Ch­¬ng III: Nguyªn hµm vµ tÝch ph©n
§1: nguyªn hµm
TuÇn d¹y : TiÕt :
I. Môc tiªu :

1. VÒ kiÕn thøc : HS n¾m v÷ng ®Þnh nghÜa nguyªn hµm cña mét hµm sè, ®Þnh lý, c¸c tÝnh chÊt cña nguyªn hµm, b¶ng c¸c nguyªn hµm c¬ b¶n.
HS biÕt c¸ch t×m nguyªn hµm cña mét hµm sè.
2. VÒ kÜ n¨ng:
-
-
3. VÒ t­ duy th¸i ®é:
TÝch cùc x©y dùng bµi, rÌn luyÖn t­ duy logÝc, cÈn thËn, chÝnh x¸c trong lËp luËn vµ tÝnh to¸n

II. ChuÈn bÞ cña gi¸o viªn vµ häc sinh :
- Gi¸o ¸n
B¶ng phô vµ c¸c phiÕu häc tËp, m¸y chiÕu h¾t ( NÕu cã).
Häc sinh xem l¹i bµi cò chuÈn bÞ ®å dïng häc tËp

III. Ph­¬ng ph¸p d¹y häc :
ThuyÕt tr×nh.
Lý thuyÕt t×nh huèng
Gîi më vµ ®an xen ho¹t ®éng häc tËp c¸ nh©n hoÆc nhãm.

IV. TiÕn tr×nh bµi häc :
A. C¸c t×nh huèng häc tËp :
- Ho¹t ®éng 1:
- Ho¹t ®éng 2:
- Ho¹t ®éng 3:

B. TiÕn tr×nh lªn líp :
Ho¹t ®éng cña GV
Ho¹t ®éng cña HS

A- æn ®Þnh líp, kiÓm tra sÜ sè
B - Gi¶ng bµi míi:
GV nh¾c l¹i vÊn ®Ò tæng qu¸t: Cho hµm sè f(x) x¸c ®Þnh trªn kho¶ng (a; b), t×m c¸c hµm sè F(x) sao cho trªn kho¶ng ®ã: F`(x) = f(x).
GV nªu kh¼ng ®Þnh: Hµm sè F(x) nãi trªn ®­îc gäi lµ nguyªn hµm cña hµm sè f(x) vµ yªu cÇu häc sinh h·y nªu ®Þnh nghÜa nguyªn hµm.
GV chÝnh x¸c ho¸.
1) §Þnh nghÜa:
Hµm sè F(x) ®­îc gäi lµ nguyªn hµm cña hµm sè f(x) trªn kho¶ng (a; b) nÕu víi mäi x((a; b) ta cã: F`(x) = f(x).
NÕu thay cho kho¶ng (a; b) lµ ®o¹n [a; b] th× ph¶i cã thªm: F`(a+) = f(a) vµ F`(b-) = f(b).
GV ®Æt c©u hái:
* T×m mét hµm sè lµ nguyªn hµm cña hµm sè
y = 2x.



HS ®äc phÇn nªu vÊn ®Ò SGK(111).




HS ph¸t biÓu ®Þnh nghÜa.

HS theo dâi vµ ghi chÐp.


HS suy nghÜ vµ tr¶ lêi.
* y = x2.

Ho¹t ®éng cña GV
Ho¹t ®éng cña HS

* Hµm sè y = x2 + 11 cã ph¶i lµ nguyªn hµm cña y = 2x kh«ng?
* T×m mét nguyªn hµm cña hµm sè
trªn R*+.
* Hµm sè
cã ph¶i lµ nguyªn hµm cña
trªn R*+ kh«ng?
* Tõ ®ã h·y tæng qu¸t thµnh tÝnh chÊt chung vµ chøng minh.



