Chương 7. Đường trắc địa

Nhóm 03

1

BÀI TẬP CHƯƠNG 7
Bài 1. Cho U  (u, v) | v  1 và giả sử  : U  R3 là mặt tham số chính quy với E  G  v 2 , F  0 .
a. Xác định độ cong Gauss  như là một hàm theo (u, v) .
b. Tính các kí hiệu Christoffel của  .
c. Kiểm chứng rằng đường cong    , trong đó  (s)  (a, es ) hay  (s)  (a  r tanh s,

r
)
cosh s

Có tốc độ đơn vị và chứng minh rằng nó là một đường trắc địa. Ở đây a  R, r  0 là các hằng số và
s được giả thiết nằm trong một khoảng với  ( s)  U . Hãy phát thảo đường cong  trong mặt phẳng
tọa độ (u, v) với a  r  1.
d. Giả sử thêm rằng mặt đã cho có i các hệ số của dạng cơ bản thứ hai
M  0, N  v 2 v 2  1 xác định L và các độ cong chính 1 ,  2 .

Giải
a. Vì F = 0 ta có công thức độ cong Gauss trong trường hợp này,


=

 1  E 'v
 1  G 'u
E'


)'u ( v )'v  =
)'v  (do G  v 2  Gu'  0 và E  v 2  Ev'  2v 3 )
(
(
2 EG  EG
EG  2 EG  EG 

 1  2v 3
1
1
(
)' =  2 (  2 )'v =  2 (2v1 )'v =  2 .2.(1)v  2  1
2 2 v
2v
v
2v
2v
v .v
(v 2 )'

1
2 v  2 .v  2

b. Tính các kí hiệu Christoffel của  . Vì F = 0 nên ta có thể tính như sau,
E 'u
0
2E
 G'u
1
22

0
2E

111 

 E 'v
2v 3
  2  v 1
2G
2v
G
'
222  v  v 1
2E

E 'v
1
  2 (2.v 3 )  v 1
2E 2v
G'
2
2
12
 21
 u 0
2G

2
11


1
121  21


c. Xét đường cong  (s)   ( (s))   (a  r tanh s, r

u' 

r

 u" 

1
) . Khi đó,
cosh s

2r.sinh s.cosh s



2r sinh s

ss
 s cosh 2 s
u  a  r tanh s
cosh 4 s
cosh 3 s


,


1
 1
r sinh s
cosh 3 s  2.sinh 2 s.cosh s
sinh 2 s 
v

r


v 's 
 v "ss  r.
 r 
2

cosh s


cosh 2 s
cosh 4 s
cosh 3 s 
 cosh s


2

 '  u ' 'u  v ' 'v   '  (u ' 'u  v ' 'v )  (u ' 'u  v ' 'v )
 (u ')2   'u



2

 (v ')2   'v

r2
1
2
r
2 cosh s
cosh s
2

2

 u 's  E  v 's  G 

2
1
r2
1
r2
2 sinh s
(

r
)

.
v2 cosh 4 s
cosh 4 s
v2 cosh 2 s

 1   '  1 vậy đường cong     có tốc độ đơn vị

Chương 7. Đường trắc địa

Nhóm 03
det( g ij ).((u ) '  2  (v) ' 1 )

Ta có k g 

'

3

2

, mà

1
1
1  (u )"(s)  11
(  (s))(u ) '( s)(v) '( s)  212
(  ( s))(u) '( s)(v) '( s)  122 (  ( s))(v) '(s )(v) '(s )

2r sinh s
1
r
r sinh s
2
3
2
v cosh s cosh 2 s
cosh s
2r sinh s
1
r r sinh s 2r sinh s 2r sinh s

2


0
3
r cosh 2 s cosh 2 s
cosh s
cosh 3 s
cosh 3 s
cosh s
 (u )" 2112 (  ( s))(u)'( s)(v)'( s) 

