các tính chất sau:

là số dương.

+ Tổng của ba số viết liền nhau bất kì là một số dương.
+ Tổng của 20 số đó là số âm.
Chứng minh rằng:
2.14. Đặt

và

So sánh A và B.
2.15. Cho 100 số tự nhiên

thỏa mãn

.

Chứng minh rằng ít nhất hai trong 100 số tự nhiên trên bằng nhau.
(Thi học sinh giỏi toán 7, huyện Yên Lạc, Vĩnh Phúc 2012 - 2013)
2.16. Cho ba số a, b, c thỏa mãn:

và

. Tìm giá trị nhỏ nhất của c.

HƯỚNG DẪN GIẢI – ĐÁP SỐ
2.1.
a)
b)
thuvienhoclieu.com

Trang 17

thuvienhoclieu.com
c)
d)
2.2.
a)

b)

c)

d)
e)
2.3.
a)

b)
thuvienhoclieu.com

Trang 18

thuvienhoclieu.com

2.4.

2.5.
a)
b)
c)

hoặc

suy ra

hoặc
hoặc

Vậy
d)

Mà

nên

hay

2.6. Theo công thức:
Suy ra:
thuvienhoclieu.com

Trang 19

thuvienhoclieu.com

2.7. Vì

và

có vai trò như nhau, không giảm tính tổng quát, giả sử

Mặt khác
+ Với
+ Với

loại.

+ Với

loại.

+ Với

loại.

+ Với
Vậy cặp

là

2.8.
a)
vì

là ước lẻ của 6 mà ước lẻ của 6 là: 1; 3; -1; -3 nên ta có bảng giá trị
x

1

3

-1

-3

6

2

-6

-2

Từ đó suy ra
b)
và y là ước của 6, mà Ư(6)
Từ đó ta có bảng sau:
y

1

2

3

6

-1

-2

-3

-6

6

3

2

1

-6

-3

-2

-1

thuvienhoclieu.com

Trang 20

thuvienhoclieu.com
Từ đó suy ra
c)
và y là ước của 4, mà Ư(4)
y

nên ta có bảng giá trị:

1

2

4

-1

-2

-4

4

2

1

-4

-2

-1

Từ đó suy ra
2.9. Từ đề bài suy ra:
Từ đề bài, ta có:

hay
2.10. Ta có:

Suy ra:
Vậy

mà:
.

2.11. a) Xét biểu thức ta có:

thuvienhoclieu.com

Trang 21

thuvienhoclieu.com

Vế trái bằng vế phải. Điều phải chứng minh.
b) Ta có:

Hay

(1)

Hay

(2)

Từ (1) và (2), suy ra:

. Điều phải chứng minh.

2.12. Đặt 100 số hữu tỉ đó là
a) Theo đề bài ta có:

trong ba số

tồn tại ít nhất một số âm.

Giả sử
Xét
Ta có:

theo đề bài:

(có 33 nhóm) nên
b) Theo đề bài ta có
Giả sử

. Xét

Xét

với

trong ba số
mà

tồn tại ít nhất một số âm.

nên

mà

Vậy tất cả 100 số đó đều là số âm.
2.13. Ta có:

Mà
Cũng như vậy:

Mặt khác.
thuvienhoclieu.com

Trang 22

thuvienhoclieu.com
Từ các điều kiện

(điều phải chứng minh).

2.14. Đặt

;

Ta có
(1)
Mặt khác
(2)
Từ (1) và (2)

hay

2.15. Giả sử trong 100 số nguyên dương

thỏa mãn: Không có hai số nào bằng nhau.

Khi đó
mâu thuẫn với giả thiết.
Vậy có ít nhất 2 trong số 100 số nguyên dương đã cho bằng nhau.
2.16. Vì

nên
(vì

) hay

Vậy giá trị nhỏ nhất của c là:

khi đó

Chuyên đề 3. GIÁ TRỊ TUYỆT ĐỐI CỦA MỘT SỐ HỮU TỈ.
CỘNG, TRỪ, NHÂN, CHIA SỐ THẬP PHÂN
A. Kiến thức cần nhớ
1. Giá trị tuyệt đối của số hữu tỉ x, kí hiệu


Ta có:



Với mọi

, ta luôn có:

là khoảng cách từ điểm x tới điểm 0 trên trục số.

