I. PHƯƠNG TRÌNH
1. Không có tham số
Dạng 1: Biến đổi tương đương
Câu 1. Giải phương trình
Lời giải
+Biến đổi phương trình tương đương :

Câu 2. Giải phương trình
Lời giải
Điều kiện:
Nhận thấy là một nghiệm của phương trình.
Xét Khi đó phương trình đã cho tương đương với

Vì nên và Suy ra vì vậy

Do đó phương trình
Vậy phương trình đã cho có 2 nghiệm là hoặc
Câu 3. [Đề thi hsg Bắc Sơn, Lạng Sơn] Giải phương trình sau :
Lời giải


Câu 4. Giải phương trình: ,với .
Hướng dẫn giải.




Câu 5. Giải phương trình .
Hướng dẫn giải.

Tìm được nghiệm duy nhất x=2/3
Câu 6. Tìm nghiệm nguyên của phương trình .
Hướng dẫn giải
Ta có:



Vì 7 là số nguyên tố nên ta có các trường hợp sau:
; ; ;
Giải ba hệ phương trình trên ta được: .

Câu 7. (THPT Quảng Xương 2 – Thanh Hóa, 2009-2010) Giải phương trình:


Hướng dẫn giải
Đặt ta được
Giải ta được suy ra

Dạng 2: Đặt ẩn phụ
Bài 1. Giải phương trình trên tập số thực: (1).
Hướng dẫn giải
Điều kiện: .

không là nghiệm của phương trình.
.
Đặt .
Phương trình trở thành: .
Khi đó ta có: . Vậy .
Bài 2. Giải phương trình sau trên tập số thực: .
Hướng dẫn giải
Phương trình (1) .
Đặt . Ta có phương trình:
(*).
.
Phương trình (*)

.
Vậy .
Bài 3. Giải phương trình sau trên tập số thực: .
Hướng dẫn giải
Đặt . Điều kiện:
Ta có:
Thay vào phương trình ta được:

+) : phương trình vô nghiệm do

Vậy là nghiệm phương trình.

Bài 4. Giải phương trình sau

Lời giải
Nhận xét rằng không là nghiệm của phương trình đã cho.
Suy ra . Chia cả hai vế của phương trình cho rồi đặt , ta có phương trình
Xét hàm số .
Ta có hàm số liên tục trên và .
Suy ra hàm số luôn đồng biến trên khoảng .
Khi đó phương trình đã cho có dạng
(do )
Vậy phương trình đã cho có nghiệm là và .
Bài 5. Giải phương trình sau :
Lời giải
Đặt .



Điều kiện xác định:
Đặt Ta có .
Phương trình đã cho trở thành



(tm đk).
Vậy phương trình đã cho có nghiệm là

Bài 6. Giải phương trình: (1)
• Điều kiện:
• và do đó và .
• (1) 

• Đặt: a = 8 + 4 > 1, t = x2 – 2x -12. Điều kiện: t > 0.
• Do đó: (1)  lna + 1(t + 1) = lnat
Cách 1: (1)  lna + 1(t + 1) = lnat .
• Từ (I) ta được:
• y = 1: là nghiệm của (2).
• y < 1: , y < 1: .
• Nên (2) có nghiệm duy nhất: y = 1. Do đó: (1) t = a  x2 – 2x – 12 = 8 + 4 ( thỏa *)
 x2 – 2x – 20 - 4 = 0  x = 2 + 2 hoặc x = -2.
• Vậy phương trình đã cho có hai nghiệm: x = 2 + 2 hoặc x = -2.
Cách 2: Xét hàm số y = f(t) = lna + 1(t + 1) - lnat (a >1
• Ta được: vì a > 1, nên hàm số giảm trên (0; +) và ta có f(t) = 0 có nghiệm t = a nên f(t) có nghiệm duy nhất t = a.
• Vậy: (1) (1)  lna + 1(t + 1) = lnat  t = a x2 – 2x – 12 = 8 + 4 ( thỏa *)
 x2 – 2x – 20 - 4 = 0  x = 2 + 2 hoặc x = -2.
• Vậy phương trình đã cho có hai nghiệm: x = 2 + 2 hoặc x = -2.

Bài 7. Giải phương trình: (1).
• nên điều kiện là: x  -1.
• x2 + 2x + 2 = (x +1) + (x2 + x + 1), đặt ,
• Với điều kiện x  -1: (1) trở thành:
3(a2 + b2) = 10ab  3a2 – 10ab + 3b2 = 0  (a – 3b)(3a – b) = 0  a = 3b hay a = b/3.
• a = 3b  =3  x + 1 = 9(x2 + x + 1)  9x2 + 8x + 8 = 0 (vô nghiệm)
• a = b/3  3a = b 3 =9(x + 1) = x2 + x + 1  x2 - 8x - 8 = 0
Vậy phương trình có hai nghiệm:.

Bài 8. Giải phương trình :
Điều kiện: x -1
+) Nếu x > 3 thì:
x- 3x + 2 = (x – 1) - 3(x- 1) > 4(x – 1) – 3(x – 1) = x – 1 > Chứng tỏ x > 3 không thỏa mãn
Với -1 x 3
Đặt x = 2cost + 1 ( 0 t )
Khi đó phương trình trở thành:
(2cost + 1) - 3(2cost + 1) + 2 =
8cost – 6cost =
2cos3t = 2cos
cos3t = cos


Bài 9. Giải phương trình
Hướng dẫn giải
Điều kiện xác định:
Đặt Ta có .
Phương trình đã cho trở thành


.
Đối chiếu điều kiện ta được nghiệm là


Bài 10. [Đề chọn hsg tỉnh Trà Vinh, 2014-2015] Giải phương trình :
Bài 11. [Đề thi hsg tỉnh Vĩnh Long, 2015-2016] Giải phương trình
Lời giải
Phương trình tương đương với
Đặt , ta có phương trình

Vì nên

Tập nghiệm

Bài 12. Giải phương trình: ,với
Hướng dẫn giải.
Từ pt ta thấy
(1)
Đặt:
Pt trở thành:


Giải phương trình
Bài 13. Giải phương trình: .
Hướng dẫn giải.
Đặt từ phương trình ta có
Như vậy: ngược hướng
Suy ra: (1)
Giải (1) và thử lại ta thấy phương trình đã cho có nghiệm là
Bài 14. Giải phương trình: ,với
Hướng dẫn giải.
Đk:
Đặt
Ta có:



Vậy phương trình có một nghiệm: ,
Giải phương trình: .
Bài 15. Giải phương trình:
Hướng dẫn giải.
Phương trình đã cho có điều kiện
Với điều kiện trên ta có:


Đặt ta có:
Với ta có :
So với điều kiện , phương trình đã cho có nghiệm
Bài 16. Giải phương trình sau trên tập số thực: .
Hướng dẫn giải.
Điều kiện: Đặt (),
ta thu được hệ
Suy ra


Do vậy
Thay vào, thử lại thấy thỏa mãn.
Đáp số:
Bài 17. Giải phương trình: .
Hướng dẫn giải.

