Chương 4. Độ cong

Nhóm 03

1

BÀI TẬP CHƯƠNG 4
Bài 1. Xác định độ cong của các đường sau đây trong



a.   t   2t , t 2



2





b.   t   et cos t , et sin t
Giải

2 0
4
 4   t  
3
2t 2
4  4t 2

a. Ta có    t    2, 2t  ,    t    0, 2   det    t     t  







b. Ta có    t   et cos t  et sin t , et cos t  et sin t ,    t   2et sin t ,2et cos t

et cos t  et sin t 2et sin t
 det    t     t    t
 2e2t    t  
t
t
e cos t  e sin t 2e cos t
Bài 2. Cho   s  là một đường cong tốc độ đơn vị trong

2



2e2t
2et



3





2
2et

, và giả sử rằng nó có độ cong  là một

hằng số khác không. Chứng minh rằng đường cong  được xác định bởi   s     s  

1 
ˆ  s  là



một đường cong hằng, nghĩa là nó suy biến thành một điểm  . Đồng thời kết luận rằng vết của 
được chứa trong một đường tròn tâm  .
Giải
Theo giả thuyết đề bài, do   s  là một đường cong tốc độ đơn vị trong
4.2) . Mặt khác   s     s  





Vậy   s  là đường cong hằng.
Ta đặt   s    , xét  : I 

2

y  C : s  I : y    s 

1



ˆ  s      s      s   0    s   c

, tập ảnh C    I  

2

được gọi là vết của đường cong  ,

1 
1
1
1
ˆ  s     s     s   ˆ  s   y    s   ˆ  s     ˆ  s 





Khi đó y      s      

   1  s   1     2  s    2  
2

nên    ˆ 1 (định lý

1 
1
ˆ  s      s      s   ˆ  s   2 

Thay (1) vào (2) ta được    s      s  

Mà ta lại có   s     s  

2

2





1 
1 
1
ˆ  s    
ˆ  s  







1

2

Vậy vết của đường  chứa trong đường tròn tâm  bán kính
Bài 3. Cho   s  là một đường cong tốc độ đơn vị trong

s  0 . Gọi k    0  và đặt C    0  

2

1



, và giả sử rằng độ cong  khác không tại

1 
ˆ  0  . Chứng minh rằng đường tròn được tham số hóa bởi



Chương 4. Độ cong

Nhóm 03

 s  C 

1



2

  cos  ks  ˆ  0  sin  ks     0   , thỏa mãn đẳng thức   0     0  ,

   0      0  ,    0      0  . Vết của nó có bán kính

1
được gọi là đường tròn mật tiếp. Tâm C
k

được gọi là tâm của độ cong của  tại t  0 .
Giải



Có:  '  s  



1
1
1
 cos  k.0   '  0  sin  k.0   '  0     0    '  0    '  0     0 
k
k
k

Xét   0  c 





1
k sin  k.s   '  0   k cos  k.s   '  0   sin  k.s   '  0   cos  k.s   '  0 
k

  '  0   sin 0 '  0   cos 0 '  0    '  0 

Có:  ''  s   k cos  k.s   '  0  k sin  k.s   '  0   ''  0   k  '  0   ''  0 (vì  có tốc độ đơn vị)
Ta chứng minh   s  là một đường tròn bán kính bằng

1
k

Xét đường cong   s    cos  k.s   '  0  sin  k.s   '  0 
Có 

2

 s     cos  k.s   '  0   sin  k.s   '  0  
2

2





 cos2  ks   '  0   sin 2  ks   '  0  
2

2

 cos 2  ks   sin 2  ks   1 ( vì  có tốc độ đơn vị nên  '  t   1   '  t    1, t )
2

   t   1 . Do đó ảnh cuả  là một đường tròn bán kính bằng 1.

Vậy vết của

chứa trong đường tròn bán kính

Bài 4. Cho  : I 

2

1
k

là một đường cong tham số hóa chính quy, và giả sử rằng   t  đạt giá trị cực

đại địa phương tại t0  I . Chứng minh rằng   t0  

1
  t0 

Giải
Giả sử    t   1 . Đặt f  t     t  , g  t     t 

2

Theo đề bài thì f  t  đạt giá trị cực đại địa phương tại t0  I  f   t0   0  g  t  đạt giá trị cực đại
địa phương tại t0  I  g   t0   0 .