.
thuvienhoclieu.com

Trang 23

thuvienhoclieu.com
2. Để cộng, trừ, nhân, chia các số thập phân, ta có thể viết chúng dưới dạng phân số thập phân rồi làm
theo quy tắc các phép tính đã biết về phân số.
B. Một số ví dụ
Ví dụ 1.Tìm x, biết:
a)

;

c)

;

b)

;

d)

.
Giải

 Tìm cách giải. Khi tìm x chứa dấu giá trị tuyệt đối, ta lưu ý:


thì



hoặc

.

thì A = 0.



thì không tồn tại.

 Trình bày lời giải
a)
suy ra

hoặc

do đó

.

b)

hoặc

.

Vậy
c)

suy ra không tồn tại x.

d)

hoặc
hoặc

- Trường hợp 1.

.
hoặc

hoặc
- Trường hợp 2.

hoặc

thuvienhoclieu.com

Trang 24

thuvienhoclieu.com
Vậy

.

Ví dụ 2. Tìm x; y; z thỏa mãn:
a)

;

b)
Giải

 Tìm cách giải. Khi tìm
thì

và

mà tổng các giá trị tuyệt đối bằng 0 ta lưu ý:
.

 Trình bày lời giải
a) Ta có

nên từ

suy ra

và

suy ra

.

và

b) Ta có

;

nên từ
suy ra
do đó:

.

Ví dụ 3. Tìm

, biết:

Giải


Tìm cách giải. Đối với dạng toán

(1), chúng ta nhận thấy rằng

vế trái là tổng các giá trị tuyệt đối. Do vậy có điều kiện:
Khi đó (1) trở thành:

từ đó chúng ta bỏ dấu giá trị tuyệt đối.

. Và lời giải trở nên đơn giản.

 Trình bày lời giải.
Điều kiện

suy ra:

thuvienhoclieu.com

Trang 25

thuvienhoclieu.com

Ví dụ 4. Tìm

, biết:

a)

;

b)
Giải



Tìm cách giải. Chúng ta biết rằng hai số bằng nhau hoặc đối nhau thì có giá trị tuyệt đối bằng

nhau và ngược lại. Do vậy giải dạng toán này, chúng ta lưu ý:

hoặc

.

 Trình bày lời giải.
a)

hoặc

- Trường hợp 1. Giải

- Trường hợp 2. Giải:

Vậy
b)
hoặc
- Trường hợp 1. Giải

- Trường hợp 2. Giải:

Vậy
thuvienhoclieu.com

Trang 26

thuvienhoclieu.com
Ví dụ 5. Tìm

biết:

a)

;

b)

;

Giải
 Tìm cách giải. Để giải dạng toán tổng giá trị tuyệt đối, chúng ta có thể:


Hướng 1. Xét dấu, bỏ dấu giá trị tuyệt đối.



Hướng 2. Vận dụng bất đẳng thức



Hướng 3. Vận dụng bất đẳng thức

, dấu bằng xảy ra khi

.

, dấu bằng xảy ra khi

.

 Trình bày lời giải.
a) Ta có:

nên

Do vậy dấu bằng chỉ xảy ra khi
Vậy
b)

.

.
Ta

có:

.
hoặc

Dấu

bằng

chỉ

xảy

ra

khi

.

Ví dụ 6. Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức:

Giải
Ta có:
Suy ra
Mặt khác, ta có:
Suy ra:
Vậy giá trị nhỏ nhất của A là 2019 khi
Ví dụ 7. Thực hiện phép tính một cách hợp lí.

;

thuvienhoclieu.com

Trang 27

thuvienhoclieu.com

Giải


Tìm cách giải. Khi thực hiện các phép tính có biểu thức chứa các số thập phân và phân số, ta nên

viết chúng dưới dạng phân số rồi thực hiện các phép tính. Quan sát kĩ sau khi viết dưới dạng phân số, ta
thấy có những phần giống nhau cả số và dấu vì vậy ta nên vận dụng tính chất phân phối
để rút gọn.