= 0
(x = 0 không là nghiệm)
Đặt ta được
So với điều kiện ta được
So với điều kiện , ta được
Bài 18. Giải phương trình sau: với .
Hướng dẫn giải.
Đặt . Khi đó phương trình trở thành:

(*)
(*)
 Với thì có một nghiệm là
 Với thì có một nghiệm là
 Khi thì
hoặc .
Khi thì
hoặc .
Bài 19. Giải phương trình .
Hướng dẫn giải.
Điều kiện
Đặt ta có

Phương trình đã cho trở thành

Ta có nên
Ta được phương trình
Với thì
Với thì
Bài 20. Giải phương trình .
Hướng dẫn giải.
Ta có phương trình tương đương với



Xét (1), đặt , suy ra và .
Ta được

. Từ đó suy ra .
Thử lại ta được nghiệm của phương trình là và .
Bài 21. Giải phương trình .
Hướng dẫn giải
Phương trình tương đương với .
Đặt , ta có phương trình

Vì nên


Tập nghiệm .

Bài 22. (Chuyên Hưng Yên ) Giải phương trình
Hướng dẫn giải

Đặt , ta được hệ:
Trừ vế với vế hai phương trình trên, ta được:

TH1:

TH2:

phương trình vô nghiệm.
Vậy phương trình đã cho có ba nghiệm:

Bài 23. Giải phương trình : .
Hướng dẫn giải
Đặt .
Từ phương trình đã cho ta có : (*)
Ta có : (*)

Với ta có
Đặt từ phương trình (**) ta có :(***)
Dùng máy tính điện tử hoặc khảo sát hàm số trên ta thấy (***) có một nghiệm duy nhất
Ta biểu diễn dưới dạng:

Ta có : nên có thể chọn sao cho :
Vậy ta có :
Như vậy được chọn là nghiệm của phương trình :
Suy ra:
Ta tìm được nghiệm của (***) là
.Suy ra :
Vậy phương trình đã cho có hai nghiệm
;
Bài 24. Giải phương trình sau: .
Hướng dẫn giải:
Ta có:

Đặt ,. Phương trình trở thành:


Dạng 3. Sử dụng hàm số
Câu 1. Giải các phương trình sau:
a)
b) .
Câu 2. Giải phương trình sau:
a)
b)
Câu 3. Giải phương trình .

Giải phương trình:

• Phương trình đã cho tương đương với:
• Xét x = 0; x =  1: Thay vào (1) ta thấy đều thỏa nên phương trình có các nghiệm: x = 0; x =  1.
• Xét x  0; x   1: Khi đó (1) 
Với t  0, xét hàm số: .
* Với t > 0 thì 3t – 1 > 0 f(t) > 0 và với t < 0 thì 3t – 1 < 0  f(t) > 0, do đó:
Vì (2)  f(x) + f(x2 – 1) = 0 nên (2) vô nghiệm.
• Vậy phương trình đã cho có tất cả là 3 nghiệm: x = 0; x =  1.

Câu 4. [Đề chọn hsg tỉnh Trà Vinh, 2014-2015] Giải phương trình :

Câu 5. Giải phương trình: .
Ta có (1).
Đặt thì do đó đồng biến và liên tục trên . Từ đó:
.
.
Vậy phương trình đã cho có 3 nghiệm.
Câu 6. Giải phương trình (1)
Hướng dẫn giải
Có không là nghiệm của (1)
Xét , chia hai vế cho , được

Đặt , khi đó có PT


Suy ra
Xét hàm số .Vì f(t) là hàm số đồng biến trên R
nên =

Giải tìm được y = 0 (loại);
Tính x theo
Tập nghiệm của phương trình (1) là
Câu 7. Giải phương trình .
Hướng dẫn giải.
Điều kiện:
Phương trình
Ta có: x = 0, x = 5 không là nghiệm phương trình.
Xét hàm số ; ta có: (*)
Áp dụng (*) với
Ta có:
. Vậy là nghiệm phương trình.
Câu 8. Giải phương trình .
Hướng dẫn giải.
Đặt ta được:
(*)
Xét hàm số trên có
 hàm số đồng biến trên ; (*)

Thử lại, ta được: là nghiệm phương trình.

Câu 9. Giải phương trình : trên .
Hướng dẫn giải
Đặt .Với ta có .
Phương trình đã cho trở thành : (*)
Với Ta có:
Vậy trên phương trình đã cho có nghiệm .
Câu 10. Giải phương trình: .
Lời giải
Biến đổi phương trình: (1)
Đa thức có tối đa 3 nghiệm và ta có: ; ; ; . liên tục trên khoảng và , , nên có 3 nghiệm trên khoảng .
Do có đúng 3 nghiệm trong khoảng , nên ta có thể đặt với .
Phương trình (1) trở thành:

(do )
(với )
hay hay .