Thật vậy g   t   2   t  .    t   2   t 

   t  .  t 
 2   t .  t 
 t 

Chương 4. Độ cong

Nhóm 03



t

3



t0

f  t0 

f t 

f t 

+

0

-

gt 

+

0

-

g t 

g   t0 

 g   t   2   t     t   2    t 

2

Do g  t  đạt cực trị địa phương tại t0  I  g   t   0  2    2    t   0     t     t   1  0
2

    t     t   1 . Áp dụng Cauchy-Schwars, ta có 1     t    t      t     t 

Mặt khác   t0       s0     t0      s0     t0    s0   1 1
Giả sử   s0   0    s0   0 . Từ 1  0  1 !    s0   0    t0  

1
<đpcm>
  t0 





Bài 5. Cho   s   sinh 1 s, 1  s 2 . Xác định    s  và chỉ ra rằng đường cong có tốc độ đơn vị.
Xác định    s  và độ cong   s  . Xác định góc tiếp tuyến   s  và kiểm chứng định lý 4.3 cho đường
cong này. Công thức sau đây cho hàm ngược sinh 1 :



được phép sử dụng.

d
1
sinh 1 y 
dy
1  y2
Giải





 1
s
,
Ta có   s   sinh 1 s, 1  s 2     s   
2
1  s2
 1 s


    s  1


Vậy  là đường cong có tốc độ đơn vị.


s
1
    s   
,
2
2
2
 1  s  1  s 1  s 

  s  1
s

,
Mặt khác
  s   1  s2 1  s2

1

2
  det    s     s    1    s   1  s  1

 1  s2
1
1  s2
1  s 2 
 


1 
1 
,sin  arc cos
   cos  arc cos


1  s2 
1  s 2  
 



Chương 4. Độ cong

Nhóm 03


1
Khi đó   s   arc cos
    s    arc cos
1  s2
1  s2

1

4


1
1
1
.

  s
 
1  s2
1  s2 1  1

1  s2

Vậy thỏa định lý 4.3.
Bài 6. Cho  : I  3 và  : I  2 là hai đường cong tốc độ đơn vị cùng xác định ktrên khoảng I ,
và có các hàm góc tiếp xúc  : I  và  : I  trơn. Giả sử rằng có đường cong có cùng độ cong
  s  , s  I và tồn tại s0  I sao cho   s0     s0  và  '  s0    '  s0  . Chứng minh rằng khi đó

  s     s  s  I .

Giải
Theo giả thuyết ta có  ,  là 2 đường cong tốc độ đơn vị
 ( s )   ' ( s )

  ' ( s)   ' ( s)   ( s)   ( s)  c
 ( s )   ' ( s )

Ta lại có:  ' s   cos s , sin  s  ,  ' s   cos s , sin  s 
 ' s   cos s   c , sin  s   c 

  ' s   cos s , sin  s 
cos s 0   c   cos s 0 
 c  k 2 , k  Z
 sin  s 0   c   sin  s 0 

Mà  ' ( s0 )   ' ( s0 )  

  ' ( s)   ' ( s)s     ( s)   ( s)  m (với m là hằng số)

Mà  ( s0 )   ( s0 )  m  0 . Vậy  (s)   (s) s   <đpcm>





Bài 7. Xác định độ dài cung s  t  , độ cong   t  và độ xoắn   t  của đường cong   t   3t ,3t 2 ,2t 3 .
Giải
Ta tính:  '(t )  (3,6t ,6t 2 )   '(t )  3 (2t 2  1) 2 ,  " (t )  (0,6,12t ) ,    t    0,0,12 

3
0 0
6 0  216
Khi đó  '(t )   "(t )  (36t , 36t ,18) , det[ '(t ) "(t ) "'(t )]  6t
6t 2 12t 12
2

t2

t2

t2

 s(t )    '(t ) dt   3 (2t  1) dt  3 (2t 2  1)dt   2t 3  3  (t2  t1 )(2t2 2  2t12  2t2t1  3) ,
2

t1

 (t ) 

t1

 '(t )   "(t )
 '(t )

3

t2

2

t1

t1



2
det[ '(t ) "(t ) "'(t )]
2

2
2 ,  (t ) 
2
2
3(2t  1)
3(2t  1)2
 '(t )   "(t )

Bài 8. Đường cong   t    t ,cosh t ,sinh t  được gọi là đường xoắn ốc hyperbolic. Xác định độ cong và
độ xoắn của nó.
Giải

Chương 4. Độ cong

Nhóm 03

5

 et  e  t e t  e  t 
Ta có   t    t ,cosh t ,sinh t      t   1,sh t ,ch t   1,
,

2
2 

    t    0,ch t ,sh t      t    0,sh t ,ch t 

 ' (t )   " (t )

 (t ) 

 ' (t )

3



1  sh 2 t  ch 2 t
( (1  sh 2 t  ch 2 t ) 3



1
1  ch t  sh 2 t
2

1
0
0
det[ '(t ) "(t ) "'(t )]  sht cht sht  ch2t  sh 2t  1
cht sht cht

 (t ) 

det[ '(t ) "(t ) "'(t )]

 '(t )   "(t )