 Trình bày lời giải

Ví dụ 8. Tính bằng cách hợp lí:
a)

;

b)

;

Giải


Tìm cách giải. Tính tổng các số thập phân ta có thể vận dụng tính chất giao hoán và kết hợp để

tính hợp lí hơn.

 Trình bày lời giải
a)

;

b)
C. Bài tập vận dụng
thuvienhoclieu.com

Trang 28

thuvienhoclieu.com
3.1. Tìm

, biết:

a)

;

c)
3.2. Tìm

;

d)

;

.

b)

.

c)

;

d)

.

, biết:

a)

;

b)

;

3.4. Tìm

thỏa mãn:

a)

;

b)

c)
3.5. Tìm

;

, biết:

a)
3.3. Tìm

b)

d)
, biết:

a)

;

b)

;

c)

.

3.6. Tìm cặp số nguyên
a)

;

c)
3.7. Tìm

thỏa mãn:
b)

;

.

d)

.

, biết:

a)
c)
3.8. Tìm cặp

;

b)
;

;

d)

thỏa mãn:

.
.

thuvienhoclieu.com

Trang 29

thuvienhoclieu.com
3.9. Tìm các cặp số nguyên
a)

thỏa mãn:

;

b)

c)

;

.

3.10. Tìm các cặp số nguyên
a)

thỏa mãn:
;

c)

;

b)

;

d)

.

3.11. Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức:
a)

;

c)

b)
;

;

d)

;

e)
3.12. Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức
3.13. Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức

với x là số nguyên.

3.14. Thực hiện phép tính:

.

3.15. Thực hiện phép tính
a)

;

b)
3.16. Tìm
a)
b)

.
, biết:
;
.

HƯỚNG DẪN GIẢI – ĐÁP SỐ
3.1. a)
thuvienhoclieu.com

Trang 30

thuvienhoclieu.com

Vậy
b)

Vậy
c)

Vậy

d)
Vậy
3.2.
a)

(vì

)

Vậy
thuvienhoclieu.com

Trang 31

thuvienhoclieu.com
b)

, nên suy ra:

Vậy
3.3.
a)
 Trường hợp 1.

 Trường hợp 2.
. Vậy
b)
Trường hợp 1.

Trường hợp 2.

Vậy
c)
Trường hợp 1.

thuvienhoclieu.com

Trang 32

thuvienhoclieu.com
Trường hợp 2.

Vậy
d)
Trường hợp 1.
Trường hợp 2.
Vậy
3.4.
a) Vì

nên đẳng thức chỉ xảy ra khi:

Vậy
b)
Vì

nên đẳng thức chỉ xảy ra khi:

. Vậy
c) Vì

nên đẳng thức chỉ xảy ra khi:

Vậy
d) Vì

nên đẳng thức chỉ xảy ra khi:

thuvienhoclieu.com

Trang 33

thuvienhoclieu.com

Vậy
3.5.
a) Điều kiện

, suy ra:

(thỏa mãn điều kiện).
b) Điều kiện

, suy ra:

(thỏa mãn điều kiện).
c) Ta có:
Từ đó suy ra:

thuvienhoclieu.com

Trang 34

thuvienhoclieu.com
Suy ra:

.

3.6.
a)

suy ra bảng giá trị sau:
0

1

2

3

3

2

1

0

Từ đó suy ra:
x

4

-3; -5

-2; -6

-1; -7

y

5; -1

0; 4

3; 1

2

Vậy cặp số nguyên

thỏa mãn là:

b)
Mặt khác

là số lẻ nên chúng ta có bảng sau:

suy ra bảng giá trị sau:
1

3

3

1

x

0; -1

1; -2

y

4; -2

2; 0

Từ đó suy ra:

Vậy cặp số nguyên

thỏa mãn là:

c)
Mặt khác

chia hết cho 3, nên chúng ta có bảng sau:

Suy ra bảng giá trị sau:
0

3

5

2

x

0

1; -1

y

0; -10

-3; -7

Từ đó suy ra:

thuvienhoclieu.com

Trang 35

thuvienhoclieu.com
Vậy cặp số nguyên

thỏa mãn là:

d)
Mặt khác

chia hết cho 5, nên chúng ta có bảng sau:

Suy ra bảng giá trị sau:
0

5

7

2 (loại)

Từ đó suy ra:

Vậy cặp số nguyên

x

0

y

2; -5
thỏa mãn là:

3.7.
a) Ta có:

và

Do vậy đẳng thức chỉ xảy ra khi

nên

và

hay

và

hay

Vậy
b) Ta có

và

Suy ra
Do vậy đẳng thức chỉ xảy ra khi
Vậy
c) Ta có

Do vậy đẳng thức chỉ xảy ra khi

nên

và

Vậy
d)
thuvienhoclieu.com

Trang 36

thuvienhoclieu.com

Dấu bằng chỉ xảy ra khi
3.8.
Ta có:
Mặt khác:

suy ra

Dấu bằng chỉ xảy ra khi
3.9.
a) Xét

, suy ra

+ Trường hợp 1. Xét
và

và

cùng dấu.

và
không xảy ra.

+ Trường hợp 2. Xét

và

và
+) Với

suy ra:

+) Với

suy ra

+ Trường hợp 3.

Từ đó ta có cặp số nguyên

sau thỏa mãn:

b) Xét

suy ra

và

cùng dấu.

+ Trường hợp 1.
+) Xét

và

+) Xét

suy ra

+) Xét

suy ra

+) Xét

suy ra

+ Trường hợp 2.

và

và

vô lý (loại)

Xét
Từ đó, ta có cặp số nguyên

sau thỏa mãn:

thuvienhoclieu.com

Trang 37

thuvienhoclieu.com
c)

suy ra

và

cùng dấu.

+ Trường hợp 1.
+) Xét

và

+) Xét

vô lý vì

(loại).

+) Xét
vô lý vì
+ Trường hợp 2.

và

và

.

vô lý (loại).

Vậy không tồn tại cặp số nguyên thỏa mãn.
3.10.
a) Áp dụng

dấu bằng chỉ xảy ra khi

Mặt khác:

suy ra

Đẳng thức chỉ xảy ra khi
Vậy ta có cặp số nguyên

b)
Đẳng thức xảy ra khi

và

với

.

thỏa mãn:

và
và

suy ra

c) Ta có
Ta có

Dấu bằng xảy ra khi

và

. Vì

. Từ đó suy ra các cặp

suy ra
.

d) Ta có
Mặt khác:

thuvienhoclieu.com

Trang 38

thuvienhoclieu.com
Dấu bằng xảy ra khi

và

vì

nên ta có cặp số nguyên

thỏa mãn

là:
3.11.
a) Ta có
Vậy giá trị nhỏ nhất của A là

khi

b) Ta có
Vậy giá trị nhỏ nhất của B là

khi

c) Ta có

. Vậy giá trị nhỏ nhất của C là

d) Ta có

khi

. Vậy giá trị nhỏ nhất của A là

.
khi

.

e) Ta có
Dấu bằng xảy ra khi

và

Vậy giá trị nhỏ nhất của E là

hay

khi

.

3.12. Ta có:

Và

suy ra

.

Vậy giá trị nhỏ nhất của A là 2 khi

.

3.13. Ta có:
Dấu bằng khi
Với

và

suy ra

Vậy với

thì A đạt giá trị nhỏ nhất là 3020.

3.14. Ta có:

thuvienhoclieu.com

Trang 39

thuvienhoclieu.com

3.15.
a)

b)
3.16.
a)

b)

Chuyên đề 4. LŨY THỪA CỦA MỘT SỐ HỮU TỈ
A. Kiến thức cần nhớ
1. Lũy thừa với số mũ tự nhiên

Quy ước :
2. Các phép tính về lũy thừa

3. Lũy thừa với số mũ nguyên âm
với
B. Một số ví dụ
thuvienhoclieu.com

Trang 40

thuvienhoclieu.com

Ví dụ 1: Rút gọn biểu thức :
Giải
 Tìm cách giải. Để thực hiện phép tính chứa nhiều lũy thừa, ta dùng các công thức biến đổi về lũy thừa
của các số nguyên tố. Sau đó có thể dùng tính chất phân phối của phép nhân đối và phép cộng.
 Trình bày lời giải.

a) Ta có :

b) Ta có :