Câu 11. Giải phương trình sau: .
Hướng dẫn giải
Điều kiện .
Đặt .
Từ phương trình đã cho ,ta có hệ phương trình:
Đặt S = x + y; P = xy đưa đến hệ phương trình:



Kết hợp với điều kiện, nghiệm pt đã cho là:.
Câu 12. Giải phương trình:.
(Chưa giải)
Câu 13. Giải phương trình:
(Chưa giải)

Dạng 3: Sử dụng hàm số
Bài 1. Cho phương trình: với. Chứng minh rằng với mỗi số nguyên thì phương trình có một nghiệm dương duy nhất
Hướng dẫn giải:
Xét hàm số với nguyên, (1)
+) Ta có: . Do nên khi thì Vậy là hàm số đồng biến trên .
Lại có: ( vì nguyên và )
Ta có: và liên tục, đồng biến nên phương trình có nghiệm duy nhất trên .
+) Mặt khác với thì suy ra với mọi
Như vậy ta đã chứng minh được (1) có nghiệm dương duy nhất với mọi nguyên,
Bài 2. Cho phương trình: .
1. Chứng tỏ phương trình (1) có đúng 5 nghiệm.
2. Với là nghiệm của phương trình nghiệm, tính tổng:
Hướng dẫn giải
1. Xét hàm số: .
* f(x) là hàm số xác định và liên tục trên R.
* Ta có:
;

Phương trình có 5 nghiệm phân biệt
sao cho:
* Ta có là nghiệm của (1) nên:


Do đó:
Xét biểu thức:
Đồng nhất thức ta được:

Do vậy:
Mặt khác:

Với ta được:
và
Do đó:


Vậy: .

Dạng 4: Đánh giá
Bài 1. Tìm tất cả các nghiệm nguyên dương của phương trình:


Hướng dẫn giải
Xem (1) là phương trình bậc hai ẩn x ta có: (1) .
* Để (1) có nghiệm x nguyên điều kiện cần là: ( k nguyên, không âm)
* Lại xem là phương trình bậc hai ẩn y . Để có nghiệm nguyên y điều kiện cần là là một số chính phương (m nguyên dương).
Do và 16 = 16.1 = 8.2 = 4.4 nên ta có các trường hợp.
+) TH1: suy ra phương trình (1) có nghiệm .
+) TH2: suy ra phương trình (1) có nghiệm .
+) TH3 : Loại.

Bài 2. [Đề xuất, Chuyên Hùng Vương Phú Thọ, DHĐBBB, 2015] Giải phương trình
Lời giải
Điều kiện:
Nhận thấy là một nghiệm của phương trình.
Xét Khi đó phương trình đã cho tương đương với


Vì nên và Suy ra
vì vậy

Do đó phương trình
Vậy phương trình đã cho có 2 nghiệm là hoặc
Bài 3. [Đề thi hsg tỉnh Nghệ An, bảng A, 2015-2016]

Bài 4. Ký hiệu là số nguyên lớn nhất không vượt quá x. Giải phương trình

Hướng dẫn giải
Ta có
pt


Vậy .

2. Có tham số
Bài 1. Tìm m để phương trình sau có hai nghiệm phân biệt
.(1)
Hướng dẫn giải
Đặt ; điều kiện: .
Ta có: (2)
Pt (2) có hai nghiệm phân biệt .Vậy .
Thay vào phương trình ta được: (3)
Đặt .
Ta có: số giao điểm của (C) và (d) là số nghiệm phương trình (3).
Phương trình (1) có hai nghiệm phân biệt khi phương trình (2) có đúng 1 nghiệm.
Xét hàm số ; .
Cho .
Bảng biến thiên
t
1 2 +∞
y'
• 0 +
y
8 +∞

7

Vậy phương trình (1) có hai nghiệm phân biệt .

3.
Bài 2. Tìm tất cả các giá trị của tham số để phương trình sau có ba nghiệm phân biệt lập thành một cấp số nhân:
Hướng dẫn giải
Phương trình đã cho tương đương:
.
Phương trình đã cho có ba nghiệm phân biệt khi và chỉ khi (1) có hai nghiệm phân biệt khác 1, hay: (*).
Khi đó, PT đã cho có ba nghiệm và , trong đó là nghiệm của (1).
Theo định lý Viet ta có (2).
Xét các trường hợp sau:
*) Nếu (3). Từ (2) và (3) ta có hệ:
.
*) Nếu (4). Từ (2) và (4) ta có hệ: .
Vậy, có ba giá trị của m thỏa mãn yêu cầu bài toán là:.
Bài 3. Tìm các giá trị của tham số m để phương trình có nghiệm
Hướng dẫn giải.
Lời giải:
Điều kiện:
PT (1)
(2)
Đặt
Ta có: ;

Do đó :
Phương trình (2) trở thành (3)
Xét hàm số ,
Ta có :
Bảng biến thiên :

Phương trình (1) có nghiệm phương trình (3) có nghiệm

Bài 4. Tìm để phương trình sau (ẩn ) chỉ có một nghiệm.

Bài 5. Cho hai phương trình sau:
(1)
(2)
(a là tham số, x là ẩn số)
Tìm a để số nghiệm của phương trình (1) không vượt quá số nghiệm của phương trình (2).
Bài 6. Cho phương trình: có một nghiệm không nhỏ hơn 4. Chứng minh rằng phương trình có nghiệm.

Bài 7. Với mỗi số tự nhiên , gọi là số nghiệm của phương trình
.
Tính giới hạn sau
Lời giải
Giả sử là một nghiệm của phương trình , khi đó mọi nghiệm của phương trình trên có dạng
Vì x  0 và y  0 nên .
Suy ra
Suy ra
Kết hợp với , ta có .
Vậy

Bài 8. Tìm các giá trị của tham số m để phương trình sau có nghiệm
.
Hướng dẫn giải.
Điều kiện :
PT (1) (2)
Đặt , Do
Phương trình (2) trở thành : (3)
Xét hàm số ,
Ta có :
Bảng biến thiên :

Phương trình (1) có nghiệm phương trình (3) có nghiệm

Bài 9. Cho phương trình
.
Tìm m để phương trình có nghiệm thực.
Hướng dẫn giải.
Với tập xác định , Phương trình đã cho tương đương với
.
Đặt t = thì t   0; 3)
Xét hàm số ;
f'(t) = ; f'(t) = 0  t = - 4 hoặc t = 2.
Bảng biến thiên của hàm số f(t) trên đoạn  0; 3 