2



1
sh t  ch2t  1
2

s
s
s

Bài 9. Cho  ( s)   3 sin ,4 sin ,5 cos  . Tìm t, n và b của đường cong này. đồng thời tìm độ cong
5
5
5

và độ xoắn, và chứng minh rằng đường cong được chứa trong một mặt phẳng cố định. Tìm một vector
pháp tuyến của mặt phẳng này.
Giải



s

3

s

s

s 4

s

s

 e t  e t e t  e t
,
2
2


 ( s)   3 sin ,4 sin ,5 cos    ' ( s )   cos , cos , sin   1,
5 5
5
5
5
5
5
5


2

2





2

s 4
s 1
s
s 4
s 
s
 3
3
  ' ( s)   cos    sin     sin   1   " ( s)    sin , sin , cos 
5 25
5 5
5
5  5
5 
5
 25
5
2

2

2

s  4
s  1
s
1
 3
  " ( s)    cos     sin     sin  
5   25
5  5
5
5
 25

 4 
s
  ' ( s )   " ( s)     cos2  sin 2
5
 25 
3
5

s 4
5 5

s  3
2 s
2
,  cos  sin
5 5
5

s
5

4
5

t   ' ( s)   cos , cos , sin  , n=
2

  (s) 

 ' (s)   " (s)
 ' ( s)

3



s   4 3 
,0     , ,0 
5    25 25 

 " ( s)  3
s 4
s
s
 4 3 
   sin , sin , cos  , b= t  n    , ,0 
 " ( s)  5 5 5 5
5
 5 5 
2

 4   3 
2
      0
1
 25   25 
 ,
1
5

s
4
s 1
s
 4 3  3
, ,0   cos , cos , sin   0
5 25
5 5
5
 5 5  25

 (s)  b.n'= 

Ta có: Theo hệ quả 4.6 ( ) thì   t  chứa trong một mặt phẳng cố định.
Nhưng   0 s   suy ra mặt phẳng mật tiếp không thay đổi (cố định).

Chương 4. Độ cong

Nhóm 03

6

 4 3 
 Vector pháp tuyến của mặt phẳng cố định là x   ' ( s)   " ( s)    , ,0 
 25 25 

Bài 10. Cho  : I  3 là một đường cong tham số hóa chính quy nằm trên mặt tham số hóa chính
quy  :U  3 . Giả sử ảnh của  là một đường thẳng (hoặc một đoạn đường thẳng). Chứng minh 
là một đường trắc địa  .
Giải
Theo giả thuyết thì ảnh của  là đường thẳng ( hoặc môt đoạn đường thẳng)
  " ( s)  0   g ( s) 

det[ '(t ) "(t )m(t )]

 '(t )

3

 0   là một đường trắc địa <đpcm >

Bài 11. Gọi  là hình trụ với tham số hóa  (u, v)  (cos v, sin v, u) , trong đó u, v 
a. Cho  (t )   (a cost , t ) , với t  , trong đó a 
giá trị nào của a thì nó là đường trắc địa?

2

.

là một hằng số. Xác định  n và  g của  . Với

b. Thay vào đó, xét  (t )   (at  b, t ) với t  , trong đó a, b và  là các hằng số. Mô tả đường
cong này và chỉ ra rằng nó là một đường trắc địa trong  .
c. Xác định hai đường trắc địa trong  cùng có các điểm kết thúc là (1,0,0) và (1,0,1) nhưng chúng
có vết khác nhau giữa hai điểm này. Có đường trắc địa nào nữa không giữa hai điểm đã cho?
Giải
a. Có   t    cos t ,sin t , a cos t      t     sin t ,cos t , a sin t      t     cos t ,  sin t , a cos t 
Khi đó  u   0,0,1 ,  v    sin v,cos v,0  , u   v    cos v,  sin v,0  ,
    v
N u
   cos v,  sin v,0   m  t     cos t ,  sin t ,0 
 u   v

 sin t cos t a sin t
det    t     t  m  t    cos t  sin t a cos t  a cos t
 cos t  sin t
0

   t   sin 2 t  cos 2 t  a 2 sin 2 t  1  a 2 sin 2 t

 g t  

det    t     t  m  t  

  t 

3



a cos t
1  a 2 sin 2 t

3

, n t  

   t   m  t 
  t 

2



1
1  a sin 2 t
2

Để  là đường trắc địa thì  g  t   0, t  I  a cos t  0  a  0
b. Ta tính   t    cos t ,sin t , at  b  ,    t     sin t ,  cos t , a  ,

   t     2 cos t ,  2 sin t ,0  , m  t     cos t ,  sin t ,0  , det    t     t  m  t    a 3
  g t  

a 3

 a
2

2

3

. Để  là đường trắc địa thì  g  t   0, t  I  a3  0  a  0

Chương 4. Độ cong

Nhóm 03

7

Bài 12. Cho   u , v    f  u  cos v, f  u  sin v, g  u   là một mặt tròn xoay.