2 ( (s))(u)'(s)(u)'(s)  22 (  (s))(u)'(s)(v)'( s)  2 (  ( s))(v) '(s)(v)'(s)
2  (v)"(s)  11
12
22
2 (  ( s))(u)'(s)(u)'( s)  2 (  ( s))(v)'(s)(v)'(s)
 (v)" 11
22

 r (

1  2 sinh 2 s )  1 ( r )2  1  r sinh s 
cosh s cosh3 s v cosh 2 s v  cosh 2 s 

 r (

1  2 sinh 2 s ) 
cosh s cosh3 s

 r (

1
r
1  r sinh s 
(
)2 
2
r
r  cosh 2 s 
cosh s
cosh s
cosh s

1  2 sinh 2 s )  r  r sinh 2 s  r  2 r sinh 2 s  r  r sinh 2 s
cosh s cosh3 s cosh3 s cosh3 s cosh s
cosh3 s cosh3 s cosh3 s

r
r sinh 2 s
r
r (1  sinh 2 s)  r sinh 2 s  r




0
cosh s cosh3 s cosh3 s
cosh3 s
Vậy đường cong     là đường trắc địa
d. Theo câu a ta có  

LN  M 2
 1
EG  F 2

 EG
v 4
v 2


 LN  M   EG  F  LN   EG (vì F  M  0)  L 
N
v 2 v 2  1
v2  1
2

E

2

1

M  v

N   0

2

F  L

Có 
 
 F G  M

 1

  v2  1
 0


 v 2

0
0  2
 1 v 2
v

1
 
  v 4 
v 2  
0

2
2
0
v
v

1


1



 . Độ cong chính là giá trị riêng của ma trận
v 2  1 
0

  1

Tức là nghiệm của phương trình det   v 2  1
 0


 v 2

0
0  2

v 1

2  
v 
2
2
v v  1 
 0

 1
 2
 v 1
 0




1 0  

   0 1    0


v 2  1

0




2
v  1
0

Chương 7. Đường trắc địa

Nhóm 03

  1

Mà det   v 2  1
 0

 1 

1
v 1
2




1 0   
1

 
   0 1      2
v 1

 

v 2  1 

0



v2  1  

3



, 2  v2  1 .

Bài 2. Cho U  2 và  :U 
thí dụ ở bài tập 3.10).

3

là mặt tham số hóa chính quy với E  1, F  0, G  1 u 2 (xem

a. Xác định các ký hiệu Christoffel.
b. Chứng minh rằng t   (t , v) là đường trắc địa với mọi v.
c. Tìm độ cong trắc địa của đường cong t   (u, t ) với u 

.

d. Kiểm chứng rằng  là hệ tọa độ trắc địa, và xác định độ cong Gauss theo phương trình (6).
Giải
a. Xác định các ký hiệu Christoffel.
Vì F = 0 nên các kí hiệu Christoffel được tính theo các công thức sau:

111 

1
E'  0
2E u

2
11


1
E'  0
2G v

112  121 
2
2
12
 21


1
E'  0
2E v

122 

1
 G '  u
2E u

1
u
 G 'u 
2G
1 u 2

222 

1
 G 'v  0
2E

b. Chứng minh rằng t   (t , v) là đường trắc địa với mọi v.
Theo bổ đề 7.4: t

  t , v  là đường trắc địa với mọi v nếu E  t , v   1 và

E 'v  t , v   2 F 't  t , v   0, v
 E 'v  u, v   0
 E  u, v   1

 F  u, v   0  F 'u  u, v   0

Theo giả thiết, ta có 

 E  t , v   1
 Ev  t , v   0
 Ev'  t , v   2 Ft '  t , v   0


F
t
,
v

0
F
t
,
v

0
  
 t  

Với mỗi v ta có 
Vậy t

  t , v  là đường trắc địa với mọi v.

c. Tìm độ cong trắc địa của đường cong t   (u, t ) với u 

.

Thấy   t     u, t  là một đường cong tham số hóa chính quy trên mặt  .
Theo định lý 7.1 độ cong trắc địa  g  t  thỏa mãn điều kiện sau

Chương 7. Đường trắc địa

Nhóm 03

4

u  u  u   0

1
2

1
 g   ' det  gij     u1  '  2   u2  ' 1  với  1
u2  t  u2  1

3

Khi đó  g    '

3

1

det  gij  2  1 

 E  u, v   E  u, t   1

Ta có:  F  u, v   F  u, t   0
 det gij

2
G  u, v   G  u, t   1  u

 

