Chương 1. Tham số hóa của đường và mặt

Nhóm 03

1

BÀI TẬP CHƯƠNG I
Câu 1: Cho  : I  R n là một tham số hóa đường cong, trong đó  (t )  0 với mọi t. Chứng minh rằng
đó là một đường thẳng hoặc là một đường cong hằng (đồ thị hàm hằng).
Giải
 (t )  0
Ta có,  " (t )  0  
 (t )  c

 (t )  c

 (t )  ct  d

Suy ra  (t ) là đường cong hằng hoặc là đường thẳng (đpcm)
Câu 2: Đường cong tham số hóa sau đây gọi là đường cycloid  (t )  (t  sin t,1  cos t ), t  R Nó được
sinh ra bởi một vòng tròn bán kính bằng 1 lăn không trượt dọc theo chiều dương trục x. Đường cong
được vẽ lên từ sự chuyển động của một điểm nằm trên đường tròn. Hãy giải thích công thức trên của
đường cycloid.
Giải
Ta có OK  MK  R.t  t , OB  x và BK  MH  R sin t  sin t .

 OK  OB  BK  t  x  sin t  x  t  sin t
Tương tự ta có BM  y  HK , KI  R  1 , HI  R cos t  cos t
 KI  KH  HI  1  y  cos t  y  1  cos t

y

Vậy   t    t  sin t ,1  cos t 
I
A
O

M
B

H
K

x

Câu 3: Xác định tham số hóa của mặt cong với ảnh là x, y, z  x  2 y  2 z  1
Giải
Gọi C   x, y, z  x  2 y  2 z  1 .
Ta thấy   u, v   1  2u  2v, u, v  là một tham số hóa của mặt cong với ảnh là C .

1  u  2v 
 1  u  2v 

Ngoài ra, ta còn có 2 tham số:  1  u, v    u,
, v  ,  2  u , v    u , v,

2
2





Chương 1. Tham số hóa của đường và mặt

Nhóm 03

Câu 4. Xét phương trình x3  xy 2  2ay 2  0 trong

 2at 2 2at 3 
tham số hóa đường cong   t   
, t
,
2
2 
1

t
1

t



2

2

, với a  0 là một hằng số. Chứng minh rằng
, là một song ánh vào trong tập các nghiệm.

Song ánh này được gọi là cisoid của Diocles. Vẽ đường cong cơ bản của nó trong trưởng hợp a  1 .
Giải
Với  :



2

 2at 2 2at 3 
xác định   t   
. Khi đó hiển nhiên  là một ánh xạ.
;
2
2 
1 t 1 t 

t12  t22
2at12 2at22
2at13 2at23


  3 3  t1  t2 .
Thật vậy, giả sử   t1     t2  , ta có
và
1  t12 1  t22
1  t12 1  t22
t1  t2
Vậy  là một đơn ánh.
Mặt

khác,

  m, n  

 m  m2  n2   2an2 1

2

sao

cho

x3  xy 2  2ay 2  0

 m3  mn2  2an2  0

+ Nếu  m, n    0,0  thì t  I : t  0 và   t    0,0    m, n    là toàn ánh

2an2
+ Nếu  m, n    0,0  thì từ 1  m  2
m  n2
 2an 2 2an3
2
3
n 
Xét      m 2 , m 2
 m  1 n 1 n

m2
m2



  2an 2
2an 2 n 
,
.    m, n    là toàn ánh
 2
2
2
2
  m  n m  n m 


Vậy  là song ánh vào trong tập các nghiệm.
 2t 2 2t 3 
Với a  1 khi đó   t   
suy ra đồ thị đối xứng với nhau qua trục hoành và chứa gốc
;
2
2 
1

t
1

t


tọa độ O  0, 0  .

y

Tính các giới hạn:
2t 2
2
 lim
 2  x  2 khi t  
2
t  1  t
t  1
1
t2

lim

O

2t 3
2
lim
 lim
   y  2 khi t  
2
t  1  t
t  1
1

t3 t

O

x

Chương 1. Tham số hóa của đường và mặt

Nhóm 03
Bài 5. Gọi

là tập nghiệm của phương trình

a) Chứng minh rằng ánh xạ

3

.

được cho bởi

là một đơn

ánh và là tham số hóa mặt với ảnh là .
b) Chứng minh rằng

không chứa điểm tới hạn nào của hàm

định một tham số hóa của

và hãy xác

dưới dạng đồ thị của một hàm trơn .
Giải

a. Chứng minh ánh xạ  :

2



3

là một đơn ánh:

Giả sử   u1 , v1     u2 , v2    u1  v1 ,1  4u1v1 , u1  v1    u2  v2 ,1  4u2v2 , u2  v2 

u1  v1  u2  v2
2u  2u2
u  u2

 1  4u1v1  1  4u2v2   1
  là một đơn ánh.
 1
u
v

u
v
v

v
1
1
2
2
1
2


u  v  u  v
2
2
 1 1
Chứng minh   u , v  là tham số hóa mặt với ảnh S :
Ta thấy  u  v   1  4uv   u  v   2uv  1  4uv  2uv  1 (đúng)  đpcm.
2