  t , v  là các đường trắc địa.

a. Chứng tỏ rằng các đường kinh tuyến t

  u, t 

b. Kiểm chứng rằng với đường cong song song t

 g t  

f u 
f u  f  u   g u 
2

,

2

n t  

g u 
f u  f  u   g u 
2

2

Tìm điều kiện cần và đủ để nó là một đường trắc địa.
Giải

  t , v     t    f  t  cos v, f  t  sin v, g  t  

a. Mặt tròn xoay được tham số hóa dưới dạng t

    t    f   t  cos v, f   t  sin v, g   t       t    f   t  cos v, f   t  sin v, g   t  

Khi đó,  t   f  cos v, f  sin v, g   ,  v    f sin v, f cos v,0  ,  t   v    fg  cos v,  fg sin v, ff  

  t   v  f


f 2  g  2 , m  t    



g
f 2  g 2

cos v, 

Ta tính được det    t     t  m  t   0   g  t  
b. t

g
f 2  g 2

det    t     t  m  t  

 t 



f 2  g 2 
f

sin v,

3

0

  u , t     t    f  u  cos t , f  u  sin t , g  u  

    t     f  u  sin t , f  u  cos t ,0      t     f  u  cos t ,  f  u  sin t ,0 

Khi đó,  u   f  cos t , f  sin t , g   ,  t    f sin t , f cos t ,0  ,  u   t    fg  cos t ,  fg sin t , ff  

  u   t  f


f 2  g 2 , m  t    



  g t  

 t 

3

f 2  g 2

cos t , 

g
f 2  g 2

sin t ,



f 2  g 2 
f

f2f

Ta tính được det    t     t  m  t   

det    t     t  m  t  

g

f 2  g 2
f2f



f 2  g 2

f3
f

Tương tự, ta chứng minh được  n  t  

  t   m t 
  t 

2

f
f 2  g 2

g


f

f 2  g 2

Vậy   t  là đường trắc địa khi và chỉ khi  g  t   0  f   u   0 hay f  u   c  0 ( c là hằng số)
Bài 13. Cho     : I  3 là một đường cong tham số hóa chính quy trong mặt tham số hóa
chính quy  . Giả sử tồn tại một mặt phẳng cố định trong 3 chứa ảnh của  . Nếu với t0  I mặt

Chương 4. Độ cong

Nhóm 03
phẳng

8

vuông góc với mặt phẳng tiếp xúc T t0  của  tại   t0  , thì ta gọi  là một lát cắt pháp

tuyến của  tại điểm này (hai mặt phẳng trong 3 vuông góc với nhau nếu hai vectơ pháp tuyến của
chúng trực giao với nhau). Thí dụ, một đường tròn lớn trong mặt cầu là một lát cắt pháp tuyến tại mọi
điểm trên nó, bởi vì nó nằm trên mặt phẳng trực giao với không gian tiếp xúc.
a. Chứng minh rằng một lắt cắt pháp tuyến tại t0 có  g  t0   0
b. Sử dụng phần a) để kiểm chứng bài tập 12a, rằng các đường kinh tuyến của mặt tròn xoay là
các đường trắc địa. Đồng thời cũng kiểm chứng các đường trắc địa được tìm thấy trong bài tập 12b.
Bài 14. Cho  : I  3 là một đường cong tốc độ đơn vị với độ cong   t   0 với mọi t. Gọi b  t  là
phó pháp tuyến của đường cong tại t. Đặt   u , v     v   ub  v  với  u, v    I
a. Chứng minh rằng  là một mặt tham số hóa chính quy. Mặt này được gọi là một phó pháp
tuyến của đường cong.
b. Chứng tỏ rằng  là một đường trắc địa trong mặt phó pháp tuyến.
Giải
a. Với   u , v     v   ub  v  , ta có  u  b  v  ,  v     v  + ub  v 

  u   t  b  v       v   ub  v    b  v      v   b  v   ub  v     v   t  v   n  v   0

b. Ta có  g  t  

det    t     t  m  t  

 t 

3

. Vì det    t     t  m  t    det t  s     s  n  s  

 det t  s  t   s  n  s    det t  s  kn  s  n  s    0   g  t   0

Bài 15. Xét nón   u, v    u cos v, u sin v, au  với u  0 và với a  0 là một số cố định. Một mặt cầu
bán kính 1 được đặt vào trong nón (giống như một viên kem trong nón).
a. Xác định tâm của mặt cầu, và tham số hóa cho phần giao của các mặt như trong một đường trơn.
b. Đưa ra các lập luận để thấy rằng đường cong này có cùng độ cong trắc địa  g và có cùng độ cong
pháp tuyến  n đối với hai mặt (mặt cầu được giả thuyết là được định hướng với pháp tuyến chỉ về phía
tâm). Xác định  g và  n .