* §iÒu ng­îc l¹i cã ®óng kh«ng? Nªu c¸ch chøng minh ®iÒu ng­îc l¹i.
GV gîi ý: Râ rµng (G(x) - F(x))` = f(x) - f(x) =0 nªn ta ph¶i chøng minh bæ ®Ò.
Bæ ®Ò: NÕu F`(x) = 0 trªn kho¶ng (a; b) th× F(x) kh«ng ®æi trªn kho¶ng ®ã.
GV tæng hîp vµ chÝnh x¸c ho¸ thµnh ®Þnh lý:
2. §Þnh lý:
NÕu F(x) lµ mét nguyªn hµm cña hµm sè f(x) trªn kho¶ng (a; b) th× :
+ (C = const cã F(x) + C còng lµ mét nguyªn hµm cña f(x).
+ Ng­îc l¹i, mäi nguyªn hµm cña hµm sè f(x) trªn kho¶ng (a; b) ®Òu cã thÓ viÕt d­íi d¹ng F(x) + C víi C = const.
Hay ta nãi: {F(x) + C, C (R} lµ hä c¸c nguyªn hµm cña f(x). KÝ hiÖu lµ:
vµ cßn ®äc lµ tÝch ph©n bÊt ®Þnh cña f(x).
VËy:

DÊu
gäi lµ dÊu tÝch ph©n, f(x)dx gäi lµ biÓu thøc d­íi dÊu tÝch ph©n vµ lµ vi ph©n cña mäi nguyªn hµm F(x) cña f(x) v× :
dF(x) = F`(x)dx = f(x)dx
* Cã.

*
.

* Cã.

* NÕu F(x) lµ mét nguyªn hµm cña hµm sè f(x) trªn (a; b) th× :
F(x) + C còng lµ mét nguyªn hµm cña f(x), (C = const.
ThËt vËy: (F(x) + C)` = F`(x) + 0 = f(x).
* Gi¶ sö G(x) còng lµ mét nguyªn hµm cña f(x) ta ph¶i chøng minh G(x) = F(x) + C hay G(x) - F(x) = C víi C = const.
HS chøng minh bæ ®Ò dùa vµo ®Þnh lý Lagr¨ng. (SGK - 113)




HS theo dâi vµ ghi chÐp.

HS tù rót ra nhËn xÐt: muèn t×m tÊt c¶ c¸c nguyªn hµm cña hµm sè f(x) ta chØ cÇn t×m mét nguyªn hµm th× mäi nguyªn hµm kh¸c ®Òu suy ra ®­îc b»ng c¸ch céng vµo ®ã mét h»ng sè nµo ®ã.



Ho¹t ®éng cña GV
Ho¹t ®éng cña HS

VÝ dô:



3. C¸c tÝnh chÊt cña nguyªn hµm:
GV ®Æt c©u hái ®Ó dÉn ®Õn c¸c tÝnh chÊt.
* Tõ (*) cho biÕt

* §· biÕt (aF(x))` = aF`(x) = af(x). VËy

víi a ( 0.




* §· biÕt (F(x) + G(x))` = F`(x) + G`(x).
VËy

* §· biÕt (F(u(x)))` = F`(u).u`(x).
VËy



GV bæ sung: VËy nÕu

th×
víi u = u(x) .
4. Sù tån t¹i cña nguyªn hµm:
GV nªu ®Þnh lý, cho HS thõa nhËn:
§Þnh lý: Mäi hµm sè f(x) liªn tôc trªn ®o¹n [a; b] ®Òu cã nguyªn hµm trªn ®o¹n ®ã.
GV nªu quy ­íc: Tõ ®©y chØ xÐt c¸c hµm sè liªn tôc.





HS nªu vµ chøng minh c¸c tÝnh chÊt.
*

*
ThËt vËy:


mµ
vµ aC = const nªn
( ®pcm.
*
Chøng minh t­¬ng tù trªn.
*


HiÓn nhiªn v× F`(t) = f(t) nªn
(F(u(x)))` = F`(u).u`(x) = f(u).u`(x)
= f(u(x)).u`(x) ( ®pcm.




HS theo dâi vµ ghi chÐp.








Ho¹t ®éng cña GV
Ho¹t ®éng cña HS

5. B¶ng c¸c nguyªn hµm:
GV h­íng dÉn HS tõ ®¹o hµm suy ra nguyªn hµm cña c¸c hµm sè s¬ cÊp (vµ cña hµm sè hîp) t­¬ng øng.
* (x)` = ? (

* (x() = ? (

* (ln/x/)` = ? ( ?
* (ex)` = ? ( ?
* (ax)` = ? ( ?
* (sinx)` = ? ( ?
* (cosx)` = ? ( ?
* (tgx)` = ? ( ?
* (cotgx)` = ? ( ?
C - LuyÖn tËp - Cñng cè:
6. ¸p dông:
GV nªu vÝ dô vµ h­íng dÉn HS tÝnh nguyªn hµm.
*VÝ dô 1: F(x) =








*VÝ dô 2: F(x) =





HS t×m ra ®¹o hµm cña c¸c hµm sè s¬ cÊp d­íi sù h­íng dÉn cña GV.