2

b. Xét hàm f  x, y, z   x 2  y  z 2 .
Vì

f
 1  0 nên S không chứa điểm tới hạn nào của hàm f .
y





Khi đó, h  u, v   u, v 2  u 2  1, v là một tham số hóa của S dưới dạng đồ thị của hàm trơn h .
Câu 6. Xét phương trình x 3 y 3  3 x  y  1 , nghiệm đúng tại ( x, y ) = (1,1). Chứng minh rằng, ta có
thể biểu diễn tập mức dưới dạng đồ thị của hàm y  h(x) trong lân cận điểm đang xét.
Giải
Đặt f  x, y   x3 y 3  3x  y . Cho C 

 x, y  

2



f  x, y   1

f
 p   3x3 y 2  1  4  0 nên theo định lý hàm ẩn (1.5) ta có thể biểu diễn tập
y
mức dưới dạng đồ thị của hàm số y  h  x  trong lân cận của điểm đang xét.
Xét p  1,1  C . Vì

Câu 7. Ký hiệu C trong tập mức trong R 2 của phương trình 4 x 4  5 x 2 y 2  y 4  0 .
a.

Chứng minh rằng từ định lý hàm ẩn ta có thể khẳng định rằng với mỗi điểm
( xo , y o )  C \ 0,0, tồn tại lân cận của nó sao cho C có thể được biểu diễn dưới dạng đồ thị

hàm y  h(x) .

Chương 1. Tham số hóa của đường và mặt

Nhóm 03

4

b. Giải phương trình và xác định rõ tập C .
Giải
a. Đặt f  x, y   4 x 4  5x 2 y 2  y 4 . Với mỗi điểm p   x0 , y0   C \ 0,0 , ta có

y  0
y  0
f
f
thế vào

 p   4 y 3  10 x 2 y . Giả sử  0  4 y 3  10 x 2 y  0   2
 2
2
2
y
y
 4 y  10 x
5 x  2 y
f  x, y  :
+ Khi y  0  x  0 (loại)
+ Khi 5x2  2 y 2  y  0 (loại)

f
 4 y 3  10 x 2 y  0 , p  C \ 0,0 . Khi đó tồn tại một lân cận của p sao cho trong C có thể
y
được biểu diễn dưới dạng đồ thì của hàm y  h  x  .


b. Giải phương trình 4 x4  5x2 y 2  y 4  0 1
Với x  0  y  0
Với x  0 . Đặt x  ty  t 

 , sau đó thế vào phương trình 1

ta được phương trình:

y  0

 y  x
4
2
4  ty   5  ty  y 2  y 4  0  y 4  4t 4  5t 2  1  0  t  1  

 y  2 x
t   1 2
Vậy C 

 x, y  

2

y   x, y  2 x

Bài 8: Cho thí dụ để chứng tỏ rằng điều kiện

trong định lí 1.5 là điều kiện đủ chứ

không phải là điều kiện cần. Nghĩa là
dạng đồ thị của hàm

với

đôi lúc ta vẫn có thể biểu diễn tập mức dưới

là hàm trơn xác định trong lân cận của

.

Giải
Xét tập mức C 

 x, y  x y
2

2



 2 xy  1 và  x, y   1, 1  C .

f
f
 2 x 2 y  2 x  1, 1  0 . Khi đó, với C trong lân cận đủ nhỏ
y
y
1
của 1, 1 có thể diễn dưới dạng đồ thị của hàm y 
(hiển nhiên là hàm trơn trong lân cận
x
của 1, 1 ).
Đặt f  x, y   x 2 y 2  2 xy thì

Ta có thể xét tập mức C  x, y  | x 2  y 2  2 xy  4 y  4 x  4

Chương 1. Tham số hóa của đường và mặt

Nhóm 03

5

Ta thấy x, y   1,1 C
Đặt f x, y   x 2  y 2  2 xy  4 y  4 x thì
f
f
1,1  0
 2 y  2x  4 
y
y

Ta giải phương trình:
x 2  y 2  2 xy  4 y  4 x  4 ⇔ x 2  y 2  2 xy  4 y  4 x  4  0

⇔
⇔

⇔
⇔

⇒ Trong lân cận vừa đủ bé của điểm (1,-1) ta có thể biểu diễn đồ thị của hàm

(Hiển nhiên

là hàm trơn).
Câu 9: Xét hàm f như trong định lý 1.5 nhưng lại giả sử f y' ( x0 , y0 )  0. Chứng minh rằng nếu
f x' ( x0 , y0 )  0 thì ta có thể biểu diễn tập mức dưới dạng đồ thị y  h( x ), với h là hàm trơn trong bất kỳ

lân cận nào của điểm ( x0 , y0 ).
Giải
Giả sử với tập mức C 

 x, y  f  x, y   0 và tồn tại 1 lân cận I  J

nào đó của  x0 , y0  sao cho ta

có thể biểu diễn C dưới dạng đồ thì của hàm y  h  x  với h là hàm trơn. Khi đó,
f  x, y   0  f  x, h  x    0 , x  I .

