Loại 1: Chứng minh tính chất: thẳng hàng, đồng quy, song song, vuông góc.
Câu 1. [Trường THPT Chuyên Lê Hồng Phong Nam Định- năm 2015- Tỉnh Nam Định]
Cho hai đường tròn và cắt nhau tại . lần lượt là các đường kính của và . Gọi là trung điểm của ; là điểm thuộc đường phân giác của góc sao cho không vuông góc với và không thuộc hai đường tròn. Đường thẳng đi qua vuông góc với lần lượt cắt các đường tròn , tại các điểm khác . cắt đường tròn tại điểm thứ hai , cắt đường tròn tại điểm thứ hai .
1. Gọi là giao điểm của với . Chứng minh rằng là tiếp tuyến của đường tròn .
2. Chứng minh rằng 3 đường thẳng đồng quy.
Lời giải

1. Không mất tính tổng quát giả sử là điểm thuộc đường phân giác trong của góc .
Ta có tứ giác là hình bình hành nên suy ra
Lại có
Do đó thẳng hàng. Chứng minh tương tự ta có thẳng hàng Mặt khác

Do đó là tiếp tuyến của đường tròn
2. Ta có nên 4 điểm cùng thuộc đường tròn đường kính .
Mà nên suy ra là tiếp tuyến của đường tròn đường kính .
Do đó (1)
Mặt khác

(2)
Từ (1) và (2) suy ra

Vậy 4 điểm cùng thuộc một đường tròn.
Gọi là giao điểm của và
Vì 4 điểm cùng thuộc một đường tròn nên ta có
(3)
Ta có (4)
Gọi là giao điểm của với
Chứng minh tương tự câu 1) ta có là tiếp tuyến của đường tròn
Mặt khác tứ giác là hình thang vuông tại và là trung điểm của nên suy ra . Do đó (5)
Từ (3), (4), (5) suy ra cùng thuộc trục đẳng phương của hai đường tròn nên thẳng hàng. Vậy 3 đường thẳng đồng quy tại
*) Chú ý: Nếu HS không sử dụng góc định hướng thì phải xét các trường hợp vị trí của điểm ( nằm ngoài các đoạn và nằm trong các đoạn )
Câu 2. [Trường THPT Lương Văn Tụy- Ninh Bình- Vòng 2]
Cho tam giác nhọn có trực tâm ., là trung điểm của . Các đường phân giác của góc , cắt nhau tại . Chứng minh:
a, Góc là góc vuông
b, thẳng hàng.
Câu 3. [SỞ Bình Định- năm học 2012-2013]
Trong tam giác , là chân đường vuông góc hạ từ xuống đường phân giác trong của góc lần lượt là chân đường vuông góc hạ từ các đỉnh xuống đường phân giác trong của góc . Gọi là giao điểm của các đường thẳng và , là giao điểm của các đường thẳng và , là giao điểm của các đường thẳng và . Chứng minh rằng .
Câu 4. [Trường THPT Chuyên Hoàng Văn Thụ - năm 2015- Tỉnh Hòa Bình]
Cho và hai đường tròn tiếp xúc ngoài với nhau và tiếp xúc trong với . Gọi là tiếp điểm của và ; là tiếp điểm của với . Tiếp tuyến chung tại của cắt tại A. cắt tại ; cắt tại .
Chứng minh rằng .
cắt ở ; cắt tại . Chứng minh rằng là tâm đường tròn nội tiếp của tam giác .
Chứng minh rằng đồng quy.
Lời giải

a) thuộc trục đẳng phương của và nên suy ra là tứ giác nội tiếp dẫn đến

b) Gọi là giao điểm của với .
Tam giác vuông tại có là đường cao
là tứ giác nội tiếp

Suy ra A là tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác
Dẫn đến
Suy ra là phân giác của
Rõ ràng là phân giác của (do )
Vì thế là tâm đường tròn nội tiếp tam giác
c)Giả sử cắt tại , gọi là bán kính của , .
Rõ ràng là tâm vị tự ngoài của và ,lại có
Suy ra
Dẫn đến thẳng hàng (Menelauyt đảo)
Vậy đồng quy.
Câu 5. [ ĐỀ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI TRẠI HÈ HÙNG VƯƠNG LẦN THỨ XI- CHUYÊN HẠ LONG]
Cho hai đường tròn và với cắt nhau tại hai điểm phân biệt . Một đường thẳng d tiếp xúc với đường tròn và lần lượt tại và . Gọi và lần lượt là chân đường vuông góc hạ từ và xuống .Các đường thẳngvà cắt các đường tròn tại và.Chứng minh rằng thẳng hàng.
Hướng dẫn giải

Gọi là giao điểm của và , khi đó là tâm vị tự ngoài của hai đường tròn và . Đặt , khi đó ta có:
Gọi là giao điểm của với và . Khi đó ta có:

Mà// // nên
Suy ra là trung trực của .
Mà là trung trực của . Vậy tứ giác là hình thoi
Do đó// hay// .
Giả sử biến thành khi đó//
Mà thuộc suy ra thuộc do đó .
Vậy biến thành .
Tương tự ta có biến thành . Suy ra thẳng hàng.
Câu 6. Cho đường tròn nội tiếp tiếp xúc với các cạnh tương ứng tại . Đường thẳng cắt tại . Đường tròn đường kính cắt tại (). Gọi () tương ứng là giao của với . Hai đường thẳng và cắt nhau tại . Đường tròn cắt tại và đường tròn cắt tại . Chứng minh rằng đồng quy.
Hướng dẫn giải
Gọi là trung điểm đoạn . Ta có , do đó điều này suy ra là tiếp tuyến. Do đó .
Mặt khác là tiếp tuyến của , do đó cũng là tiếp tuyến của .
Vì vậy
Suy ra đi qua trung điểm của đoạn ( bổ đề quen thuộc trong hình thang ).
Từ đây suy ra là 3 đường trung tuyến của , suy ra ĐPCM.

