Chương 5. Dạng cơ bản thứ hai

Nhóm 03

1

BÀI TẬP CHƯƠNG 5
Bài 1. Mặt xoắn ốc   u, v    u cos v, u sin v, v  .
a. Với đường xoắn ốc   t    a cos t , a sin t , t  trên  ta có:    t    a sin t , a cos t ,1 ,

   t    a cos t , a sin t ,0  , N 

 u   v  sin v  cos v
u 

,
,

 u   v  1  u 2 1  u 2 1  u 2 

 sin t
 cos t
a 
 m t   
,
,

2
1  a2 1  a2 
 1 a
Khi đó,  g  t  

det    t     t  m  t  

  t 

3



a
1 a

2

3

, n t  

   t   m  t 
  t 

2

0

 cos t

sin t
,
,0 
b. Xác định W     t   tại p   a, t  . Ta có W     t    m  t   
2
1  a2 
 1 a
c. Với đường cong   t    t cos b, t sin b, b  trên  ta có:    t    cos b,sin b,0  ,    t    0,0,0  ,

 sin b  cos b
b 
m t   
,
,

2
1 t2 1 t2 
 1 t
Khi đó,  g  t  

det     t     t  m  t  

 t 

W     t     m  t  

3

1

1  t 
2

1 t

2

 0 , n t  

   t   m  t 
  t 

2

0

 t sin b, t cos b,1

d.   t    t cos b, t sin b, b  là đường trắc địa vì có  g  t   0
Bài 2. Mặt xoắn ốc   u, v    u cos v, u sin v, av  , a  0 . Ta có  u   cos v,sin v,0  ,

   0,0,0  ,  uv
    sin v,cos v,0  ,  vv   u cos v, u sin v,0  ,
 v   u sin v, u cos v, a  ,  uu

 a sin v a cos v

u
  0 ,
N 
,
,
. Khi đó, E  1 , F  0 , G  a 2  u 2 , L  N . uu

2
2
a2  u 2 a2  u 2 
 a u
a
 
M  N . uv
, N  N . vv  0
2
2
a u
Bài 3. Mặt tròn xoay   u , v    f  u  cos v, f  u  sin v, g  u   . Ta có  u   f  cos v, f  sin v, g   ,
   f  cos v, f  sin v, g   ,  uv
    f  sin v, f  cos v,0  ,
 v    f sin v, f cos v,0  ,  uu

  g  cos v
 g  sin v
f
 vv    f cos v,  f sin v,0  , N  
,
,
 g 2  f 2 g 2  f 2 g 2  f 2

Khi đó, E  f   u   g   u  , F  0 , G  f  u  ,
2

2

2


.



Chương 5. Dạng cơ bản thứ hai

Nhóm 03

 
L  N . uu

   f g 
fg
f 2  g 2

2

fg 

  0 , N  N . vv 
, M  N . uv

f 2  g 2



Bài 4.     U  được chứa trong mặt phẳng cố định x 

3

nx  c ,n 

3

c

 nên N không

đổi   u   v  0 . Do đó ta có, L   u .W ( u )   u .( Nu )  ( u .Nu )  0 ,
M   u .W ( v )   u .( N v )  0 , N   v .W ( v )   v .( Nv )  0 .

  U  (a, b)  (c, d ) và

L  M  N  0 thì  U  được chứa trong một mặt phẳng và N. không
đổi. L   u .Nu  0 , M   u .N v   v .Nu  0 , N   v N v  0 .

 u .Nu  0
 v .Nv  0
Từ 
 Nu  0 và 
 Nv  0  N không đổi   U  được chứa trong một mặt
 v .Nu  0
 u .Nv  0
phẳng.
( N . )u  Nu .   u .N  0
Ta có 
(do Nu  0 và N    )  N  không đổi.



(
N
.

)

N
.