Ví dụ 2: Tìm x
a)

b)

c)
Giải

 Tìm cách giải. Khi tìm x có chứa lũy thừa ở phần cơ số ta đưa hai vế về cùng số mũ và lưu ý:
(với n lẻ) thì
(với n chẵn) thì

hoặc

Để tìm x ở phần số mũ ta đưa hai vế về cùng cơ số và sử dụng :
(với

) thì

 Trình bày lời giải
a)

hoặc

Suy ra
b)
c)
Ví dụ 3:
a) Chứng minh rằng

chia hết cho 66

b) Chứng minh rằng với số nguyên dương n thì

chia hết cho 30
Giải

 Tìm cách giải. Để chứng minh

ta có thể vận dụng tính chất :
thuvienhoclieu.com

Trang 41

thuvienhoclieu.com
thì
mà

thì

thì

 Trình bày lời giải
a) Ta có :
b) Ta có :
Ví dụ 4: Thu gọn các biểu thức sau:
a)
b)
c)
Giải
 Tìm cách giải. Những bài toán tính tổng đại số về lũy thừa có cùng cơ số theo quy luật , chúng ta cần
nhân hai vế với một lượng thích hợp để được biểu thức mới, mà bắt đầu từ hạng tử đối nhau thì cộng
biểu thức ban đầu với biểu thức mới, bằng nhau thì trừ biểu thức mới với biểu thức ban đầu

 Trình bày lời giải
a) Xét

b) Xét

c) Xét

Ví dụ 5: Chứng minh rằng tổng:

Giải
 Tìm cách giải. Bản chất của bài toán là thu gọn tổng S. Tương tự như ví dụ trên, dễ dàng phát hiện ra
nhân hai vế của tổng S với

. Sau đó cộng với biểu thức S. Cuối cùng đánh giá

 Trình bày lời giải
Xét
thuvienhoclieu.com

Trang 42

thuvienhoclieu.com
hay
Ví dụ 6: Đặt

. Chứng minh rằng A chia hết cho 120
Giải

Biểu thức A có 100 số hạng. Kể từ số hạng đầu, cứ nhóm 4 số hạng liên tiếp với nhau được 25 nhóm

. Điều phải chứng minh
C. Bài tập vận dụng
4.1. Tính:

a)

b)

4.2. Thực hiện phép tính:
4.3. Cho

.Tính

4.4. Tìm x, biết :
a)

b)

4.5. Tìm số tự nhiên x, biết :
4.6. Tìm x , biết :
a)
b)
4.7. Chứng minh rằng :

4.8. Chứng minh rằng :
4.9. Chứng minh rằng :
4.10. Chứng minh rằng :
thuvienhoclieu.com

Trang 43

thuvienhoclieu.com
4.11. Xét tổng

. Hãy so sánh T với 3

4.12. Cho

và

.Tính

(Đề thi chọn học sinh giỏi môn Toán, lớp 7, tỉnh Bắc Giang, năm học 2012 - 2013)
4.13. Tìm tất cả các số tự nhiên a, b sao cho :
4.14. Chứng tỏ rằng:
a)

chia hết cho 10

b)

chia hết cho 7

c)

chia hết cho 41

4.15. Thu gọn biểu thức sau :
a)
b)
c)
4.16. Đố. Bạn có thể điền các lũy thừa của 2 vào
các ô vuông còn lại trong bảng bên sao cho
tích các lũy thừa trong mỗi hàng, mỗi cột và
mỗi đường chéo bằng nhau được không ?

thuvienhoclieu.com

Trang 44

thuvienhoclieu.com
HƯỚNG DẪN GIẢI – ĐÁP SỐ
4.1

a)

b)

4.2.
4.3. Xét
do đó :
4.4.
a)
b) Ta có

4.5.

4.6.
a) Ta có

b)
4.7. Đặt vế trái của bất đẳng thức là A
Xét :
Suy ra :

hay:
thuvienhoclieu.com

Trang 45

thuvienhoclieu.com
Điều phải chứng minh.
4.8. Xét

4.9. Đặt
Ta có

Ta có :

Từ (1) và (2) suy ra điều phải chứng minh.
4.10. Ta có :

Điều phải chứng minh
4.11. Xét :
mà
Suy ra :

thuvienhoclieu.com

Trang 46

thuvienhoclieu.com
4.12. Ta có :

Do đó
4.13. Xét

là số chẵn

Xét

là số chẵn
là số chẵn

là số lẻ

Theo nhận xét trên thì

do đó

Vậy

.