Ta có, f x  f y.h  x   0  f x   f y.h  x  , x  I  h  x   

f x
, x  I \ x0 
f y

 f
Do h là hàm trơn nên h  x0   lim h  x   lim   x     h không trơn (!)  đpcm

x  x0
x  x0 
 f y 
Bài 10: Phương trình xy  xz  sin z  0 nghiệm đúng tại ( x, y, z )  (0,0,0). Chứng minh rằng: tập
nghiệm của phương trình đã cho trong lận cận của điểm này có thể biểu diễn với dạng của một đồ
thị. Đồng thời chỉ ra rằng điều khẳng định trên là đúng tại mọi nghiệm của phương trình.
Giải

 f x  0
y  z  0


Khi đó  f y  0   x  0
, thay vào đề bài ta được sin z  0 !
 
 x  cos z  0

 fz  0

 Trong tập nghiệm không có điểm tới hạn nào

Chương 1. Tham số hóa của đường và mặt

Nhóm 03

6

 Với mọi  x0 , y0 , z0   C thì f x  0 , f y  0 , f z  0
Theo định lý 1.7 thì C trong lân cận nào đó của  x0 , y0 , z0   C có thể biểu diễn dưới dạng đồ thị.
Đồng thời khẳng định trên là đúng.
Bài 11: Gọi

là đồ thị của hàm

lân cận của mỗi điểm của thỏa mãn điều
với

hàm

. Chứng tỏ rằng trong một
,

có thể được viết dưới dạng đồ thị của

là trơn.
Giải

Ta có S 
Tính

 x, y, h  x, y  

3

là đồ thị của hàm h  x, y   y  xy 3 và 3xy 2  1  1  3xy 2  0  *

h
 p   1  3xy 2  0 , p (từ * ta có)
y

Theo định lý 1.6, trong một lân cận của mỗi điểm thuộc S thỏa  * , S có thể được viết dưới dạng
đồ thị của hàm y  g  x, z  với g là hàm trơn.
Bài 12: Xét hệ phương trình trong

và

nghiệm đúng tại

.

Chứng minh rằng, tồn tại một lân cận mà trong đó tập nghiệm có thể biểu diễn ở dạng đồ thị của
hàm

, với và

là các hàm của .
Giải

 2 x2  x2 z 2  y 2 
 0
f
x
,
y
,
z

Xét 
 
 , c    , p  1,1,1
xyz
1 


 4 x  2 xz 2
Ta có ma trận Jacobi Df  x, y, z   
yz

Vì

2 y 2 x 2 z 
 2 2 2 
  Df 1,1,1  

xz
xy 
1 1 1 

2 2
 4  0 nên theo định lý 1.7 ta có thể giả sử  x, y  là hàm của z trong lân cận của p .
1 1

Hay tồn tại một lân cận của p mà trong đó tập nghiệm có thể biểu diễn ở dạng đồ thị của hàm
h  z    x, y  . (đpcm)
1
2

Câu 13: Xét ánh xạ f: R 3  R 2 và c  R 2 được cho bởi f ( x, y, z )  ( x 2  y 2  z 2 ,( x  )2  y 2 ), với
c  (1, a 2 )

Với a  0. Gọi L  R 3 là tập nghiệm của hệ phương trình f ( x, y, z )  c

Chương 1. Tham số hóa của đường và mặt

Nhóm 03

7

a)Giải thích việc L là giao tuyến của mặt cầu và mặt trụ, đồng thời xác định bán kính của nó.
b)Với mỗi một trường hợp trong 6 trường hợp sau đây, hãy xác định tập hợp các điểm trong L sao
cho tại đó rank(Df(p)) <2, tức là các dòng của ma trận là phụ thuộc tuyến tính.
1
1 1
3
3 3
a  0;0  a  ; a  ;  a  ; a  ;  a
2
2 2
2
2 2

c)Với mỗi trường hợp như thế, định lí hàm ẩn nào có thể áp dụng cho tập L. Diễn tả điều này theo
nghĩa phần giao như đã nói ở mục (a) bên trên.
Giải
a)Ta có:

 x2  y2  z2  1
1

f ( x, y , z )  0  ( x 2  y 2  z 2 ,( x  ) 2  y 2 )  (1, a 2 ), a  0  
(I )
1 2
2
2
2
(
x

)

y

a

2

Do L  R 3 là tập nghiệm của hệ phương trình f(x,y,z)=c nên từ (I) ta suy ra L là giao tuyến của mặt
cầu có phương trình: x2+y2+z2=1 và mặt trụ có phương trình:
1
2

(x  ) 2  y 2  a 2 .