Câu 7. [KỲ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI KHU VỰC DUYÊN HẢI VÀ ĐỒNG BẰNG BẮC BỘ NĂM HỌC 2016 - 2017 ]
Cho tam giác có . Đường tròn nội tiếp tiếp xúc với và tạitương ứng. Gọi là trung điểm của và là điểm đối xứng với qua . Đường thẳng vuông góc với tại cắt tại là giao điểm thứ hai của với . Chứng minh rằng .
Câu 8. [ĐỀ XUẤT ĐỀ THI DUYÊN HẢI BẮC BỘ.Trường THPT Chuyên Hoàng Văn Thụ - Tỉnh Hòa Bình. Năm học 2012-2013]
Cho tam giác . Các phân giác ngoài của các góc lần lượt cắt cạnh đối diện tại của tam giác tại . CMR thẳng hàng và thuộc đường thẳng vuông góc với ở đây lần lượt là tâm đường tròn ngoại tiếp và nội tiếp của tam giác
Hướng dẫn giải



Qua kẻ các đường thẳng vuông góc lần lượt cắt .
Có
chung

trục đt của và

là tâm đường tròn bàng tiếp của thẳng hàng.
C
thẳng hàng và
Câu 9. [Đề xuất lớp 11 Sở GD- ĐT Quảng Ninh- Trường THPT Chuyên Hạ Long]
Giả sử đường tròn nội tiếp tam giác tiếp xúc với các cạnh theo thứ tự . Đường thẳng qua và song song với cắt tại . Gọi là trung điểm của . Chứng minh rằng: .
Hướng dẫn giải
Gọi là giao điểm của và . QuaN kẻ đường thẳng // cắt , theo thứ tự từ . Vì hai tứ giácvà nội tiếp nên

Mặt khác . Do đó cân tại . Vậy là trung điểm của thẳng hàng.
Lại có là trực tâm
Gọi là giao điểm của và
là giao điểm của và

Mà nội tiếp nên(Đpcm).
Câu 10. [ĐỀ NGHỊ THI CHỌN HSG VÙNG DUYÊN HẢI BẮC BỘ LỚP 11 - Tr­êng T.H.P.T Chuyªn Th¸i B×nh.N¨m häc 2013-2014 ]
Cho tam giác vuông tại . Hình chữ nhật thay đổi sao cho thuộc , thuộc và thuộc .Chứng minh rằng.
1)
2) luôn đi qua một điểm cố định.
Hướng dẫn giải
1) Lấy theo thứ tự thuộc sao cho (h.1).

(h.2.1)
Ta có:

Do đó các tam giác đồng dạng.
Vậy
2) Đặt (h.2.2).
Theo định lí Pappus: thẳng hàng .
Gọi là hình chiếu của trên ; theo thứ tự là trung điểm của , .
Dễ thấy thẳng hàng; thẳng hàng; .
Vậy
Do đó thẳng hàng.
Từ và suy ra đi qua (đpcm).

(h.2.2)
Câu 11. [ ĐỀ THI ĐỀ XUẤT TRẠI HÈ HÙNG VƯƠNG LẦN THỨ XI-TRƯỜNG THPT CHUYÊN TUYÊN QUANG ]
Cho tam giác với . Các đường trung tuyến và phân giác trong góc cắt tại và tương ứng. Đường thẳng qua vuông góc với cắt lần lượt tại và ; đường thẳng qua vuông góc với cắt đường thẳng tại . Chứng minh vuông góc với .
Hướng dẫn giải

Gọi là giao điểm thứ hai của với đường tròn ngoại tiếp tam giác , dễ thấy suy ra vuông góc với .Đặt và xét phép vị tự . Khi đó thuộc , thuộc và hai tam giác và có các cạnh tương ứng song song.
Gọi là giao điểm của với , ta có

suy ra tứ giác nội tiếp. Từ đó
Như vậy nên K là trung điểm, hay thuộc , suy ra trùng . Do song song với mà vuông góc với nên vuông góc với .
Câu 12. [TRẠI HÈ HÙNG VƯƠNG-ĐỀ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI năm 2015.LẦN THỨ XI ]
Cho tam giác có ba góc nhọn, và nội tiếp đường tròn Các đường cao cắt nhau tại Đường thẳng cắt tại Lấy điểm trên sao cho Đường tròn ngoại tiếp tam giác cắt tại Chứng minh rằng
a) Ba điểm thẳng hàng.
b) Đường thẳng vuông góc với đường thẳng
Câu 13. [ Đề 59- TRƯỜNG THPT CHUYÊN VĨNH PHÚC-ĐỀ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI VÙNG DUYÊN HẢI VÀ ĐỒNG BẰNG BẮC BỘ LẦN THỨ VIII- NĂM 2015.MÔN TOÁN - LỚP 11 ]
Cho tam giác nhọn không cân, nội tiếp đường tròn . là điểm nằm trong tam giác sao cho . Đường tròn đường kính cắt các cạnh lần lượt tại và cắt đường tròn tại điểm khác . Chứng minh rằng đồng quy.
Hướng dẫn giải

Gọi là đường kính của , dễ thấy thẳng hàng và . Giả sử cắt tại cắt tại .
Theo định lý Desargues để chứng minh (hay ) đồng quy ta chỉ cần chứng minh thẳng hàng. Áp dụng định lý Menelaus ta được:
Dễ thấy tứ giác EFBC nội tiếp nên
Cũng từ nội tiếp suy ra
Tứ giác là hình bình hành suy ra .
Suy ra .
Ta có
Thay vào ta được . Từ đó áp dụng định lý menelaus cho tam giác ta suy ra thẳng hàng. Bài toán được chứng minh.
Câu 14. [ SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO LÂM ĐỒNG- Trường THPT Chuyên BảoLộc-KỲ THI HSG KHU VỰC DH VÀ ĐBBB LẦN THỨ 9ĐỀ THI ĐỀ NGHỊ MÔN: TOÁN; LỚP: 11]
Cho tứ giác nội tiếp có các cặp cạnh đối không song song. Các đường thẳng và cắt nhau tại điểm và các đường chéo và cắt nhau tại . Đường tròn ngoại tiếp các tam giác cắt nhau tại điểm thứ hai . Chứng minh rằng hai đường thẳng và vuông góc.
Hướng dẫn giải

 Gọi là giao điểm của và, là tâm đường tròn ngoại tiếp tứ giác .
Ta dùng kí hiệu tương ứng để chỉ đường tròn ngoại tiếp của tam giác , tứ giác .
Ta có lần lượt là trục đẳng phương của các cặp đường tròn và và và nên đồng quy tại hay thẳng hàng.
 Không mất tổng quát ta giả sử F nằm giữa và .
Ta có
(ta có thể dùng góc định hướng cho mọi trường hợp).
Suy ra các điểm cùng thuộc một đường tròn ta gọi là .
 Tương tự, các điểm cùng thuộc một đường tròn ta gọi là .
Ta có lần lượt là trục đẳng phương của các cặp đường tròn và , , và nên đồng quy tại hay thẳng hàng.
 Xét cực và đối cực đối với đường tròn, ta có là đối cực của nên vuông góc với
Mà thẳng hàng; thẳng hàng nên và vuông góc (điều phải chứng minh).
Câu 15. [KỲ THI HỌC SINH GIỎI CÁC TRƯỜNG THPT CHUYÊN KHU VỰC DUYÊN HẢI VÀ ĐỒNG BẰNG BẮC BỘ LẦN THỨ IX, NĂM HỌC 2015 –2016. ĐỀ THI MÔN TOÁN – KHỐI 11 ]
Cho tam giác nội tiếp đường tròn. Tiếp tuyến của tại cắt nhau tại . Gọi là đường thẳng chứa phân giác trong góc của tam giác . Các đường trung trực của các đoạn thẳng cắt lần lượt tại và . Gọi là giao điểm của và , là tâm đường tròn nội tiếp tam giác , là trực tâm của tam giác .
a. Chứng minh ,đối xứng với nhau qua .
b. Chứng minh thẳng hàng.
Hướng dẫn giải