4.14.
a)
Ta có
Suy ra

tận cùng là 1 nên

tận cùng là 1 , mà

tận cùng là

tận cùng là 7

tận cùng là 7

Ta có:
Ta có

tận cùng là 1 nên

tận cùng là 1

Suy ra

tận cùng là 7

Do vậy

tận cùng là 0. Vậy

chia hết cho 10

b)

chia hết cho 7

c)

chia hết cho 41

4.15.
a) Xét
suy ra
thuvienhoclieu.com

Trang 47

thuvienhoclieu.com
b) Xét
suy ra
c) Xét
suy ra

Xét
Suy ra :
4.16. Bạn có thể điền như sau :

Chuyên đề 5. TỈ LỆ THỨC. TÍNH CHẤT CỦA DÃY TỈ SỐ BẰNG NHAU
A. Kiến thức cần nhớ
1. Định nghĩa. Tỉ lệ thức là đẳng thức của hai tỉ số


Dạng tổng quát :

hoặc

Các số a và d gọi là ngoại tỉ ; các số b và c gọi là trung tỉ.
thuvienhoclieu.com

Trang 48

thuvienhoclieu.com
2. Tính chất của tỉ lệ thức


Tính chất cơ bản :



Tính chất hoán vị: Từ một tỉ lệ thức ta có thể:

 Đổi chỗ hai ngoại tỉ cho nhau;
 Đổi chỗ hai trung tỉ cho nhau;
 Vừa đổi chỗ hai ngoại tỉ, vừa đổi chỗ hai trung tỉ.
3. Từ dãy tỉ số

ta suy ra :

(Giả thiết các tỉ số đều có nghĩa)
4. Khi có dãy tỉ số

ta nói các số a, b, c tỉ lệ với các số 2; 3; 5.

Ta cũng viết
B. Một số ví dụ
Ví dụ 1: Tìm hai số x và y biết

và
Giải

 Tìm cách giải. Để tìm x,y trong dãy tỉ số bằng nhau và biết thêm điều kiện rằng buộc. Ta có thể:


Cách 1. Đặt hệ số tỉ lệ k làm ẩn phụ



Cách 2. Sử dụng tính chất dãy tỉ số bằng nhau



Cách 3. Biểu diễn x theo y từ tỉ lệ thức (hoặc y theo x)

 Trình bày lời giải
+ Cách 1 : (Đặt ẩn phụ)
Đặt

suy ra :

Theo giả thiết :
Do đó :
Kết luận
+ Cách 2: (sử dụng tính chất của dãy tỉ số bằng nhau):
Áp dụng tính chất của dãy tỉ số bằng nhau ta có :
Do đó :

Kết luận :
+ Cách 3: (phương pháp thế)
thuvienhoclieu.com

Trang 49

thuvienhoclieu.com
Từ giả thiết
Mà
Do đó :
Kết luận
Ví dụ 2: Tìm x, y, z biết :

và
Giải

 Tìm cách giải. Từ hai tỉ lệ thức của giả thiết ,ta cần nối lại tạo thành dãy tỉ số bằng nhau. Quan sát hai
tỉ lệ thức ta thấy chúng có chung y vì vậy khi nối cần tạo thành phần chứa y giống nhau. Sau đó vẫn ý
tưởng như ví dụ trên, chúng ta có 3 cách giải.


Cách 1. Đặt hệ số tỉ lệ k làm ẩn phụ. Biểu thị x, y, z theo hệ số tỉ lệ k.



Cách 2. Sử dụng tính chất dãy tỉ số bằng nhau.



Cách 3. Biểu diễn x, y theo z từ dãy tỉ số bằng nhau.

 Trình bày lời giải
+ Cách 1. Từ giả thiết :

Từ (1) và (2) , suy ra :
Ta đặt

suy ra

Theo giả thiết :
Do đó:

.

+ Cách 2. Chúng ta biến đổi giả thiết như cách 1 đến (*)
Theo tính chất dãy tỉ số bằng nhau, ta có :

Do đó:

Kết luận :

.
thuvienhoclieu.com

Trang 50