*

*

*

*

*

*

*

*

*




HS gi¶i c¸c vÝ dô.





Ho¹t ®éng cña GV
Ho¹t ®éng cña HS

*VÝ dô 3: F(x) =












*VÝ dô 4: F(x) =






*VÝ dô 5: F(x) =




*VÝ dô 6: F(x) =










































D - Ch÷a bµi tËp:
§Ò bµi
§¸p sè

Bµi 1 (118). T×m nguyªn hµm cña c¸c hµm sè:








Bµi 2(118). T×m nguyªn hµm cña c¸c hµm sè:








Bµi 3(118). TÝnh:



























































§2: TÝch ph©n
TuÇn d¹y : TiÕt :

I. Môc tiªu :
1. VÒ kiÕn thøc : HS hiÓu bµi to¸n tÝnh diÖn tÝch h×nh thang cong, n¾m v÷ng ®Þnh nghÜa tÝch ph©n, c¸c tÝnh chÊt cña tÝch ph©n.
HS biÕt c¸ch tÝnh mét sè tÝch ph©n ®¬n gi¶n.
2. VÒ kÜ n¨ng:
-
-
3. VÒ t­ duy th¸i ®é:
TÝch cùc x©y dùng bµi, rÌn luyÖn t­ duy logÝc, cÈn thËn, chÝnh x¸c trong lËp luËn vµ tÝnh to¸n

II. ChuÈn bÞ cña gi¸o viªn vµ häc sinh :
- Gi¸o ¸n
B¶ng phô vµ c¸c phiÕu häc tËp, m¸y chiÕu h¾t ( NÕu cã).
Häc sinh xem l¹i bµi cò chuÈn bÞ ®å dïng häc tËp

III. Ph­¬ng ph¸p d¹y häc :
ThuyÕt tr×nh.
Lý thuyÕt t×nh huèng
Gîi më vµ ®an xen ho¹t ®éng häc tËp c¸ nh©n hoÆc nhãm.

IV. TiÕn tr×nh bµi häc :
A. C¸c t×nh huèng häc tËp :
- Ho¹t ®éng 1:
- Ho¹t ®éng 2:
- Ho¹t ®éng 3:
B. TiÕn tr×nh lªn líp :
Ho¹t ®éng cña GV
Ho¹t ®éng cña HS

A- æn ®Þnh líp, kiÓm tra sÜ sè
B - KiÓm tra bµi cò:
TÝnh c¸c nguyªn hµm sau:








C - Gi¶ng bµi míi:
1. DiÖn tÝch h×nh thang cong:
GV giíi thiÖu kh¸i niÖm tam gi¸c cong, h×nh thang cong vµ bµi to¸n tÝnh diÖn tÝch cña h×nh ph¼ng giíi h¹n bëi 1 ®­êng cong.
GV nªu bµi to¸n.
Bµi to¸n: TÝnh diÖn tÝch cña h×nh thang cong aABb, ®­îc giíi h¹n bëi ®å thÞ hµm sè liªn tôc y = f(x), f(x) ( 0, trôc Ox vµ hai ®­êng th¼ng x = a, x = b.



§¸p sè:






HS theo dâi vµ ghi chÐp.


Ho¹t ®éng cña GV
Ho¹t ®éng cña HS

GV h­íng dÉn HS gi¶i bµi to¸n.
(SGK trang120 -> 122)
GV: bµi to¸n trªn chÝnh lµ néi dung cña ®Þnh lý sau. Nªu ®Þnh lý.
§L: Gi¶ sö y = f(x) lµ mét hµm sè liªn tôc vµ f(x) ( 0 trªn ®o¹n [a; b]. ThÕ th× diÖn tÝch cña h×nh thang cong giíi h¹n bëi ®å thÞ cña hµm sè ®ã, trôc Ox vµ hai ®­êng th¼ng x = a, x = b lµ: S = F(b) - F(a) , trong ®ã F(x) lµ mét nguyªn hµm bÊt kú cña f(x) trªn ®o¹n [a; b].
2. §Þnh nghÜa tÝch ph©n:
GV nªu ®Þnh nghÜa.
§N: Gi¶ sö f(x) lµ mét hµm sè liªn tôc trªn mét kho¶ng K, a vµ b lµ hai phÇn tö bÊt kú cña K, F(x) lµ mét nguyªn hµm cña f(x) trªn K. HiÖu sè F(b) - F(a) ®­îc gäi lµ tÝch ph©n tõ a ®Õn b cña f(x) vµ ®­îc ký hiÖu lµ
.Ta cßn ký hiÖu:
.

