Bài 1: Giả sử x, y, z là các số thực khác 0 thoả mãn hệ đẳng thức:

Hãy tính giá trị biểu thức: P =

Giải:


<=> x
<=>

<=> (y + z)
= 0 <=>
= 0 <=>

Nếu x = -y, thay vào (2) được z3 = 1, suy ra z = 1. khi đó P =
=
= 1
Các trường hợp còn lại xét tương tự.
Vậy P = 1

Bài 2: Cho các số a, b, x, y thoả mãn hệ:
. Hãy tính giá trị biểu thức:
A = ax5 + by5; B = ax2001 + by2001
Giải:


=>

=>
=>


Đặt S = x + y, P = xy, thay vào (6), (7) ta có:
<=>
<=>

Giải hệ phương trình này được x = 2, y = 1 hoặc x = 1, y = 2. Do vai trò của x, y như nhau nên chọn x = 2, y = 1. Khi đó từ các phương trình (1), (2) ta lại có:
<=>

Vậy A = ax5 + by5 = 32 + 1 = 33; B = ax2001 + by2001 = 22001 +1.

Bài 3: Xét đa thức: P(x) = ( 1 - x + x2 - x3 + . - x1999).(1 + x + x2 + . + x1999 + x2000)
Khai triển và ước lượng số hạng đồng dạng có thể viết: P(x) = a0 + a1x + a2x2 + . + a4000x4000
Tính a2001
Giải: Đặt f(x) = 1 - x + x2 - x3 + . - x1999 và g(x) = 1 + x + x2 + . + x1999 + x2000
Để có x2001 của P(x) thì một hạng tử xk ( 0
k
2000) của f(x) phải nhân với hạng tử xm (0
m
2000) của g(x) sao cho k + m = 2001. Suy ra:
+ Nếu k = 0 thì m = 2001 không thoả mãn.
+ Nếu k = 1 thì m = 2000
+ Nếu k = 2 thì m = 1999
.......................
+ Nếu k = 2000 thì m = 1
Vậy a2001x2001 = (-x.x2000 + x2.x1999 - x3.x1998 + x4.x1997 - x5.x1996 + . - x1999.x2 + x2000.x
=> a2001x2001 = (-1 + 1 - 1 + 1 - 1 + . -1 + 1).x2001
Trong dãy số: 1, 2, 3, ., 1999, 2000 có 1000 số lẻ, 1000 số chẵn. Các hạng tử với số mũ lẻ của f(x) có hệ số bằng -1, các hạng tử với số mũ chẵn của f(x) có hệ số bằng 1.
Do đó a2001 = 0

Bài 4: Cho P(x) = x3 + ax2 + bx + c. Giả sử P(1) = 5; P(2) = 10. Tính

Giải: Từ giả thiết của đề bài suy ra

Trừ từng vế 2 phương trình của hệ ta được: 3a + b = 2.
P(12) - P(-9) = [123 -(-9)3] + a(122 - (-9)2) + (12 - (-9))b = 2457 + 63a + 21b =
= 2457 + 21(3a + b) = 2457 - 42 = 3415
Vậy
=


Bài 5: Tính giá trị biểu thức: Q =
nếu x2 - 2y2 = xy và y
0
Giải: x2 - 2y2 = xy <=> x(x - 2y) + y(x - 2y) = 0 <=> (x - 2y)(x + y) = 0
<=>
<=>



<=> x = 2y
Với x = 2y thì Q =
=
=
(vì y
0)

Bài 6: Tính giá trị biểu thức: P =

Giải: Đặt x = 2003, ta có P =

Vì x(x + 5) + 4 = x2 + 5x + 4 = (x + 1)(x + 4)
x2(x + 10) + 31(x + 1) = x3 + 10x2 + 31x + 30 = (x + 1)(x + 2)(x + 5)
Vậy P =
= 1

Bài 7: Cho các số thực dương a và b thoả mãn: a100 + b100 = a101 + b101 = a102 + b102. Hãy tính giá trị biểu thức P = a2004 + b2004
Giải: Từ điều kiện đề bài suy ra:


+ Nếu a = 1 thì từ (1) => b100(b - 1) = 0 mà b100 > 0 nên b -1 = 0. Thoả mãn điều kiện đề bài. Khi đó P = 1 + 1 = 2
+ Nếu a
1 thì từ (2) suy ra b
1. Các vế của (1) và (2) đều khác 0. Chia theo từng vế của (1) và (2) suy ra a = b. Khi đó từ điều kiện của đề bài ta có 2a100 = 2a101 = 2a102, suy ra

=> a = 1; b = 1. Vậy P = 1 + 1 = 2

Bài 9: Tìm f(2), nếu với mọi x ta đều có: f(x) + 3f
= x2
Giải: Do f(x) + 3f
= x2 nên: + Cho x = 1, ta có f(1) + 3f(1) = 1 => f(1) = 1/4
+ Cho x = 2
<=>
. Trừ vế theo vế ta được:
8f(2) =
<=> f(2) =


Bài 10: Cho x, y thoả mãn:

. Tính Q = x2 + y2
Giải: (1) <=> x3 + 1 + 2(y - 1)2 = 0, suy ra x2 =
(3). Do đó y2 + 1
2y; mà y2 + 1 > 0 nên

1. Khi đó từ (3) ta có x2
1 (*)
Do x
-1 nên x2
1 (**)
Từ (*) và (**) suy ra x2 = 1 mà x
-1, nên x = -1. Thay vào (1) ta được:
2y2 - 4y + 2 = 0 <=> (y - 1)2 = 0 <=> y = 1
Vậy Q = x2 + y2 = 2

Bài 11: Tính A =
+
+ . +

Giải: Với mọi k = 1, 2, 3, ., n ta có:
=
= =
=

=

Vậy A = 1 -


Bài 12: Cho đẳng thức:
(x - y)2 + (y - z)2 + (z - x)2 = (x + y - 2z)2 + (y + z - 2x)2 + (x + z - 2y)2
Chứng minh rằng: x = y = z
Giải: Đặt x - y = a; y - z = b; z - x = c thì a + b + c = 0. Theo đề bài ta có:
a2 + b2 + c2 = (b - c)2 + (c - a)2 + (a - b)2
<=> a2 + b2 + c2 + 2ab + 2bc + 2ca = 2a2 + 2b2 + 2c2 <=> (a + b + c)2 = 2(a2 + b2 + c2)
Mà a + b + c = 0 nên a2 + b2 + c2 = 0; suy ra a2 = b2 = c2 = 0,
suy ra a = b = c = 0 => x = y = z = 0

Bài 13: Cho a, b, c là 4 số nguyên dương bất kỳ, chứng minh rằng số:
B =
+
+
+
không phải là một số nguyên.
Giải: Do a, b, c, d
N, ta có: B =
+
+
+
>
>
+
+
+
= 1 (1)
Xét

=
< 0 =>
<

Tương tự :
<
;
<
;
<

Do đó B <
= 2 (2)
Từ (1) và (2) suy ra 1 < B < 2. Vậy B không phải là một số nguyên.

Bài 14: Cho x, y, z là 3 số thoả mãn điều kiện:
4x2 + 2y2 + 2z2 - 4xy - 4xz + 2yz - 6y - 10z + 34 = 0. (1)
Hãy tính : S = (x - 4)2005 + (y - 4)2005 + (z - 4)2005
Giải: (1) <=> (4x2 + y2 + z2 - 4xy - 4xz + 2yz) + (y2 - 6y + 9) + (z2 - 10z + 25) = 0
<=> (2x - y - z)2 + (y - 3)2 + (z - 5)2 = 0 <=>
<=>