1
2

 EG  F 2  1  u 2 ,

 ' t    t  u, t    ' t    t u, t 

   t    t  u, t   1  u 2

Mà G  u, t    t  u, t   1  u 2 
2

Khi đó 1  t    u1 t 

1jk    t     u j  ' t   uk  ' t  , i  1,2 (Vì u  0 )

j ,k 1
2

1

 1  u1  '' t   122   t  .u2  ' t .u2  ' t   u  '' t    u .t ' t .t ' t   u
3

  g   1  u 2 . 1  u 2 .  u  

u
1 u2

d. Kiểm chứng rằng  là hệ tọa độ trắc địa, và xác định độ cong Gauss theo phương trình (6).
Xét đường cong  : R2  R3 , t   (t )   (0, t ) . Đây là một đường cong tham số hóa có tốc độ đơn
2

2

2

vị vì theo giả thuyết G   v'  1 u 2 nên  '   t'  1   '  1
Theo câu c, thì độ cong trắc địa của  là  g  0, v (vì ở đây ta cố định u = 0) nên  là một đường
trắc địa trên  .
Theo câu b, thì các đường cong u   (u, v) là các đường trắc địa trên  .
'
'
Rõ ràng nó có tốc độ đơn vị vì E   u'  1 và theo giả thuyết thì F   u   v  0 hay
2

 u' (u, v)   ' (t )   u' (u, v)   t' (0, t )  0 , nghĩa là các đường cong u   (u, v) cắt và trực giao với
 . Vì vậy  là hệ tọa độ trắc địa ngang với  .

*Độ cong Gauss:





'

1
1
1  2u 
1  u

 G ''uu 
 1  u 2 ''uu 

 

G
1 u2
1  u 2  2 1  u 2  u
1  u 2  1  u 2

 


2u 
2
 1 u  u 
2 
1 
2
1

u
  1

2

1 u
1  u 2 
1 u2






2
2
1
 1 u  u

 1  u 2 1  u 2 
   1 u2






2

'




u

Chương 7. Đường trắc địa

Nhóm 03

5

Bài 3. Cho  : U  R3 là hệ tọa độ trắc địa mà trong đó độ cong Gauss là không đổi,   0 . Chứng
minh rằng G  1 và  đẳng cự với một mảnh của mặt phẳng.
Giải
Theo định lí Gauss trong hệ tọa độ trắc địa ta có,
( G )"uu

 0  ( G )"uu  0  ( G ) 'u  a  G  au  b  G  (au  b) 2  G 'u  2(au  b)a
G

(với a và b là các hàm của v ).
Giả sử  là hệ tọa độ trắc địa ngang với  : J  R3 , v   (u0 , v)

G 'u (u0 , v)  0
au0  b  1

 2

G (u0 , v)  1
a u0  ba  0

a  0

 G 1
b  1

Theo định lí 7.4 ta lại có E (u, v)  1, F (u, v)  0, (u, v)
Xét mặt phẳng  : U  R3 ,  (u, v)  (u, v,0) có E  G  1, F  0 .
Do đó, E  E , G  G , F  F
Vậy  đẳng cự với  có ảnh chứa trong một mặt phẳng.
Bài 4. Cho  : U  I  J  R3 là hệ tọa độ trắc địa ngang với đường cong  (t )   (0, t ) . Giả sử rằng
độ cong Gauss là không đổi,   1 . Chứng minh rằng G  cos2 u và  là đẳng cự với một mảnh của
mặt cầu đơn vị . Hướng dẫn từ (6) suy ra G  (a cosu  b sin u )2 trong đó a và b là các hàm của v . Xác
định a và b từ Định lí 7.4.
Giải
Theo định lí Gauss trong hệ tọa độ trắc địa ta có
( G )"uu

 1  ( G )"uu   G  G  (a cos u  b sin u ) 2
G
Mặt khác,  là hệ tọa độ trắc địa ngang với  nên
G (0, v)  1
(a cos 0  b sin 0) 2  1
a 2  1
a 2  1



(vì G  0 )  G  cos2 u



 '
2(
a
cos
0

b
sin
0)(

a
sin
0

b
cos
0)

0
ab

0
b

0



Gu (0, v)  0

Theo định lí 7.4 ta có: E  1, F  0
Xét  : U  R3 ,  (u, v)  (cosu cosv, cosu sin v, sin u) có ảnh là một mảnh của mặt cầu đơn vị.
và có E  1, F  0, G  cos2 u . Ta thấy E  E , G  G , F  F
Vậy  đẳng cự một mảnh của mặt cầu đơn vị.