a) Chứng minh là trung trực của
Không mất tính tổng quát ta giả sử bài toán có vị trí tương đối như hình vẽ.
Gọi là trung điểm của , là giao điểm (khác ) của với , là trung điểm của .
Vì hai tam giác cân nên dễ thấy:

Suy ra, tam giác cân tại và tam giác cân tại . Vậy là trung trực của .
+) Chứng minh ,đối xứng với nhau qua
Ta có:
Vậy hai điểm và đối xứng với nhau qua .
b) Chứng minh đối xứng với nhau qua
Gọi là đường kính của .
Ta có nên mà và vuông góc với nhau suy ra là phân giác góc .
Vậy đối xứng với nhau qua .
+) Dựa vào tính chất của phép đối xứng trục d ta thấy thẳng hàng khi và chỉ khi thẳng hàng. Ta dùng Melenauyt với tam giác để chứng minh điều này.

Ta có điều phải chứng minh.
Câu 16. [HỘI CÁC TRƯỜNG THPT CHUYÊN VÙNG DUYÊN HẢI VÀ ĐỒNG BẰNG BẮC BỘ- TRƯỜNG THPT CHUYÊN BIÊN HÒA-2006]
Cho tam giác với là trực tâm tam giác, là tâm đường tròn ngoại tiếp và là bán kính đường tròn ngoại tiếp. Gọi là điểm đối xứng của qua , là điểm đối xứng của qua , là điểm đối xứng của qua . Chứng minh rằng thẳng hàng khi và chỉ khi .
Hướng dẫn giải
Gọi là trọng tâm tam giác . lần lượt là trung điểm . Gọi là tam giác nhận là trung điểm các cạnh . Do đó là trọng tâm tam giác .
Từ cách dựng suy ra lần lượt là đường trung trực của . Do đó là tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác IJK có bán kinh 2R.
Gọi là hình chiếu vuông góc của lên các đường . Do là trọng tâm hai tam giác trên nên:
Xét biến thành
Có là trung điểm nên , . Vậy thẳng hàng. Do đó .
Suy ra và


Vậy thẳng hàng và biến thành
Tương tự có biến thành biến thành .
thẳng hàng khi và chỉ khi thẳng hàng. Do là hình chiếu vuông góc của lên các đường nên theo định lí Simson thẳng hàng nằm trên đường tròn ngoại tiếp
Câu 17. [ HỘI CÁC TRƯỜNG CHUYÊN VÙNG DUYÊN HẢI VÀ ĐỒNG BẰNG BẮC BỘ. TRƯỜNG THPT CHUYÊN NGUYỄN BỈNH KHIÊM ĐỀ THI MÔN TOÁN KHỐI 11NĂM 2015- TỈNH QUẢNG NAM ]
Cho nhọn có . Hai đường phân giác trong và ngoài của lần lượt cắt đường thẳng tại và ; hai đường phân giác trong và ngoài của lần lượt cắt đường thẳng tại . Giả sử hai đường tròn đường kính và gặp nhau tại một điểm nằm bên trong . Chứng minh rằng .
Hướng dẫn giải

Gọi là trung điểm của đoạn thẳng .
Khi đó hai điểm và nằm trên đường tròn tâm bán kính .
Vì nên ,
Suy ra .
Từ đó .
Do đó Như vậy suy ra
Tương tự ta cũng có .
Ngoài ra
Từ ta đi đến .
Suy ra .
Câu 18. [ TRẠI HÈ HÙNG VƯƠNG LẦN THỨ X, NĂM HỌC 2013-2014. TRƯỜNG THPT CHUYÊN HOÀNG VĂN THỤ -HÒA BÌNH ]
Cho tam giác nội tiếp đường tròn tâm . Đường tròn tâm tiếp xúc với hai cạnh lần lượt tại và tiếp xúc trong với đường tròn tâm tại điểm . Một đường thẳng song song với tiếp xúc với đường tròn tâm tại điểm nằm trong tam giác ABC.
a) Gọi lần lượt là giao điểm thứ hai của và với . Chứng minh rằng song song với
b) Chứng minh rằng: .
Hướng dẫn giải
a) Gọi là giao điểm thức hai của đường thẳng PC với đường tròn tâm , và là giao điểm thứ hai của đường tròn tâm với .
Xét phép vị tự tâm biến đường tròn tâm thành đường tròn tâm , ta có phép vị tự biến lần lượt thành .
Theo tính chất của phép vị tự ta có EF.
Ta có là ảnh của qua , dẫn đến mà , suy ra là điểm chính giữa của cung . Chứng minh tương tự ta có là điểm chính giữa của cung , là điểm chính giữa của cung .
b) Ta có




(tính chất phép vị tự).
(góc tạo bởi tiếp tuyến và dây cung chắn hai cung bằng nhau) và .

Lại có theo tính chất của hai tiếp tuyến kẻ từ một điểm.
Suy ra , dẫn đến . Từ đó ta có điều phải chứng minh
Câu 19. [ THI HSG VĨNH PHÚC NĂM 2008-2009]
Cho tứ giác lồi nội tiếp trong đường tròn tâm . Gọi là giao điểm của với . CMR nếu ba trung điểm của thẳng hàng thì hoặc
PHẦN HÌNH HỌC PHẲNG
LOẠI 1: Chứng minh tính chất: thẳng hàng, đồng quy, song song, vuông góc.
Câu 20. [TRƯỜNG THPT CHUYÊN NGUYỄN TẤT THÀNH TỈNH YÊN BÁI TRẠI HÈ HÙNG VƯƠNG LẦN THỨ X]
Cho tứ giác ABCD nội tiếp đường tròn tâm O. Đường vuông góc với AD tại A cắt BC ở E. Đường vuông góc với AB tại A cắt CD ở F. Chứng minh rằng ba điểm E, O, F thẳng hàng.
Hướng dẫn giải