Vậy S = (4 - 4)2005 + (3 - 4)2005 + (5 - 4)2005 = 0

Bài 15: Biết a - b = 7. Tính giá trị biểu thức sau: a2(a + 1) - b2(b - 1) + ab - 3ab(a - b + 1)
Giải: a2(a + 1) - b2(b - 1) - 3ab(a - b + 1) = a3 + a2 - b3 + b2 + ab - 3ab(a - b) - 3ab =
= (a - b)3 + (a - b)2 = (a - b)2(a - b + 1) = 72(7 + 1) = 392

Bài 16: Cho 3 số a, b, c khác 0, thoả mãn (a + b + c)
= 1.
Tính giá trị biểu thức: P = (a23 + b23)(b5 + c5)(a1995 + c1995)
Giải: Theo điều kiện bài toán (a + b + c)
= 1 <=> (a + b + c)
= 1
<=> (a + b + c)(ab + bc + ca) - abc = 0 <=>(a + b )(ab + bc + ca) + abc + c(bc + ac) - abc = 0
<=> (a + b )(ab + bc + ca) + c2(b + a) = 0 <=> . <=> (a + b)(b + c)(a + c) = 0
<=> a + b = 0; hay b + c = 0, hay a + c = 0
+ Nếu a + b = 0 => a = -b <=> a23 = -b23 <=> a23 + b23 = 0 Vậy P = 0
+ Nếu b + c = 0 => b = -c <=> b5 = -c5 <=> b5 + c5 = 0 Vậy P = 0
+ Nếu a + c = 0 => a = -c <=> a1995 = -c1995 <=> a1995 + c1995 = 0 Vậy P = 0
Vậy với điều kiện đã cho P = 0
Bài tập tương tự:
1/ Cho 3 số a, b, c thoả mãn điều kiện:

=

Tính: (a25 + b25)(b3 + c3)(c2000 - a2000)

Bài 17: 1/ Xác định đa thức bậc 3 sao cho khi chia đa thức ấy lần lượt cho các nhị thức (x - 1), (x - 2), (x - 3) đều có số dư là 6 và tại x = -1 thì đa thức nhận giá trị tương ứng là -18
Giải: Do f(x) chia cho các nhị thức (x - 1), (x - 2) và (x - 3) đều có số dư là 6 nên f(x) - 6 chia hết cho (x - 1), (x - 2) và (x - 3) nên f(x) chia hết cho (x - 1)(x - 2)(x - 3). Vì f(x) là đa thức bậc 3 nên f(x) - 6 = m(x - 1)(x - 2)(x - 3); với m là hằng số.
Vì f(-1) = -18 nên -18 - 6 = m(-2)(-3)(-4) <=> m = 1
Vậy f(x) - 6 = (x - 1)(x - 2)(x - 3) = x3 - 6x2 + 11x - 6
f(x) = x3 - 6x2 + 11x
2/ Cho đa thức bậc 2: P(x) = ax2 + bx + c. Tìm a, b, c biết P(0) = 26; P(1) = 3 và P(2) = 2000
Giải: Vì P(0) = 26 => a.02 + b.0 + c = 26 => c = 26
P(1) = 3 => a + b + c = 3 => a + b = -23
P(2) = 2000 => . => 2a + b = 987
Từ đó ta tìm được a = 1000 và b = -1023.

Bài 18: Chứng minh rằng nếu abc = a + b + c và
= 2 thì
= 2
Giải: Ta có
=
- 2
= 4 - 2.
= 4 - 2 = 2