Phương trình đã cho có nghiệm x   - 2; 4)  Đường thẳng y = m cắt đồ thị hàm số f(t), t   0; 3   - 6 ≤ m ≤ - 2
Bài 10. Cho phương trình: , với m là tham số. Tìm tham số m để phương trình có nghiệm thực.
Hướng dẫn giải.
Điều kiện: .Đặt với
Ta có: ;
suy ra:
Do nên phương trình trở thành:
Bài 11. Tìm m để pt sau có nghiệm .
Hướng dẫn giải.
. Ta đưa pt về dạng đẳng cấp

Từ pt suy ra
Chia hai vế pt cho , ta được
Đặt , lập bbt với tìm được
P t trở thành (1)
Phương trình ban đầu có nghiệm khi và chỉ khi pt (1) có nghiệm thuộc t thuộc (0;2).
Tìm được

Bài 12. (Chuyên Hưng Yên). Giả sử với hai số dương thì phương trình có các nghiệm đều lớn hơn 1. Xác định giá trị của để biểu thức đạt giá trị nhỏ nhất và tìm giá trị nhỏ nhất đó (là số nguyên dương cho trước).
Hướng dẫn giải
Gọi là các nghiệm của phương trình đã cho.
Theo định lý Vi-et ta có
Theo bất đẳng thức AM - GM ta được
hay
Theo bất đẳng thức
thì
hay
Suy ra , do (*)
Do đó ta có
Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi Khi đó phương trình có ba nghiệm trùng nhau và đều bằng Vậy giá trị nhỏ nhất của là khi
Bài 13. Giải phương trình .

Bài 14. Tìm để BPT sau vô nghiệm:
Bài 15. Giải bất phương trình

Bài 16. Chứng minh phương trình: có ít nhất 2 nghiệm với
Hướng dẫn giải
Xét phương trình: (1)
Xét hàm số:
sao cho
sao cho

Hàm số liên tục trên các đoạn và
phương trình có ít nhất 1 nghiệm và ít nhất 1 nghiệm
Vậy phương trình có ít nhất 2 nghiệm.
Bài 17. Cho các phương trình: (1)
(2)
trong đó x là ẩn số và m là tham số (0 < m < 1).
1) Chứng tỏ rằng phương trình (1) có đúng 2 nghiệm phân biệt và 1 nằm trong khoảng nghiệm.
2) Chứng minh phương trình (2) có nghiệm.
(Chưa giải)
Bài 18. Cho phương trình.
Tìm tất cả các giá trị của m để phương trình trên có 3 nghiệm phân biệt thoả mãn điều kiện: .
(Chưa giải)

Bài 19. Tìm điều kiện của tham số a, b để phương trình sau có các nghiệm lập thành cấp số cộng:
(Chưa giải)
Bài 20. Tìm m để phương trình sau có nghiệm duy nhất:
(Chưa giải)

Bài 21. Tìm các giá trị của a để phương trình sau chỉ có một nghiệm:

(Chưa giải)
Bài 22. Giả sử phương trình có 3 nghiệm phân biệt.
Hãy xét dấu của biểu thức:
Hướng dẫn giải

+ Tập xác định: R.
là tam thức bậc hai có biệt số
+ Pt: có 3 nghiệm phân biệt nên có 2 nghiệm phân biệt và

+ Suy ra: (là hai nghiệm của phương trình ).
+ Thực hiện phép chia đa thức ta được:

Suy ra
+
+ Vì là 2 nghiệm của phương trình: nên
Do đó: .
suy ra:
+ Vì và nên
Bài 23. Cho phương trình: .
a/ Giải phương trình khi
b/ Tìm để phương trình có nghiệm.
Hướng dẫn giải
Câu a:
+Đặt u = v = .
+Ta có hệ
+Hàm số có nên f(u) tăng trên [1; + ).
+ và tăng nên hệ (I) chỉ có một nghiệm: từ đó ta có nghiệm của phương trình là: .
Câu b:
+ ) tăng trên [1; + ) mà nên phương trình có nghiệm khi hay
Bài 24. Giải và biện luận phương trình theo tham số m:
Hướng dẫn giải
(1).
+Điều kiện:
Đặt Phương trình trở thành: .
Xét tam thức bậc hai có:
+Trường hợp 1: t = 0 là nghiệm của (2).Khi đó ta có m = .
+ m = : (2) nên (1)  lgcosx = 0  cosx = 1x =2k, kZ.
+ m =-: (2) nên (1)

+Trường hợp 2: Phương trình (2) có 2 nghiệm t1, t2 khác 0 (t1  t2):
.
Với điều kiện (1) có nghiệm nên ta chỉ cần xét 2 trường hợp sau: a/; b/
a/ .
Khi đó (2) có hai nghiệm t1, t2 âm nên (1) có các họ nghiệm:.
b/
Khi đó (1)  .
+Kết quả:
+ : (1) có nghiệm: .
+ : (1) có nghiệm:
+ : (1) có nghiệm:
+ (1) có nghiệm .
+ : (1) vô nghiệm.
+ : (1) có nghiệm
+ : (1) có nghiệm: .


BÀI TẬP CHƯA CÓ LỜI GIẢI
1. Giải phương trình: .
2. Giải phương trình:
3. Cho trước các số nguyên dương Chứng minh rằng phương trình
có vô số nghiệm nguyên dương.
4. Giải phương trình: . Trong đó a là tham số.
5. Giải phương trình:
6. Giải các phương trình sau:
a) ; b) .
c)
7. Giải phương trình:
2. BẤT PHƯƠNG TRÌNH
1. Không có tham số
Dạng 1: Biến đổi tương đương
Bài 1. Giải bất phương trình: .
(Chưa giải)
Bài 2. Giải bất phương trình:
Lời giải
Điều kiện:
*) Nếu thì suy ra bất phương trình vô nghiệm.
*) Nếu nên bất phương trình tương đương với


Vậy tập nghiệm là

Bài 3. Giải bất phương trình:
Hướng dẫn giải
Điều kiện:

(do )

+) Với thì (*) luôn đúng.
+) Với , bình phương 2 vế của (*) suy ra vô nghiệm.
Vậy, bất phương trình có nghiệm .

Bài 4. Giải bất phương trình: .
Hướng dẫn giải

+) Điều kiện:
+) Với x=1 BPT hiển nhiên đúng suy ra x=1 là nghiệm
+) Với suy ra BPT chỉ ra vô nghiệm
+) Với suy ra BPT .
Chỉ ra nghiệm
+) Kết luận: BPT có nghiệm

Bài 5. Giải bất phương trình sau:
Hướng dẫn giải
Điều kiện .
Với
suy ra
do đóvà.
Kết luận tập nghiệm .