Ta có cùng bù với góc , các đỉnh A, C lại thuộc hai phía của đường thẳng EF. Lấy K là điểm đối xứng của A qua EF.
Ta có (do t/c đối xứng) suy ra suy ra tứ giác ECKF nội tiếp
Suy ra mà (t/c đối xứng).
mặt khác (cùng phụ ), suy ra mà hai góc này ở hai đỉnh liên tiếp cùng nhìn cạnh DK. suy ra tứ giác ADKC nội tiếp suy ra K thuộc (O).
Vậy EF là đường trung trực của dây AK suy ra E, O, F thẳng hàng.
Câu 21. [TRƯỜNG TRUNG HỌC PHỔ THÔNG CHUYÊN LƯƠNG VĂN TỤY NINH BÌNH]
Cho tam giác ABC nhọn. Gọi D, E, F tương ứng là chân ba đường cao từ A, B, C của tam giác. I và J tương ứng là tâm đường tròn nội tiếp tam giác AEF và BFD. O và O' là tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác AIC và BJD. Chứng minh: OO' // IJ.
Hướng dẫn giải

Gọi K là tâm đường tròn nội tiếp tam giác CDE.
Ta có: (vì J, K là tâm đường tròn nội tiếp hai tam giác)
Suy ra
Ta có:

Suy ra tứ giác BJKC nội tiếp đường tròn. (1)
Tương tự AIKC nội tiếp đường tròn. (2)
Từ (1) và (2) suy ra
Ta có:

Suy ra
Từ (3) và (4) ta có OO' // IJ.
Câu 22. [TRƯỜNG THPT CHUYÊN TUYÊN QUANG TRẠI HÈ HÙNG VƯƠNG LẦN THỨ XII]
Cho tam giác ABC nội tiếp đường tròn (O) và ngoại tiếp đường tròn (I). Đường thẳng BI cắt đường tròn (O) tại N khác B, đường thẳng CI cắt đường tròn (O) tại M khác C. Trên cung BC không chứa A của đường tròn (O) lấy điểm G tùy ý (G khác B, C). Gọi J, K lần lượt là tâm các đường tròn nội tiếp các tam giác ABG, ACG. Đường tròn ngoại tiếp tam giác GJK cắt đường tròn (O) tại điểm P khác G. Hai tiếp tuyến của đường tròn (O) tại M, N cắt nhau tại Q. Chứng minh rằng ba điểm P, A, Q thẳng hàng.
Hướng dẫn giải

Ta có G, J, M và G, K, N thẳng hàng. Hai tam giác PJM và PKN có
; .
Suy ra hai tam giác PJM và PKN đồng dạng. Do đó: .
Vì J là tâm đường tròn nội tiếp tam giác ABG và M là điểm chính giữa cung AB của đường tròn ngoại tiếp tam giác ABG nên MJ = MA.
Tương tự NK = NA. Suy ra . Do đó PMAN là tứ giác điều hòa.
Vì PMAN là tứ giác điều hòa nội tiếp đường tròn (O) nên các tiếp tuyến của (O) tại M, N cắt nhau tại điểm Q trên PA hay ba điểm P, A, Q thẳng hàng.
Câu 23. [TRƯỜNG THPT CHUYÊN LÊ HỒNG PHONG NAM ĐỊNH TRẠI HÈ HÙNG VƯƠNG]
Cho tam giác không cân tại nội tiếp đường tròn . Gọi là tâm đường tròn nội tiếp tam giác. Đường tròn tiếp xúc với các cạnh và tiếp xúc trong với tại . Đường tròn tiếp xúc với các cạnh và tiếp xúc trong với tại .
Hướng dẫn giải
1. Gọi lần lượt là tiếp điểm của với các đường tròn và là giao điểm của , . Chứng minh rằng là tiếp tuyến của các đường tròn ngoại tiếp các tam giác .
2. Gọi là giao điểm của và . Chứng minh rằng .

1. Gọi lần lượt là giao điểm thứ 2 của với
Ta có là các tam giác cân tại , mà thẳng hàng nên suy ra . Do đó
Chứng minh tương tự ta có
Mà cùng phía đối với nên suy ra . Suy ra là điểm chính giữa của cung nên thẳng hàng và .
Ta có nên suy ra tứ giác nội tiếp
Chứng minh tương tự ta có tứ giác nội tiếp.
Mặt khác ta có
Vậy là tiếp tuyến của các đường tròn ngoại tiếp các tam giác .
2. Gọi lần lượt là tâm đường tròn ngoại tiếp các tam giác thì tại .
Vì nên tứ giác nội tiếp.
Gọi . Do và là các tam giác cân có các góc ở đỉnh bằng nên chúng đồng dạng. Suy ra . Do đó
do đó thuộc trục đẳng phương của hai đường tròn hay đồng quy tại . Vậy
Câu 24. [TRƯỜNG THPT CHUYÊN LÀO CAI TỈNH LÀO CAI TRẠI HÈ HÙNG VƯƠNG LẦN THỨ XII]
Cho tam giác nội tiếp đường tròn . Trực tâm tam giác là . Gọi là điểm chính giữa cung của đường tròn ngoại tiếp tam giác giao tại , giao tại . Kẻ phân giác trong của góc . Gọi là tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác .
a) Chứng minh
b) Chứng minh rằng bán kính đường tròn ngoại tiếp tam giác bằng
Hướng dẫn giải

a) Ta có nên tứ giác nội tiếp.
Suy ra , ta thhu được tứ giác nội tiếp, tương tự tứ giác nội tiếp.
Dễ có (đường tròn qua 3 điểm , gọi là tâm của . Ta có:

Suy ra .
b) Ta có nên và đối xứng với nhau qua .
Do và nên . Suy ra .
Ta có giao tại là tâm của phép vị tự quay biến thành nên . Do và nên .
Ta thu được , suy ra tứ giác nội tiếp. Mà nên là hình thang cân. Vậy , hay .
Câu 25. [TRƯỜNG THPT CHUYÊN CHU VĂN AN TỈNH LẠNG SƠN TRẠI HÈ HÙNG VƯƠNG LẦN THỨ XII ]
Cho tam giác ABD nội tiếp đường tròn (O). Gọi M là trung điểm của BC và AM cắt (O) tại D. Gọi E, F, G, H là trung điểm của AB, BD, DC, CA. Phân giác trong các góc cắt EG, FH tương ứng tại S, T. Gọi .
a. Chứng minh rằng .
b. . Chứng minh rằng AD đi qua trung điểm của PR.
Hướng dẫn giải

a)
Ta có nên
.
Hơn nữa, ME, MG, MF, MH là các đường trung tuyến trương ứng nên suy ra Vì MS, MT là phân giác nên .
Chú ý EFGH là hình bình hành nên , theo định lí Thales thì suy ra , suy ra (1).
Mặt khác, áp dụng định lí Ceva cho tam giác với các đoạn AM, CY, BX thì ta được nên suy ra (2).
Từ (1), (2) suy ra .
b)