.
N

0
v
v
v

Bài 5.

    rN  u, v     u, v   a

và

 rL, rM , rN    E , F , G 

Đặt   u, v     u, v   a

 u   u
    v
   

 N  u
 u v  N
 u   v
 u   v
 v   v
 u   r sin u cos v, r sin u sin v, r cos u    u
Dễ thấy   u, v    r cos u cos v, r cos u sin v, r sin u   
 v   r cos u sin v, r cos u cos v,0    v
Khi đó ta có: N  u , v  

 u   v
   cos u cos v,cos u sin v,sin u 
 u   v

 rN  u , v     r cos u cos v, r cos u sin v, r sin u     u , v      u , v   a 
  rN  u , v      u , v   a 

Từ   u, v   N  u, v    r cos u cos v, r cos u sin v, r sin u   E  r 2 , F  0, G  r 2 cos u 2 ,

L  r, M  0, N  r cos u 2


 rL, rM , rN    E , F , G 

  rL, rM , rN    E , F , G   a    rN
kính r .

không đổi và  U  được chứa trong mặt cầu tâm a, bán

Chương 5. Dạng cơ bản thứ hai

Nhóm 03

3

 u  u  rN u   0
2








r

.
N




.

rL  E
u
u
u
u
u

 u  rNu  0
 u  v  rN v   0


Ta có: rM  F  r u .N v   u . v   u . v  

 v  rN v  0
 v  v  rN v   0
rN  G

2






r v .N v   v   v . v
     rN   0
u
 v u
 a    u, v   rN không đổi    a  rN    a  rN  r N  r
  U  được chứa trong mặt cầu tâm a, bán kính r .





Bài 6. Với   u, v   u  v, u  v, u 2  v 2 , với  u, v  

.

 u  1,1, 2u  ,  v   1,1, 2v  . Khi đó

a. Ta có

G   v

2

2

E   u

2

 4u 2  2 ,

F   u   v  4uv ,

 4v 2  2

1 1
b. Cho p   ,  .  u  p   1,1,1  e1  e2  e3 ,  v  p    1,1,1  e1  e2  e3
2 2
 Tp  e1  e2  e3 , e1  e2  e3
1
1
 e1  e2  e3    e1  e2  e3   Tp và
2
2
1
1
e2  e3   0,1,1   e1  e2  e3    e1  e2  e3   Tp
2
2

Ta có, e1  1,0,0  

1
1
1
1
Khi đó, e1   u   v , e2  e3   u   v
2
2
2
2


    v 
v u
v  u
1
1 1

,
,
c. Tại p   ,  ta có N  u

 u   v  2u 2  2v 2  1 2u 2  2v 2  1 2u 2  2v 2  1 
2 2

  2 , M  N   uv  0 , N  N   vv  2
L  N   uu
1

E F  L
d. Ma trận của ánh xạ Weigarten: 
 
F G M
1

 3 1  2
Có 
 
1
3

  0

3 2
k
8
Chéo hóa
 2
8

3 2


0
8


2  2

 8

M
N 

 2

8 
3 2

8 


 2
2
 k1 
3 2

2
8
0
k 
0 
8
64

3 2


k
 k2 
8


2
2
2
4

Chương 5. Dạng cơ bản thứ hai

Nhóm 03

Với k1 

2
1 1
xét e1   ,   .
2
2 2

3 2

 8
 2

 8

4

 2  1 

2
8  2 
(đúng)  e1 là vectơ chính.
 