Dạng 2: Đặt ẩn phụ
Bài 1. Giải bất phương trình:
(Chưa giải)
Bài 2. Giải bất phương trình:
Hướng dẫn giải.
Điều kiện x  .
Biến đổi bất phương trình về dạng:
Đặt: Khi đó, bất phương trình có dạng: (1)
Ta có:
Dấu đẳng thức xảy ra khi
Vậy
Xét trường hợp , ta có:
Vậy tập nghiệm của bất phương trình là: .
Bài 3. Giải phương trình: .

Dạng 3: Sử dụng hàm số
Bài 1. Chứng minh rằng: với x > 0 và y > 0.
• Đặt t =
• Vì x > 0 và y > 0 nên: t =
• Do đó: .
• Bài toán trở thành chứng minh: với mọi t > 1.
• Xét hàm số y = f(t) = với mọi t > 1.
• y' = nên hàm số đồng biến trên khoảng (0; +).
• Do đó: t > 1  f(t) > f(1) = 0  >0.
• Cách giải khác: Đặt t = và đưa đến chứng minh: . Giải tương tự.
Bài 2. Giải bpt (1).
• (1đ) Biến đổi về dạng: ay + by  1: Chia hai vế của (1) cho (1 + x2)cos4x + 3 > 0 ta được:
(1)  (2).
◦ (4 đ) Tìm ra nghiệm của (1):
◦ Vì 0< x < 1 nên: và
◦ Và cos4x + 3  2 nên: .
◦ Dấu bằng xảy ra khi chỉ khi: cos4x + 3 = 2  cos4x = -1  x = (vì 0< x <1).
Vậy phương trình có nghiệm duy nhất: x = .
Cách khác: Đặt x = tgt, t  nên 0< x <1  0 < t < .
(2)  (sin2t)cos4x + 3 + (cos2t)cos4x + 3  1.

Dạng 4: Đánh giá
Bài 1. [Đề chọn HSG Sở Quảng Trị,2010] Giải bất phương trình : .

2. Có tham số
Bài 1. Tìm để bất phương trình sau có nghiệm duy nhất:
.

Hướng dẫn giải.
Điều kiện: và
Bất phương trình đã cho tương đương với:
. (*)
Đặt
+ Với (*)
Ta thấy và là hàm đồng biến nên ta có:

Vì phương trình trên có với nên phương trình trên vô nghiệm  bất phương trình đã cho vô nghiệm.
+ Với Ta có:
.
Xét phương trình có
Nếu  (2) vô nghiệm  bất phương trình đã cho vô nghiệm.
Nếu phương trình trên có 2 nghiệm đều thoả mãn (1) và (2)  bất phương trình đã cho có nhiều hơn một nghiệm.
Nếu  (2) có nghiệm duy nhất  bất phương trình đã cho có nghiệm duy nhất
Vậy giá trị cần tìm của m là:

Bài 2. Tìm m để bất phương trình đúng với mọi x .

Bài 3. [Đề hsg Dương Xá,2008-2009] Cho bất phương trình:

Xác định m để bất phương trình nghiệm đúng với mọi .
Lời giải
Điều kiện
Điều kiện cần để bpt (1) nghiệm đúng với thì (2) nghiệm đúng
Xét f(x)= x2-4x-3
Bảng biến thiên

Từ bảng biến thiên (2) đúng với

PT
Đặt
Bảng biến thiên


Dựa vào bảng biến thiên suy ra
Bất phương trình trở thành
g(t)=-t2+2t+1m (3)
Để bất phương trình đầu nghiệm đúng với thì (3) có nghiệm đúng với .

Từ BBT suy ra .
Kết luân thì bpt (1) nghiệm đúng.



III. HỆ PHƯƠNG TRINH
1. Không có tham số
Dạng 1: Biến đổi tương đương
Bài 25. Giải hệ phương trình:
Hướng dẫn giải
Điều kiện: .
Phương trình (3) .
(vì (1;1) không thỏa phương trình(2))
Thay vào phương trình (2), ta được :
.
Vậy .
Bài 26. Giải hệ phương trình sau trên tập số thực:
Hướng dẫn giải
Đặt .
Điều kiện:

Thay vào (2) ta được:
Phương trình (*) vô nghiệm do: .
Vậy x = 3 và y = 1 là nghiệm của hệ phương trình.

Câu 8. Giải hệ phương trình:
Câu 9. Giải hệ phương trình: .
Câu 10. Giải hệ phương trình:
Lời giải
Điều kiện: .
- Ta có (1).
Xét hàm số , suy ra hàm số g(t) đồng biến trên khoảng . Kết hợp với (1) ta có

- Thế (2) vào phương trình còn lại của hệ đã cho ta được:

Xét hàm số

Suy ra hàm số nghịch biến trên khoảng , từ đó phương trình ( 3) có nghiệm duy nhất, suy ra .
Vậy hệ phương trình có nghiệm duy nhất .

Bài 27. Giải hệ phương trình:
Điều kiện :

Thế vào pt đầu ta được



Bài 28. Giải hpt
Điều kiện x ≥
Từ phương trình thứ nhất dễ dàng suy ra được y > 0.
Ta có
Thay vào phương trình thứ hai ta được

Đặt t = ta được t4 – 3t – 10 = 0  t = 2
Từ đó tìm được

Bài 29. Tìm tất cả các số thực thỏa hệ:.
Hướng dẫn giải
Ta chứng minh nếu các số thỏa mãn hai điều kiện đầu thì

Thay ,ta chứng minh
với
Ta có

Do đó nghịch biến trên hơn nữa nên nhận giá trị dương trên và âm trên Suy ra với mọi
Từ đó,hệ phương trình có nghiệm
Bài 30. Giải hệ phương trình sau:
Hướng dẫn giải





Bài 31. Giải hệ phương trình
Hướng dẫn giải
ĐK:
Từ (2) suy ra:
Do y0 phương trình (1) tương đương với
.Đặt
* Xét:phương trình (1')trở thành:.
Nhân liên hợp của mẫu số đưa về phương trình: được nghiệm
+ suy ra không thoả mãn loại.
+ .Thế vào (2') được
* Xét:phương trình trở thành:.Phương trình này có nghiệm u=0 suy ra x=0 (Không thoả mãn điều kiện bài toán).
Vậy hệ đã cho có một nghiệm

Bài 32. Giải hệ phương trình : .
Hướng dẫn giải
Ta có:

Thế vào (2) ta có :



Vậy nghiệm của hệ PT là: và .
Bài 33. Giải hệ phương trình:
Hướng dẫn giải
Điều kiện : .