Gọi L là trung điểm của AD. Thế thì các tứ giác LHMF, LEMG, EFGH là hình bình hành nên suy ra EG, FH, LM đồng quy tại trung điểm K mỗi đoạn thẳng.
Mặt khác, dễ thấy suy ra , tức là MT là phân giác góc .
Tương tự thì MS là phân giác góc nên suy ra . Do đó MR là phân giác ngoài của .
Tương tự thì MP là phân giác ngoài góc . Suy ra . Dễ thấy AK đi qua trung điểm của EH nên cũng đi qua trung điểm của PR.
Nhận xét và bình luận và phát triển bài toán:
+ Ý a) là kết quả của các tỉ số đồng dạng kết hợp với đường phân giác. Cùng với việc chú ý tới định lí Thales và hình bình hành EFGH.
+ Ý b) là một hệ quả kéo theo với việc nhận thấy từ đó suy ra MS, MR là phân giác trong và ngoài của .
+ Ta có thể thu được kết quả rất thú vị sau: Gọi . Khi đó MPQR là hình chữ nhật.
Chứng minh: Dễ thấy với XE, XG là trung tuyến tương ứng, do đó
nên X, M nằm trên đường tròn Apollonius dựng trên E, G với tỉ số . Do đó, nên M, X, S cùng nằm trên đường tròn Apollonius đó. Hơn nữa, dễ thấy suy ra , tức là MT là phân giác góc . Tương tự thì MS là phân giác góc nên suy ra (3). Do đó, MR là phân giác ngoài của và MS là phân giác trong, nên đường tròn đường kính MS là đường tròn Apollonius dựng trên E, G. Do đó, tứ giác MSXR nội tiếp. Gọi I là trùng điểm của MX. Xét tứ giác toàn phần XDMCAB, thì E, G, I thẳng hàng (nằm trên đường thẳng Gauss). Do đó, SR là đường kính đường tròn Apollonius đó. Vậy, (3). Tương tự thì (5). Từ (3), (4), (5) suy ra MPQR là hình chữ nhật.

Câu 26. [TRƯỜNG THPT CHUYÊN NGUYỄN BỈNH KHIÊM QUẢNG NAM NĂM 2014 KỲ THI OLYMPIC TOÁN KHU VỰC DUYÊN HẢI & ĐỒNG BẰNG BẮC BỘ NĂM 2014]
Cho tứ giác ABCD nội tiếp có các cặp cạnh đối không song song. Các đường thẳng AB và CD cắt nhau tại điểm E và các đường chéo AC và BD cắt nhau tại F. Đường tròn ngoại tiếp các tam giác AFD và BFC cắt nhau tại điểm thứ hai K. Chứng minh rằng hai đường thẳng EK và FK vuông góc.
Hướng dẫn giải

 Gọi G là giao điểm của AD và BC, O là tâm đường tròn ngoại tiếp tứ giác ABCD.
Ta dùng kí hiệu (ABC), (ABCD) tương ứng để chỉ đường tròn ngoại tiếp của tam giác ABC, tứ giác ABCD.
Ta có AD, BC, FK lần lượt là trục đẳng phương của các cặp đường tròn (ABCD) và (ADF), (ABCD) và (BCF), (ADF) và (BCF) nên AD, BC, FK đồng quy tại G hay F, K, G thẳng hàng.
 Không mất tổng quát ta giả sử F nằm giữa K và G.
Ta có
(ta có thể dùng góc định hướng cho mọi trường hợp).
Suy ra các điểm D, C, K, O cùng thuộc một đường tròn ta gọi là (C1).
 Tương tự, các điểm A, B, K, O cùng thuộc một đường tròn ta gọi là (C2).
Ta có AB, CD, OK lần lượt là trục đẳng phương của các cặp đường tròn (ABCD) và (C2),
(ABCD) và (C1), (C1) và (C2) nên AB, CD, OK đồng quy tại E hay O, K, E thẳng hàng.
 Xét cực và đối cực đối với đường tròn (O), ta có GF là đối cực của E
nên GF vuông góc với OE
Mà G, K, F thẳng hàng; O, K, E thẳng hàng nên EK và FK vuông góc (điều phải chứng minh).
Câu 27. [Trường THPT Chuyên Hưng Yên ĐỀ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI MÔN TOÁN LỚP 11VÙNG DUYÊN HẢI VÀ ĐỒNG BẰNG BẮC BỘ]
Cho đường tròntâm vàlà hai đường kính của đường tròn đó. Tiếp tuyến với đường tròntạicắttại Gọilà giao điểm thứ hai của đường thẳng với đường tròn Gọilà trung điểm của Chứng minh rằng
a) Các điểm cùng nằm trên một đường tròn
b) Ba đường thẳng đồng qui.
Hướng dẫn giải
a). Ta có nên Mà suy ra 4 điểm
nằm trên đường tròn đường kính

b) Gọi là trung điểm của Ta có nên
Mà Tam giác vuông tại có suy ra
(c.c.c), do đó
Từ (1),(2),(3) ta có suy ra 4 điểm nằm trên một đường tròn
Ta có
Hơn nữasuy ralà trục đẳng phương của hai đường tròn và
là trục đẳng phương của hai đường tròn và là trục đẳng phương của hai đường tròn và
Vậy ba đường thẳng đồng qui tại S là tâm đẳng phương của ba đường trònvà
Câu 28. [TRƯỜNG THPT CHUYÊN HOÀNG VĂN THỤ HÒA BÌNH ĐỀ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI BẬC THPT VÙNG DUYÊN HẢI &ĐỒNG BẰNG BẮC BỘ LẦN THỨ VII, NĂM HỌC 2011-2012]
. Cho tam giác nhọn ABC, các đường cao AA1, BB1, CC1 đồng quy tại trực tâm H. Đường vuông góc kẻ từ H tới đường thẳng B1C1 và A1C1 lần lượt cắt các đường CA và CB tại P và Q. Chứng minh rằng đường vuông góc kẻ từ C tới A1B1 đi qua trung điểm của PQ.
Hướng dẫn giải
1. Cho tam giác nhọn ABC, các đường cao AA1, BB1, CC1 đồng quy tại trực tâm H. Đường vuông góc kẻ từ H tới đường thẳng B1C1 và A1C1 lần lượt cắt các đường CA và CB tại P và Q. Chứng minh rằng đường vuông góc kẻ từ C tới A1B1 đi qua trung điểm của PQ.