Bài 19: Chứng minh rằng nếu x + y + z = 0 thì: 2(x5 + y5 + z5) = 5xyz(x2 + y2 + z2)
Giải: Ta có: x + y + z = 0 nên x + y = -z; x + z = -y; y + z = -x (1)
Khi ấy: x3 + y3 + z3 = (x + y)3 - 3xy(x + y) + z3 = (-z)3 - 3xy(-z) + z3 = 3xyz
Suy ra: (x3 + y3 + z3)(x2 + y2 + z2) = 3xyz(x2 + y2 + z2)
<=> x5 + y5 + z5 + x2y2(x + y) + x2z2(x + z) + y2z2(y + z) = 3xyz(x2 + y2 + z2)
<=> x5 + y5 + z5- xyz(xy + yz + zx) = 3xyz(x2 + y2 + z2) (do (1))
=> 2(x5 + y5 + z5) - 2xyz(xy + yz + zx) = 6xyz(x2 + y2 + z2) (*)
Do (x + y + z)2 = 0 nên -2(xy + yz + zx) = x2 + y2 + z2
=> -2xyz(xy + yz + zx) = xyz(x2 + y2 + z2) Thay vào (*) ta được:
2(x5 + y5 + z5) + xyz(x2 + y2 + z2) = 6xyz(x2 + y2 + z2)
=> 2(x5 + y5 + z5) = 5xyz(x2 + y2 + z2)

Bài 20: Cho ba số x, y, z thoả mãn điều kiện x + y + z = 0 và xy + yz + zx = 0.
Hãy tính giá trị biểu thức: S = (x - 1)1995 + y1996 + (z + 1)1997
Giải: x + y + z = 0 <=> (x + y + z)2 = 0 <=> x2 + y2 + z2 + 2(xy + yz + zx) = 0;
mà xy + yz + zx = 0; nên x2 + y2 + z2 = 0 <=> x = y = z = 0
Do đó: S = (-1)1995 + 01996 + (1)1997 = -1 + 0 + 1 = 0

Bài 21: Chứng minh rằng nếu:
thì (a + b)(b + c)(c + a) = 0
Giải: Với a, b, c khác 0 và a + b + c
0, ta có:
<=>(a + b + c)
= 1
<=> (a + b + c)
= 1 <=> (a + b + c)(ab + bc + ca) - abc = 0
<=>(a + b )(ab + bc + ca) + abc + c(bc + ac) - abc = 0
<=> (a + b )(ab + bc + ca) + c2(b + a) = 0 <=> . <=> (a + b)(b + c)(a + c) = 0
Bài tương tự:
1/ Cho x, y, z là 3 số khác không thoả mãn:
. Chứng minh rằng trong 3 số x, y, z tồn tại 2 số đối nhau. HD: Từ điều kiện bài toán ta có: (a + b + c)
= 1 để áp dụng bài 21 suy ra điều chứng minh.

Bài 22: Cho a, b, c là 3 số đôi một khác nhau, chứng minh rằng:

+
+
=
+
+

Giải: Với a, b, c là 3 số đôi một khác nhau. Ta có:

=
=
=


=
và
=

Cộng từng vế các đẳng thức trên, ta được:

+
+
=
+
+


Bài 23: Chứng minh rằng a, b là 2 số dương thoả mãn điều kiện: a + b = 1 thì:

=

Giải: Với a, b > 0 và a + b = 1: Ta có:

=
=

=
(do a + b = 1 => b - 1 = -a và 1 - a = -b)
=
=

=
=
=


Bài 24: Cho x, y, z là các số thoả mãn đồng thời:

Hãy tính giá trị biểu thức: P = (x - 1)17 + (y - 1)9 + (z - 1)1997
Giải: Ta có: (x + y + z)3 - x3 - y3 - z3 = . = 3(x + y)(y + z)( z + x)
<=> (x + y + z)3 = 3(x + y)(y + z)( z + x) + x3 + y3 + z3
<=> 1 = 3(x + y)(y + z)( z + x) + 1 <=> 3(x + y)(y + z)( z + x) = 0 <=> (x + y) = 0; hay (y + z) = 0; hay ( z + x) = 0
+ Nếu x + y = 0, do x + y + z = 1 => z = 1
Mặt khác: x2 + y2 + z2 = 1 <=> x2 + y2 = 0 => x = y = 0
Khi ấy P = (-1)17 + (-1)9 + 01997 = -2
+ Lý luận tương tự: y + z = 0 => x = 1 và y = z = 0; Nên P = -2
z + x = 0 => y = 1 và z = x = 0; Nên P = -2
Kết luận: Với x, y,