3 2   1  2
 
8  2 

Tương tự ta chứng minh được e2  e3 là vectơ chính.





e. Ta có   u, v   u  v, u  v, u 2  v 2 .

 cos t sin t cos t sin t  cos t  2  sin t  2 

,

,
Mặt khác, ta có thể viết   t   
 
     u , v  với
 2
2
2
2
2
2



 

cos t
sin t
u
, v
. Khi đó  là một đường cong trên  .
2
2
 sin t  cos t  cos t  sin t 1 
  sin t  cos t  sin t  cos t 
,
,
,
,0  ,
Tính N  
 ,  t   
2
2
2
2
2



  cos t  sin t  cos t  sin t 
   t   
,
,0 
2
2



2
2
   det   N 
      N
,
g   

2
cos
t
sin
t



n
 
3
2
2
2
4
4


Bài 7. Cho   u , v    u, v, uv  với  u, v  
N

2

. Tính  u  1,0, v  ,  v   0,1, u  ,

 u   v
1

 v, u,1 . Khi đó, tại p  1,0  ta có E   u
2
2
 u   v
u  v 1

F   u   v  uv  0 , G   v

2

  0 , M  N   uv
 
 u 2  1  2 , L  N   uu

2

 v 2  1  1,
1
u 2  v2  1

1 2 2
N  N   vv  0 và độ cong pháp tuyến của  theo hướng w0   , ,   Tp là
3 3 3
  w  w  W  w  w   aN u  p   bN v  p  
 n  p 20  0 p 2 0  0
2
w0
w0
w0
1 
1   0  a  1
 3
3
    
Thật vậy, w0  a u  p   b v  p    2 3   a  0   b 1   
 
 0  1  b  2
 2 
    
3
 3
 1 1 
 1

N u  p    0,
,
,0,0 
 , N v  p   
 2 2 2 2
 2


4

 1 2 2   1  1 1  2  1
  n   , ,      0,
,
 
,0,0   

 3 3 3   3 2 2 2 2  3 2
 9 2



1
,
2

Chương 5. Dạng cơ bản thứ hai

Nhóm 03

5

Bài 8. Cho   u , v  là mặt tham số hóa chính quy.

 u tương ứng k1  k1  k2   b  0, a  0 , EG  F 2
1

M  a 
a
G
1
 k1   



2 
N  0 
EG  F   F
0

E F  L
F G M

 



 GL  FM
1

EG  F 2   FL  EM

 F  L
E 
 M

M  a 
a
 k1  



N  0 
0

 a  GL  FM    k1a 
GM  FN   a 
a
1


k

 
1 
EG  F 2  a  EM  FL    0 
EN  FM  0 
0

 GL  FM
 k1

  EG  F 2
 EM  FL
 EM  FL  0
Tương tự  v tương ứng k 2  k1  k2   a  0, b  0 , EG  F 2

 EN  FM
 b  GM  FN    0 
M  0
 k2
 0
1

 k2   
  EG  F 2






2 
N  b 
EG  F  b  EN  FM    k2b 
b
GM  FN

1

E F  L
F G M

 

Do k1  k2  GL  FM  EN  FM  GL  EN

F M 0
Bài 9. Chứng minh rằng nếu  :U 

3

là tham số hóa chính quy thì   F  cũng là chính quy.

Ta có :   F    (u, v)  F ( (u, v))  A. (u, v)  b
   A. u
 u
  u  v  A. u  A. v  A( u   v )




A
.

v
 v


  u  v  A( u   v )

Vì detA  0  A 1 tồn tại  A1 ( u  v )  ( u   v )   u  v  0   (u, v) chính quy
 a1
Giả sử A   a2
 a3

c1 
 f (u, v) 

c2  ,    g (u, v) 
 h(u, v) 
c3 
 a1   b1   c1 
Trong đó det A  1 , các cột  a2  ,  b2  .  c2  là các vectơ trực giao đôi một.
a  b  c 
 3  3  3
b1
b2
b3

a1b1  a2 b2  a3b3  0

Khi đó ta có : a1c1  a2 c2  a3 c3  0
b c  b c  b c  0
 11 2 2 3 3
 a1 b1
Ta có A. u   a2 b2
 a3 b3

c1   f (u, v)   a1 f u  b1 gu  c1hu 
c2   g (u, v)    a2 f u  b2 gu  c2hu 
c3   h(u, v)   a3 f u  b3 gu  c3hu 