Xét phép vị tự V tâm C biến H thành C1. Gọi P1, Q1 lần lượt là ảnh của P, Q qua phép vị tự V tâm C. Từ tính chất của phép vị tự có , .
Gọi N, K, L lần lượt là hình chiếu của C, P1, Q1 trên A1B1. Khi đó ta có KLP1Q1 là hình thang vuông tại K và L, vì CNA1B1 nên ta chỉ cần chứng minh N là trung điểm của KL thì CN trở thành đường trung bình của hình thang và do đó nó đi qua trung điểm của P1Q1, và theo tính chất của phép vị tự thì nó cũng đi qua trung điểm của PQ.
Có là tứ giác nội tiếp .
Chứng minh tương tự có . Suy ra dẫn đến AC là đường phân giác ngoài của .
Chứng minh tương tự có BC là đường phân giác ngoài của . Do đó điểm C trở thành tâm đường tròn bàng tiếp góc của
Từ tính chất của đường phân giác suy ra được .
Chứng minh tương tự có .
Dẫn đến nếu gọi là nửa chu vi thì .
Do C là tâm đường tròn bàng tiếp góc của nên tính được
. Vậy N là trung điểm của KL. (đpcm)
Câu 29. [Tr­êng THPT chuyªn BẮC GIANG tØnh BẮC GIANG TRẠI HÈ HÙNG VƯƠNG IX
MÔN: TOÁN 11 n¨m häc 2012 – 2013]
Cho tam giác ABC ngoại tiếp đường tròn (I) tâm I. Gọi D, E, F là tiếp điểm của (I) với BC, CA, AB. AD cắt (I) tại điểm thứ hai là X, BX cắt (I) tại điểm thứ hai là Y, CX cắt (I) tại điểm thứ hai là Z. Chứng minh rằng BZ, CY, AX đồng quy.
Hướng dẫn giải

Kẻ tiếp tuyến tại X của (I) cắt BC tại K.
Trong tứ giác XEDF ta có tiếp tuyến tại F, E và XD đồng quy tại A nên tứ giác XEDF là tứ giác điều hòa. Mà KX, KD là tiếp tuyến của (I) tại X, D nên
Mặt khác AD, BE, CF đồng quy nên
Suy ra:

(1)
Theo định lí Céva thì BZ, CY, AX đồng quy

(do )

(luôn đúng theo (1))
Vậy BZ, CY, AX đồng quy (đpcm).
Câu 30. [Tr­êng THPT TrÇn Nguyªn H·n VÜnh Phóc n¨m 2009 – 2010]
Cho tam gi¸c ABC c©n tại A. Gọi H là trung điểm của BC, D là h×nh
chiếu vu«ng gãc của H trªn cạnh AC, M là trung điểm của HD.
Chứng minh AM vu«ng gãc với BD.
Hướng dẫn giải
Câu 31. [TRƯỜNG THPT CHUYÊN THÁI NGUYÊN TRẠI HÈ HÙNG VƯƠNG LẦN THỨ XII]
Kí hiệu A1, B1, C1 là trung điểm các cạnh BC, CA, AB của tam giác nhọn ABC. A2, B2, C2 là hình chiếu của A, B, C trên B1C1, C1A1, A1B1. Trung điểm các đoạn A2B2, C2A2, A2B2 là A3, B3, C3. Chứng minh các đường thẳng đồng quy.
Hướng dẫn giải

Cách 1: Gọi (O) là đường tròn ngoại tiếp tam giác.
Ta có: .
Dựng hình bình hành có:
, .
Do đó .
Vì đi qua trung điểm EF nên đi qua trung điểm đi qua O. Tương tự đi qua O.
Cách 2: Dùng định lí Ceva dạng sin.
Đặt,
Lâp tỉ số: .
.
Tương tự:
đồng quy.
Câu 32. [CHUYÊN LÊ QUÝ ĐÔN QUẢNG TRỊ ĐỀ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI ĐỀ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI VÙNG DUYÊN HẢI BẮC BỘ LẦN THỨ VII – NĂM 2014]
Cho tứ giác lồi ABCD có các đường chéo AC và BD cắt nhau tại O.
Gọi P, Q là tâm các đường tròn ngoại tiếp tam giác AOB và tam giác COD. Chứng minh rằng AB + CD 4.PQ
Hướng dẫn giải

* Đường phân giác góc cắt đường tròn ngoại tiếp tam giác AOB tại E O.
Tứ giác AEBO nội tiếp =>
Nếu thì EO > EA
Nếu thì EO >EB = EA
Vậy ta luôn có EO > EA
* Đường phân giác góc cắt đường tròn ngoại tiếp tam giác COD tại F O. Tương tự ta có FO > FD
*Gọi I, J là hình chiếu của P, Q lên đường thẳng EF ta có:
AB < AE + EB 2EO
CD < CF + FD 2FO
=> AB + CD < 2EF = 4IJ 4PQ
Câu 33. [TRƯỜNG THPT CHUYÊN HẠ LONG QUẢNG NINH ĐỀ THI OLYMPIC TRẠI HÈ HÙNG VƯƠNG LẦN THỨ X MÔN: TOÁN - KHỐI: 11 Ngày thi: 01 tháng 08 năm 2014]
Cho tam giác ABC nội tiếp đường tròn tâm O. Đường tròn tâm I tiếp xúc với hai cạnh AC, BC lần lượt tại E, F và tiếp xúc trong với đường tròn tâm O tại điểm P. Một đường thẳng song song với AB và tiếp xúc với đường tròn tâm I tại điểm Q nằm trong tam giác ABC.
a) Gọi K, L lần lượt là giao điểm thứ hai của PE và PF với (O). Chứng minh rằng KL song song với EF.
b) Chứng minh rằng .
Hướng dẫn giải
a. Xét phép vị tự tâm P biến đường tròn (I) thành đường tròn (O) nên biến điểm E thành điểm K và biến điểm F thành điểm L nên KL//EF.
b. Gọi D là giao điểm thức hai của đường thẳng PC với đường tròn tâm I, và M là giao điểm thứ hai của đường tròn tâm O với PQ.
Xét phép vị tự biến đường tròn tâm I thành đường tròn tâm O, ta có phép vị tự biến E, D, Q, F lần lượt thành K, C, M, L.
Do OK là ảnh của IE qua , dẫn đến mà nên , suy ra K là điểm chính giữa của cung AC.
Chứng minh tương tự ta có L là điểm chính giữa của cung BC, M là điểm chính giữa của cung AB.