Thế vào pt đầu ta được :


Bài 34. Giải hệ phương trình:
(Chưa giải)
Bài 35. Giải hệ phương trình:
(Chưa giải)
Bài 36. Giải hệ phương trình:
(Chưa giải)
Bài 37. Giải hệ phương trình:
(Chưa giải)
Bài 38. Giải các hệ phương trình
a) b)
(Chưa giải)
Bài 39. Giải các hệ phương trình:
a) b) c)
(Chưa giải)

Bài 40. (Trại hè Hùng Vương 2013) Giải hệ phương trình
Hướng dẫn giải
Từ phương trình đầu của hệ ta có


Coi (*) là phương trình bậc 2 ẩn y ta có nên (*) vô nghiệm.
Do đó hệ phương trình tương đương với


Từ đó ta tìm được nghiệm của hệ là
Bài 41. (Thi cụm Quỳnh Lưu, năm 2016-2017) Giải hệ phương trình sau:

Hướng dẫn giải
Điều kiện:
(1) .
Thay vào (2) ta có phương trình
Xét thỏa mãn (3), suy ra
Xét : (3)


Kết hợp (3) và (4) ta được
Kết luận: Hệ phương trình đã cho có 2 nghiệm:

Dạng 2: Đặt ẩn phụ
Bài 1. Giải hệ phương trình:
Hướng dẫn giải
Điều kiện: . Đặt với
HPT   
   (thỏa).
Kết luận: nghiệm hệ phương trình là .

Bài 2. Giải hệ phương trình:

Ta thấy y = 0 không là nghiệm của hệ phương trình đã cho,
ta xét các giá trị , chia hai vế của PT thứ nhất cho ta được

Đặt ta có hệ phương trình

Với ta có (*)
Giải hệ PT (*) ta được hai nghiệm (-2; 5) , (1; 2)
Vậy hệ PT ban đầu có hai nghiệm (-2; 5) , (1; 2)
Bài 3. Hệ phương trình tương đương với
+ Với y = -2 thì hệ phương trình vô nghiệm
+ Với , chia hai vế của hai phương trình cho y + 2 ta có

Đặt
Khi đó ta có hệ phương trình
Do đó
Kết hợp với điều kiện thì hệ phương trình có hai nghiệm (x; y): (1; -1), (-2; 2)

Bài 4. Giải hệ phương trình:
Điều kiện . Viết lại hệ dưới dạng:
Đặt
Hệ phương trình trở thành :
hay
.
Kết hợp điều kiện (*) ta được nghiệm của hệ là:

Bài 5. Giải hệ phương trình sau:

Hướng dẫn giải
Đặt






Xét với

t
-  -2 2 +
f'(t)
+
+ 0 - 0 +
+
f(t)




-11



+

1

.
vô nghiệm .
.
, đk: .
Ta có : .


Do (t/m).
Bài 6. Giải hệ phương trình :
Hướng dẫn giải
+) Đặt
+) Đưa về hệ:

Giải hệ (I) ta được
Hệ (II) vô nghiệm
Vậy hệ có nghiệm .

Bài 7. [Đề xuất, Chyên Lào Cai, DHDDBBB, 2015] Giải hệ phương trình:

Lời giải
Hệ phương trình tương đương với
+ Với y = -2 thì hệ phương trình vô nghiệm
+ Với , chia hai vế của hai phương trình cho y + 2 ta có

Đặt
Khi đó ta có hệ phương trình
Do đó
Kết hợp với điều kiện thì hệ phương trình có hai nghiệm (x; y): (1; -1), (-2; 2)


Bài 8. [Đề thi hsg Ngô Gia Tự, Vp, 2012-2013] Giải hệ phương trình:
Lời giải
Đặt : khi đó ta có hpt : .
Bài 9. [Đề xuất, Chuyên Thái Bình, DHĐBBB,2015] Giải hệ phương trình sau:

Lời giải
ĐKXĐ:
Từ (1) ta được:
Trường hợp đầu suy ra x=y=0 nhưng ko là nghiệm của hệ
Do vậy ta được: x2 = y + 1 (1 điểm).
Thay vào phương trình (2) ta được:

Thay
Dễ thấy nên trường hợp thứ ba bị loại.
Hai trường hợp đầu ta tính được x=-1/2
KL: Hệ có một nghiệm x=-1/2; y=-3/4

Bài 10. Giải hệ phương trình sau:
;
Hướng dẫn giải
Điều kiện:.
Đặt ().Hệ phương trình đã cho trở thành

Nhận xét:; .Do đó là một nghiệm của hệ.
Bây giờ ta xét .Đặt .Với cách đặt này thì
Phương trình (1)trở thành:
(3)
Phương trình (2)trở thành:
(4)
Thay (3)vào (4)ta được: (5)
Áp dụng bất đẳng thức Cauchy - Schwarz cho vế trái của (5)ta được:


Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi .Khi đó hay .
Vậy hệ phương trình đã cho có 2 nghiệm là .
Bài 11. Giải hệ phương trình sau:
Hướng dẫn giải
+ Điều kiện:
+ Trừ vế với vế hai phương trình của hệ ta được:

Chia cả hai vế của PT cho ,ta được:
+ Đặt ta có phương trình:



Với thì
Với suy ra thay vào PT (1):
Kết luận:Nghiệm của hệ phương trình là:
Bài 12. Giải hệ phương trình:.
Hướng dẫn giải
Giải hệ phương trình:
Vì không thỏa hệ pt nên
Đặt thì .
Từ (2):
Vậy .Thay vào (3):
Vậy .
Vì nên .
Vậy .
Vì nên .
Vậy hệ có nghiệm: trong đó