Ta có E   u  A. u  (a1 fu  b1gu  c1hu )2  (a2 fu  b2 gu  c2hu )2  (a3 fu  b3 gu  c3hu )2
2

2

Chương 5. Dạng cơ bản thứ hai

Nhóm 03

6

 (a12  a2 2  a32 ) fu 2  (b12  b2 2  b32 ) gu 2  (c12  c2 2  c32 )hu 2
 2(a1b1  a2b2  a3b3 ) f u gu  2(a1c1  a2c2  a3c3 ) f uhu  2(b1c1  b2c2  b3c3 ) g u hu
 fu 2  gu 2  hu 2  E 

Lập luận tương tự ta có : G  G , F   F 
L 

Ta có : L 


 
det  u  v  uu
 u   v
 
det  A. u A. v A. uu
A.( u   v )
  det  u  v  uu
 
detA.det  u  v  uu

 L
A.( u   v )
A  u   v

Tương tự ta có M   M  , N   N 
Chứng minh rằng w là vectơ chính của  thì Aw là vectơ chính của  với độ cong chính 
1 
 2
 5
 2 2
1 0
5 
1


D

CA
C

Bài 10. q  x, y   2 x 2  4 xy  5 y 2  ma trận A  
,
.
C


0 6
 1 2 
 2 5




5
 5
Khi đó dạng toàn phương trở thành x2  6 y2  0 , đồ thị là elip paraboid. Các trục của nó quay từ trục
1
2
x, y theo góc  với cos  
, sin  
quay cùng chiều kim đồng hồ.
5
5

12 
0 
a
9  a
D
. Có A  
. Khi đó

16  a 
12 a  7 
 0
dạng toàn phương trở thành  9  a  x2  16  a  y2  0 .
Với q  x, y   ax 2  24 xy   a  7  y 2 , a 

Xét các trường hợp:
+  9  a  16  a   0  a   , 16    9,   thì ta có dạng đồ thị là elliptic paraboloid
+  9  a  16  a   0  a   16,9  thì ta có dạng đồ thị là hyperbolic paraboloid

a  9
+ 
thì ta có dạng đồ thị là parabolic
a


16

3

a

2  . Giả sử q x, y đưa về được dạng
Bài 11. Với q  x, y   ax 2  3xy  by 2 , ( a , b  ) có A  
 

3

b 

2

9
1
7


a  4  b  4    0
a  ,b 



4
0


2
2


4
2
2
4  x    y   D  
. Khi đó ta có hệ 
 a  3b  

 0 1
 a  1 b  1  9  0
a  7 , b   1


4
2
2

Chương 5. Dạng cơ bản thứ hai

Nhóm 03

7

Bài 12. Chứng minh  u , v    0,0  là điểm Paraboid:

   0,0,cos u  ,
Với   u, v    u, v, uv  cos u  cos v  ta có,  u  1,0, v  sin u  ,  v   0,1, u  sin v  ,  uu
  1  M  N
 uv   0,0,1 ,  vv   0,0,cos v  , N   0,0,1 , L  N . uu

 1 0 1 1 1  1 0  
det 
 1 1  k  0 1    0  k1  0 , k2  2  đpcm
0
1

 
 
 



Bài 13. Với   u, v   u, v, u 3  3uv2







   0,0,6u  ,
ta có,  u  1,0,3u 2  3v2 ,  v   0,1, 6uv  ,  uu

 uv   0,0, 6v  ,  vv   0,0, 6u  , N   3v2  3u 2 ,6uv,1 . Tại  u , v    0,0  ta có E  1 , F  0 , G  1,
L  M  N  0.