Nếu thì ta có




Trường hợp ta cũng chỉ ra được
(tính chất phép vị tự).
(góc tạo bởi tiếp tuyến và dây cung chắn hai cung bằng nhau) và DE = QF.
Lại có CE = CF theo tính chất của hai tiếp tuyến kẻ từ một điểm.
Suy ra , dẫn đến . Từ đó ta có điều phải chứng minh.
Câu 34. [TRƯỜNG THPT CHUYÊN BẮC GIANG ĐỀ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI BẬC THPT VÙNG DUYÊN HẢI ĐỒNG BẰNG BẮC BỘ NĂM HỌC 2012 – 2013]
Cho tam giác ABC. Đường tròn (I) tâm I nội tiếp tam giác ABC, tiếp xúc với BC, CA, AB lần lượt tại P, Q, R. Một đường tròn đi qua B, C tiếp xúc với (I) tại X. Một đường tròn đi qua C, A tiếp xúc với (I) tại Y. Một đường tròn đi qua A, B tiếp xúc với (I) tại Z. Chứng minh rằng các đường thẳng PX, QY, RZ đồng quy.
Hướng dẫn giải
Câu 35. [Ngân hàng đề Trường THPT Chuyên Hạ Long - Sở GD- ĐT Quảng Ninh]
Giả sử đường tròn (I) nội tiếp tam giác ABC tiếp xúc với các cạnh BC, CA, AB theo thứ tự D, E, F. Đường thẳng qua A và song song với BC cắt EF tại K. Gọi M là trung điểm của BC. Chứng minh rằng: IM DK.
Hướng dẫn giải
Gọi N là giao điểm của ID và EF. Qua N kẻ đường thẳng // BC cắt AB, AC theo thứ tự từ P,Q. Vì hai tứ giác IFPN và IQEN nội tiếp nên
1.0 đ
Mặt khác . Do đó cân tại I. Vậy N là trung điểm của PQ -> A, N, M thẳng hàng. 0.5 đ
Lại có -> N là trực tâm 0.5 đ
Gọi H là giao điểm của AM và IK
J là giao điểm của IA và EF
1.0 đ
Mà nội tiếp nên(Đpcm). 1.0đ
Câu 36. [TRẠI HÈ HÙNG VƯƠNG LẦN THỨ XI-TRƯỜNG THPT CHUYÊN TUYÊN QUANG -LỚP 11]
Cho tam giác ABC với AB > AC. Các đường trung tuyến và phân giác trong góc A cắt BC tại M và N tương ứng. Đường thẳng qua N vuông góc với AN cắt AB, AM lần lượt tại P và Q; đường thẳng qua P vuông góc với AB cắt đường thẳng AN tại R. Chứng minh QR vuông góc với BC.
Hướng dẫn giải

Gọi D là giao điểm thứ hai của AN với đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC, dễ thấy suy ra DM vuông góc với BC.
Đặt và xét phép vị tự . Khi đó B' thuộc AB, C' thuộc AC và hai tam giác BCD và B'C'R có các cạnh tương ứng song song.
Gọi K là giao điểm của PN với B'C', ta có

suy ra tứ giác RKPB' nội tiếp. Từ đó
Như vậy nên K là trung điểm B'C', hay K thuộc AM, suy ra K trùng Q. Do B'C' song song với BC mà QR vuông góc với B'C' nên QR vuông góc với BC.
Câu 37. [TRẠI HÈ HÙNG VƯƠNG LẦN THỨ XI-ĐỀ CHÍNH THỨC -LỚP 11]
Cho tam giác có ba góc nhọn, và nội tiếp đường tròn Các đường cao cắt nhau tại Đường thẳng cắt tại Lấy điểm trên sao cho Đường tròn ngoại tiếp tam giác cắt tại Chứng minh rằng
a) Ba điểm thẳng hàng.
b) Đường thẳng vuông góc với đường thẳng
Hướng dẫn giải
Câu 38. [TRƯỜNG THPT CHUYÊN LÀO CAI ĐỀ THI ĐỀ XUẤT KỲ THI HSG VÙNG DUYÊN HẢI VÀ ĐỒNG BẰNG BẮC BỘ LẦN THỨ VII MÔN TOÁN: KHỐI 11 Năm học: 2013-2014]
Cho tam giác nhọn ABC không cân. Gọi H, O lần lượt là trực tâm, tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC; D, E lần lượt là chân đường cao hạ từ các đỉnh A, B của tam giác ABC. Các đường thẳng OD và BE cắt nhau tại K, các đường thẳng OE và AD cắt nhau tại L. Gọi M là trung điểm cạnh AB. Chứng minh rằng ba điểm K, L, M thẳng hàng khi và chỉ khi bốn điểm C, D, O, H cùng nằm trên một đường tròn.
Hướng dẫn giải

Áp dụng đinh lý Mê-nê-la-uýt cho tam giác HAB và ba điểm K, L, M ta có: K, L, M thẳng hàng khi và chỉ khi (1)
Ta lại có (cùng cạnh đáy OD), (cùng cạnh đáy OE) và .(Bởi vì ,
ở đó R là bán kính đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC và . Tương tự ).
Từ các kết quả trên ta có khi và chỉ khi OH // DE hoặc OH đi qua trung điểm ED.
Bằng cách vẽ tiếp tuyến của đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC tại C, dễ dàng suy ra DE // , suy ra CO vuông góc với DE.
Gọi P, Q lần lượt là trung điểm của DE, HC. Dễ thấy tứ giác CEHD nội tiếp, suy ra QP vuông góc với DE. Suy ra CO//QP.
Nếu HO đi qua trung điểm DE suy ra P là trung điểm HO, suy ra EHDO là hình bình hành, suy ra OD // EH và EO // HD. Điều này trái với giả thiết OD cắt BE cà OE cắt AD.
Vậy (1) xảy ra khi và chỉ khi OH // DE khi và chỉ khi CO vuông góc với OH khi và chỉ khi E, H, O, D cùng nằm trên một đường tròn (vì ta luôn có tứ giác CEHD nội tiếp đường tròn đường kính CH).
Câu 39. [TRƯỜNG THPT CHUYÊN VĨNH PHÚC ĐỀ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI VÙNG DUYÊN HẢI VÀ ĐỒNG BẰNG BẮC BỘ LẦN THỨ VIII- NĂM 2015 MÔN TOÁN - LỚP 11]
Cho tam giác nhọn không cân, nội tiếp đường tròn . là điểm nằm trong tam giác sao cho . Đường tròn đường kính cắt các cạnh lần lượt tại và cắt đường tròn tại điểm khác . Chứng minh rằng đồng quy.
Hướng dẫn giải