Bài 13. Giải hệ phương trình:
(Chưa giải)


Bài 14. (Chuyên Vĩnh Phúc 2010 – 2011) Giải hệ phương trình:
Hướng dẫn giải
+) Nếu thay vào hệ ta có hệ vô nghiệm
+) Nếu ta đặt thay vào hệ ta được


+) Nếu thay vào (1) không thỏa mãn
+) Nếu thay vào (1) không thỏa mãn, thay vào (1) ta có . Do đó nghiệm của hệ là
Bài 15. (Chuyên Hoàng Văn Thụ - Hòa Bình, năm 2013) Giải hệ phương trình sau:

Hướng dẫn giải
Điều kiện ; ;
Từ phương trình thứ nhất suy ra và cùng dấu mà nên . Ta có
từ phương trình thứ nhất suy ra không thỏa mãn pt thứ 2 nên

Thay vào phương trình thứ hai ta được
Đặt ta được .Từ đó tìm được
Bài 16. Giải hệ phương trình

Bài 17. Tìm để hệ phương trình sau có nghiệm duy nhất

Hướng dẫn giải:
(I)
* Đặt . Ta có (II)
Nhận xét : Hệ (I) có nghiệm duy nhất hệ (II) có nghiệm duy nhất
* Điều kiện cần : Giả sử hệ (II) có nghiệm duy nhất
Vì là nghiệm của (II) nên cũng là nghiệm của (II)
Do đó để (II) có nghiệm duy nhất thì
Với ta có :
* Điều kiện đủ :
Với . Ta có
* Vì , Dấu = xảy ra nên ( Thỏa mãn (2 ))
Do đó hệ (II) có nghiệm duy nhất .
* Vậy hệ (I) có nghiệm duy nhất hệ (II) có nghiệm duy nhất .
Bài 18. Giải hệ phương trình sau:
Hướng dẫn giải:
Ta có:
+) Điều kiện :
+ Trừ vế với vế hai phương trình của hệ ta có:

Chia cả hai vế của PT cho , ta có:
+ Đặt ta có phương trình:

Với thì
Với suy ra thay vào PT (1):
Kết luận: Nghiệm của hệ phương trình là:
Bài 19. Giải hệ phương trình sau:
Hướng dẫn giải:
ĐKXĐ:
Từ (1) ta được:
Trường hợp đầu suy ra nhưng ko là nghiệm của hệ
Do vậy ta được:
Thay vào phương trình (2) ta được: (*)
Đặt
Thay vào (*) ta được
Dễ thấy nên trường hợp thứ ba bị loại.
Hai trường hợp đầu ta tính được
KL: Hệ có một nghiệm .
Bài 20. Giải hệ:
Hướng dẫn giải:
Điều kiện:

Kết hợp với (1) ta được:
Cộng (3) và (4) ta được y = -x, thế vào (2) ta được:
Đặt , phương trình (5) trở thành



Với ta được
Vậy hệ phương trình có nghiệm (x,y) = ; (x,y) = (1;-1)

Dạng 3: Sử dụng hàm số
Bài 1. Giải hệ phương trình sau trên tập số thực: .
Hướng dẫn giải
Đặt .

với .
.
Suy ra f(t) đồng biến trên . Do đó:
Thế vào phương trình (3) ta được:
.
Đặt .
Phương trình trở thành:
Vậy hệ phương trình có 2 nghiệm: .
Bài 2. Giải hệ phương trình

Hướng dẫn giải
Điều kiện: .
Xét các hàm số trên .
Khi đó ta có .
Mà là các hàm số liên tục trên suy ra đồng biến trên và nghịch biến trên .
Không mất tính tổng quát ta giả sử . Khi đó ta có:
Nếu
suy ra , vô lí vì .
Do vậy , tương tự lí luận như trên ta được suy ra .
Thay trở lại hệ ta được (1).
Theo trên, bên trái là hàm đồng biến, bên phải là hàm nghịch biến, nên phương trình có nhiều nhất 1 nghiệm
Mà là nghiệm nên nó là nghiệm duy nhất của phương trình (1).
Vậy nghiệm của hệ phương trình đã cho là

Bài 3. Giải hệ phương trình :
Hướng dẫn giải
Ta có : .
Hàm số f(x) = x3 + x là hàm số đồng biến trên R nên phương trình f(x) = f(y - 1)  x = y – 1.
Do đó .
Ta có .
Vậy hệ có 2 nghiệm : .

Bài 4. Giải hệ phương trình:

Lời giải.
Phương trình (2) .
Xét hàm số ,
ta có: do đó hàm số đồng biến trên .
từ (2) ta suy ra . Vây
Thay vào (1) ta được:

(3)
Xét hàm số: , (a>0)

Vậy hàm là hàm đồng biến trên khoảng (0, ), do đó:

Kết hợp điều kiện ta nhận được suy ra
Vậy hệ phương trình có nghiệm

Bài 5. Giải hbpt (x > 3).
• (2 đ) Đặt y = 2004. Do x > 0, y > 0 nên ta được:
(1)  x2y + xy > y2x + yx  x2y – y2x + xy – yx >0  (xy – yx)(xy + yx + 1) > 0
 xy – yx > 0  xy > yx ( do xy + yx + 1 > 0).
◦ (1.5 đ) xy > yx  ln(xy) > ln(yx)  ylnx > xlny  . Vậy: (3).
Biến đổi tương tự, bất phương trình (2) trở thành: (4).
Từ (3) và (4), hệ đã cho trở thành: (5).
◦ (1.5 đ) Xét hàm số: y = f(x) = , y'=<0, x > 3.
Nên hàm số nghịch biến trên khoảng ( 3; +), do đó: tương đương với
2003 < x < 2004.

Bài 6. Giải hệ phương trình:
Giải:
Ta có

Thế vào

Xét trên

đồng biến trên
Từ và


Bài 7. Giải hệ phương trình .
(Chuyên Bắc Giang)
Lời giải
Điều kiện xác định: .
Phương trình tương đương với phương trình:


Thế vào ta được:





.
Ta có hai trường hợp:
* TH 1: Nếu thì .
Thử lại vào hệ phương trình ban đầu thấy thỏa mãn.
* TH 2: Nếu thì ta có phương trình

(vô nghiệm).
Vậy hệ phương trình đã cho có nghiệm duy nhất là .