VËy: (1)
(c«ng thøc Newton - Leibniz)
Trong ®ã:
lµ ®Êu tÝch ph©n, f(x) dx lµ biÓu thøc d­íi dÊu tÝch ph©n vµ lµ vi ph©n cña mäi nguyªn hµm cña f(x), f(x) lµ hµm sè d­íi dÊu tÝch ph©n, a vµ b lµ c¸c cËn cña tÝch ph©n, a lµ cËn trªn, b lµ cËn d­íi, x lµ biÕn sè tÝch ph©n.
GV nªu vÝ dô.
VÝ dô:











HS theo dâi vµ ghi chÐp.





HS theo dâi vµ ghi chÐp.













HS ¸p dông c«ng thøc (1) ®Ó gi¶i vÝ dô.





Ho¹t ®éng cña GV
Ho¹t ®éng cña HS

GV nªu chó ý.
Chó ý: TÝch ph©n
chØ phô thuéc vµo f, a vµ b mµ kh«ng phô thuéc vµo c¸ch ký hiÖu biÕn sè tÝch ph©n.
GV ®Æt c©u hái: Tõ ®Þnh nghÜa tÝch ph©n h·y nªu ý nghÜa h×nh häc cña tÝch ph©n.




3. C¸c tÝnh chÊt cña tÝch ph©n:
Gi¶ sö c¸c hµm sè f(x), g(x) liªn tôc trªn kho¶ng K vµ a, b, c thuéc K. Khi ®ã:




(9) t biÕn thiªn trªn ®o¹n [a; b]

lµ mét nguyªn hµm cña f(t) vµ G(a) = 0.

HS theo dâi vµ ghi chÐp.


HS suy nghÜ vµ tr¶ lêi:
lµ diÖn tÝch h×nh thang cong giíi h¹n bëi ®å thÞ y = f(x) lµ hµm sè liªn tôc kh«ng ©m trªn ®o¹n [a; b], trôc Ox vµ hai ®­êng th¼ng x = a, x = b.



HS theo dâi vµ ghi chÐp.

HS suy nghÜ vµ chøng minh mét sè c«ng thøc, cßn l¹i coi nh­ bµi tËp.

+ Chøng minh (3): Gi¶ sö F(x) lµ mét nguyªn hµm cña f(x) th× kF(x) lµ mét ng.hµm cña kf(x). Ta cã:


+ Chøng minh (6): Gi¶ sö F(x) lµ mét nguyªn hµm cña f(x), ta cã:
F`(x) = f(x) ( 0, (x ( [a; b] ( F(x) ®ång biÕn trªn [a; b]. Do ®ã:


+ Chøng minh (7): Suy ra tõ (6) víi hµm h(x) =f(x)-g(x)(0,(x ( [a; b].
+ Chøng minh (8): Suy ra tõ (7).


Ho¹t ®éng cña GV
Ho¹t ®éng cña HS

4. ¸p dông:
GV nªu ®Ò bµi: TÝnh c¸c tÝch ph©n.










5) Chøng minh r»ng:



HS ¸p dông c¸c c«ng thøc ®· häc ®Ó gi¶i bµi tËp.




5) Ta cã:

Do ®ã:



(®pcm)












D - Ch÷a bµi tËp:
§Ò bµi
§¸p sè

Bµi 1 (128). TÝnh c¸c tÝch ph©n:








Bµi 2(128). TÝnh c¸c tÝch ph©n:








Bµi 3(128). Chøng minh r»ng :


















§Ò bµi
§¸p sè

Bµi 4(129). TÝnh c¸c tÝch ph©n:





















































§3: C¸c ph­¬ng ph¸p tÝnh TÝch ph©n
TuÇn d¹y : TiÕt :
I. Môc tiªu :
1. VÒ kiÕn thøc : HS n¾m v÷ng c¸c ph­¬ng ph¸p tÝnh tÝch ph©n: ph­¬ng ph¸p ®æi biÕn sè (d¹ng 1 vµ d¹ng 2), ph­¬ng ph¸