Gọi AD là đường kính của (O), dễ thấy G,P,D thẳng hàng và . Giả sử PE,PF cắt DB,DC tại K,L; EF cắt BC tại T.
Theo định lý Desargues để chứng minh BE, CF, GP (hay PD) đồng quy ta chỉ cần chứng minh T,K,L thẳng hàng.
Áp dụng định lý Menelaus ta được: (1)
Dễ thấy tứ giác EFBC nội tiếp nên (2)
Cũng từ EFBC nội tiếp suy ra
Tứ giác PKDL là hình bình hành suy ra .
Suy ra (3).
Ta có (4)
Thay (2), (3), (4) vào (1) ta được . Từ đó áp dụng định lý menelaus cho tam giác DBC ta suy ra T,K,L thẳng hàng. Bài toán được chứng minh.
Câu 40. [TRƯỜNG THPT CHUYÊN BẢO LỘC- LÂM ĐỒNG- KỲ THI HSG KHU VỰC DH VÀ ĐBBB LẦN THỨ 9 ĐỀ THI ĐỀ NGHỊ MÔN: TOÁN; LỚP: 11]
Cho tứ giác ABCD nội tiếp có các cặp cạnh đối không song song. Các đường thẳng AB và CD cắt nhau tại điểm E và các đường chéo AC và BD cắt nhau tại F. Đường tròn ngoại tiếp các tam giác AFD và BFC cắt nhau tại điểm thứ hai K. Chứng minh rằng hai đường thẳng EK và FK vuông góc.
Hướng dẫn giải
 Gọi G là giao điểm của AD và BC, O là tâm đường tròn ngoại tiếp tứ giác ABCD.
Ta dùng kí hiệu (ABC), (ABCD) tương ứng để chỉ đường tròn ngoại tiếp của tam giác ABC, tứ giác ABCD.
Ta có AD, BC, FK lần lượt là trục đẳng phương của các cặp đường tròn (ABCD) và (ADF), (ABCD) và (BCF), (ADF) và (BCF) nên AD, BC, FK đồng quy tại G hay F, K, G thẳng hàng.
 Không mất tổng quát ta giả sử F nằm giữa K và G.
Ta có
(ta có thể dùng góc định hướng cho mọi trường hợp).
Suy ra các điểm D, C, K, O cùng thuộc một đường tròn ta gọi là (C1).
 Tương tự, các điểm A, B, K, O cùng thuộc một đường tròn ta gọi là (C2).
Ta có AB, CD, OK lần lượt là trục đẳng phương của các cặp đường tròn (ABCD) và (C2),
(ABCD) và (C1), (C1) và (C2) nên AB, CD, OK đồng quy tại E hay O, K, E thẳng hàng.
 Xét cực và đối cực đối với đường tròn (O), ta có GF là đối cực của E
nên GF vuông góc với OE
Mà G, K, F thẳng hàng; O, K, E thẳng hàng nên EK và FK vuông góc (điều phải chứng minh).

Câu 41. [KỲ THI HỌC SINH GIỎI CÁC TRƯỜNG THPT CHUYÊN KHU VỰC DUYÊN HẢI VÀ ĐỒNG BẰNG BẮC BỘ LẦN THỨ IX, NĂM HỌC 2015 – 2016 ĐỀ THI MÔN TOÁN – KHỐI 11]
Cho tam giác ABC nội tiếp đường tròn (O). Tiếp tuyến của (O) tại B, C cắt nhau tại S. Gọi d là đường thẳng chứa phân giác trong góc A của tam giác ABC. Các đường trung trực của các đoạn thẳng AB, AC cắt d lần lượt tại M và N. Gọi P là giao điểm của BM và CN, I là tâm đường tròn nội tiếp tam giác MNP, H là trực tâm của tam giác OMN.
a. Chứng minh H, I đối xứng với nhau qua d.
b. Chứng minh A, I, S thẳng hàng.
Hướng dẫn giải

+) Chứng minh OP là trung trực của MN
Không mất tính tổng quát ta giả sử bài toán có vị trí tương đối như hình vẽ.
Gọi D là trung điểm của BC, E là giao điểm (khác A) của d với (O), F là trung điểm của MN.
Vì hai tam giác MAB và NAC cân nên dễ thấy:

Suy ra, tam giác PMN cân tại P và tam giác OMN cân tại O. Vậy OP là trung trực của MN.
+) Chứng minh I, H đối xứng với nhau qua d
Ta có:

Vậy hai điểm I và H đối xứng với nhau qua d.
+) Chứng minh AD, AS đối xứng với nhau qua AE
Gọi EK là đường kính của (O).
Ta có (DSEK) = - 1 nên A (DSEK) = -1 mà AE và AK vuông góc với
nhau suy ra AE là phân giác góc SAD.
Vậy AD, AS đối xứng với nhau qua AE.
+) Dựa vào tính chất của phép đối xứng trục d ta thấy A, I, S thẳng hàng khi và chỉ khi A, H, D thẳng hàng. Ta dùng Melenauyt với tam giác OEF để chứng minh điều này.

Ta có điều phải chứng minh
Câu 42. [TRƯỜNG THPT CHUYÊN BIÊN HÒA HỘI CÁC TRƯỜNG THPT CHUYÊN VÙNG DUYÊN HẢI VÀ ĐỒNG BẰNG BẮC BỘ]
Cho tam giác ABC với H là trực tâm tam giác, O là tâm đường tròn ngoại tiếp và R là bán kính đường tròn ngoại tiếp. Gọi D là điểm đối xứng của A qua BC, E là điểm đối xứng của B qua CA, F là điểm đối xứng của C qua AB. Chứng minh rằng D, E, F thẳng hàng khi và chỉ khi OH = 2R.
Hướng dẫn giải
Gọi G là trọng tâm tam giác ABC. lần lượt là trung điểm BC, CA, AB. Gọi I, J,K là tam giác nhận, A, B, C là trung điểm các cạnh JK, KI, IJ. Do đó G là trọng tâm tam giác IJK.
Từ cách dựng suy ra HA, HB, HC lần lượt là đường trung trực của JK, KI, IJ. Do đó H là tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác IJK có bán kinh 2R.
Gọi là hình chiếu vuông góc của O lên các đường JK, KI, IJ. Do G là trọng tâm hai tam giác trên nên:
Xét V(G; -1/2) biến A, B, C, I, J, K thành
Có là trung điểm BC nên ∟BC, ∟BC. Vậy thẳng hàng. Do đó vuông góc với BC.
Suy ra // AD và

Vậy Thẳng hàng và biến D thành
Tương tự có biến E thành biến F thành
D, E, F thẳng hàng khi và chỉ khi thẳng hàng. Do là hình chiếu vuông góc của O lên các đ