Bài 8. Giải hệ phương trình:
Hướng dẫn giải

(1)
ĐK: (2x + 1)(y + 1) 0 Mà x > 0
(1)
Thay vào (2): (3)
Hàm số f(t) = t3 + t đồng biến trên R
(3)
NX: x >1 không là nghiệm của phương trình
Xét 01: Đặt x = cos với Ta có: (k) Do
Vậy hệ có nghiệm

Bài 9. [Đề xuất Chuyên Biên Hòa, DHĐBBB 2014-2015] (4,0 điểm):
Giải hệ phương trình sau trên tập số thực

Lời giải
Điều kiện
Đặt
Phương trình (2) tương đương với


Ta có đồng biến trên nên

Suy ra
Xét phương trình (1) tương đương với


Xét ta có hàm số g(x) đồng biến.
Xét ta có hàm số g(y+1) nghịch biến
Ta có nên
nên
Mặt khác g(x) liên tục trên (0 ; + nên
Khi đó
Vậy hệ có nghiệm duy nhất ( 2 ; 3)
Bài 10. [Đề dữ liệu, Chuyên Lê Hồng Phong, DHĐBBB, 2015] Giải hệ phương trình:

Lời giải
Điều kiện: Ta có
Đặt ta có phương trình (*)
Xét hàm số với
Ta có
Nên hàm số nghịch biến trên
Mà suy ra phương trình (*) có nghiệm duy nhất
Với ta có

Xét hàm số với ta có
đồng biến trên
Do đó phương trình có dạng

Với ta có (thỏa mãn điều kiện )
Vậy hệ có nghiệm

Bài 11. Giải hệ phương trình:
Hướng dẫn giải
+ ĐK:
+ Biến đổi được:

+ Thế vào ta được:
Áp dụng BĐT Cauchy ta được:
▪
▪
Suy ra .Dấu xảy ra khi và chỉ khi
Vậy nghiệm cần tìm là

Bài 12. Giải hệ phương trình sau:

Hướng dẫn giải
(1)
Xét hàm số trên ;



+ 0 -







Từ bảng biến thiên, ta có
Do đó
Thế vào phương trình (2) ta được:
(4)
Điều kiện xác định của (4) là: Với đk (*), ta có:

(tm (*)) ( Vì
Với (thỏa mãn điều kiện).
Vậy hệ có nghiệm duy nhất

Bài 13. Giải hệ phương trình :
Hướng dẫn giải
Ta có : .
Hàm số f(x) = x3 + x là hàm số đồng biến trên R nên phương trình f(x) = f(y - 1)  x = y – 1.
Do đó
Ta có
Vậy hệ có 2 nghiệm :

Bài 14. Giải hệ phương trình :
Hướng dẫn giải
+) y = 0 không thỏa mãn
+) y ≠ 0, hệ pt 
Đặt t =, hệ phương trình trở thành
+) Từ hai phương trình trên suy ra
x3 + 3x2 + 6x + 4 = t3 + 3t  (x +1)3 + 3(x +1) = t3 + 3t (3)
Xét hàm f(t) = t3 + 3t đồng biến trên . Phương trình (3) tương đương x+ 1 = t.
Thay vào phương trình (2) và giải phương trình được x = 1, y = .
Nghiệm của hpt là (1; ).

Bài 15. (Olimpic Trại hè Hùng Vương 2013) Giải hệ phương trình :
Hướng dẫn giải
Hệ phương trình :
Ta có :

Tương tự :

Ta có :
Xét hàm số với, ta có : nên hàm số f(x) đồng biến trên , suy ra
Xét hàm số với, ta có : nên hàm số g(y) đồng biến trên , suy ra
Suy ra :
Do đó phương trình
Vì không thoả mãn phương trình thứ 2 của hệ nên hệ đã cho vô nghiệm .
Bài 16. (Chuyên Nguyễn Tất Thành – Yên Bái) Giải hệ phương trình:

Hướng dẫn giải
Điều kiện

Xét hàm số liên tục trên có

Suy ra f(t) là hàm số đồng biến trên
Khi đó
Thay y vào phương trình đầu ta được

Vậy hệ phương trình đã cho có nghiệm là

Bài 17. (Chuyên Hoàng Văn Thụ - Hòa Bình - 2012) Giải hệ phương trình:

Hướng dẫn giải
Trừ vế với vế của 2 phương trình (1), (2) ta có:


Đưa về xét hàm số: có

là hàm số đồng biến trên R, lại có
,



Bài 18. (Chuyên Nguyễn Bỉnh Khiêm – Quảng Nam 2014) Giải hệ phương trình sau :

Hướng dẫn giải
 Điều kiện : (*)
 Với điều kiện (*), phương trình (1) tương đương : (3)
Xét hàm số :

liên tục , suy ra là hàm số luôn đồng biến trên
Khi đó : pt(3)
 Thay vào phương trình (2), ta được :
với




; vì :
Với suy ra
Với suy ra
Thử lại ta thấy cả hai đều thỏa điều kiện (*)
 Vậy hệ phương trình có 2 nghiệm : ,
Bài 19. Giải hệ phương trình
Hướng dẫn giải
Đặt
Ta có:
Từ đó suy ra hệ phương trình có bốn nghiệm

Bài 20. Giải hệ phương trình:
Bài 21. Giải hệ phương trình

Bài 22. Giải hệ phương trình sau trên R:
Hướng dẫn giải:
Cộng hai phương trình vế theo vế thu được phương trình
Xét hàm số với
Ta có nên hàm số đồng biến
nên từ
từ đó thay vào giải ra được hoặc .
Bài 23. Tìm tất cả các số thực thỏa hệ: .
Hướng dẫn giải:
Ta chứng minh nếu các số thỏa mãn hai điều kiện đầu thì

Thay , ta chứng minh: với
Ta có

Do đó nghịch biến trên hơn nữa nên nhận giá trị dương trên và âm trên Suy ra với mọi
Từ đó, hệ phương trình có nghiệm
Bài 24. Giải hệ phương trình sau:
Hướng dẫn giải:
+) kh