Tính các độ cong chính k1 , k 2 tại  u , v    0,0  :
1

E F  L
F G M

 
 k
 det 
 0

1

M  1 0  0 0  0 0


N   0 1   0 0   0 0 

0
 0  k 2  0  k1  k2  0 . Khi đó dạng điểm này là điểm planar.
k 

1


Bài 14. Cho   u, v    u  v, v, u 2  uv  2v 2  . Tính  u  1,0, u  v  ,  v  1,1, u  4v  ,
2


    v
1
N u

 u  v, 3v,1 . Khi đó, tại  u, v    0,0  ta có
2
2
 u   v
 u  v   9v  1

E   u

2

 1   u  v   1 , F   u   v  1   u  v  u  4v   1 , G   v
2

2

 2   u  4v   2 , L  1 ,
2

M 1 , N  4.

Tính các độ cong chính k1 , k 2 tại  u , v    0,0  :
1

E F  L
F G M

 

1

M  1 1  1 1 
1  2 11 1   1 2 








N  1 2  1 4  2  1  1 1 
1 4   0 3 

  1 2   1 0  
1  k 2 
 det  
k
  det 


  0  1  k  3  k   0  k1  1, k2  3
0
3
0
1
0
3

k
 




Dạng của điểm này là điểm eliptic.
1

1

a
 E F   L M  a 
1 1  1 1   a   aki 
 ki    
Các vectơ chính tương ứng: 





 
    
 F G   M N  b 
1 2  1 4  b   bki 
b 
a  2b  aki
 1 2   a   aki   a  2b   aki 






  
    
 0 3  b   bki   3b
  bki 
3b  bki
Tại k1  1  b  0  Vectơ chính tương ứng là  u
Tại k2  3  a  b  Vectơ chính tương ứng là  u   v

Chương 5. Dạng cơ bản thứ hai

Nhóm 03



8



Bài 15. Với   u, v   u, v, au  bv  cu 2  duv  ev 2 ta có,  u  1,0, a  2cu  dv  ,

   0,0, 2c  ,  uv
   0,0, d  ,  vv   0,0, 2e  ,
 v   0,1, b  du  2ev  ,  uu
N   a  2cu  dv, b  du  2ev,1 .

Mà ta lại có tại  u , v    0,0  : E  1   a  2cu  dv   1  a 2 
2

F   a  2cu  dv  b  du  2ev   ab 

5
,
4

1
3
2
, G  1   b  du  2ev   1  b 2  2 , L  2c  ,
2
4

3
, N  2e  3 . Giải hệ các phương trình trên ta tìm được một hàm h  u , v  có dạng
2
3
3
3
h  u, v   u  v  u 2  uv  v 2 .
8
2
2
M d 

Tính các độ cong chính k1 , k 2 tại  u , v    0,0  :
1
 5

3 
1   3
 1 0 
1  k
 4
4
2
2



det 
k

0

det

 1

1
  3
0 1 


2
3
 2

  2

của điểm này là điểm parabolic.

2 
 0  k1  0, k2  3 . Khi đó dạng
2  k 

1

a
 E F   L M  a 

k
Các vectơ chính tương ứng: 
 
  i b 
 F G   M N  b 
 
a  2b  aki
 a  2b   aki 
 1 2   a   aki 







  
   
 1 2  b   bki 
 a  2b   bki 
2b  a  bki
Tại k1  0  a  2b  Vectơ chính tương ứng là 2 u   v
Tại k2  3  a  b  Vectơ chính tương ứng là  u   v
Bài 16. Tập ảnh  thuộc một đường thẳng nên   u , v   p  uq1  vq2 .

   vv  0  L  N  0 . Ta lại có: E  q1 , F  q1.q2 , G  q2 .
Khi đó  uu
2

2

Áp dụng hệ quả 5.5.2 ta có k1 , k2 là nghiệm của phương trình:

  E F 1  L
det  
  F G   M


M   1 0
2 2

EG

F
.k 2  2  EG  F 2  .FM .k   F 2  EG  .M 2  0


k

0





N   0 1


 F  EG .M

 EG  F 
2

Theo định lý vi-ét ta có k1.k2

2 2

2

M2
 2
 0 vì ( F 2  EG  0 )
F  EG

 k1 , k2 trái dấu. Vậy k1  0  k2 hoặc k2  0  k1 .