Tuần 30: Tiết 55 + 56 : Giá trị lượng giác của một cung
I. Mục tiêu:
1. Về kiến thức:
- Hiểu khái niệm gtlg của 1 góc (cung ); bảng gtlg của 1 số góc thường gặp.
- Hiểu được hệ thức cơ bản giữa các gtlg của 1 góc.
- Biết quan hệ giữa các gtlg của các góc có liên quan đặc biệt: bù nhau, phụ nhau, đối nhau, hơn kém nhau góc
.
- Biết ý nghĩa hình học của tan và cot.
2. Về kĩ năng:
- Xác định được gtlg của 1 góc khi biết sđ của góc đó.
- Xác định được dấu của các gtlg của cung
khi điểm cuối M nằm ở các góc phần tư khác nhau
- Vận dụng được các hằng đẳng thức lượng giác cơ bản giữa các gtlg của một góc để tính toán, chứng minh các hệ thức đơn giản.
- Vận dụng được các công thức giữa các gtlg của các góc có liên quan đặc biệt: bù nhau, phụ nhau, đối nhau, hơn kém nhau góc
vào việc tính gtlg của góc bất kỳ hoặc chứng minh các đẳng thức.
3. Về tư duy, thái độ: Biết quy lạ về quen; cẩn thận, chính xác
II. Chuẩn bị phương tiện dạy học:
1. Thực tiễn: Hs đã biết gtlg của 1 góc
với 0


1800 , sđ của 1 cung lượng giác,...
2. Phương tiện:
+ GV: Chuẩn bị các bảng phụ kết quả mỗi hoạt động, SGK, thước, compa, máy tính bỏ túi,...
+ HS: Đọc bài trước ở nhà, SGK, thước, compa, máy tính bỏ túi,...
III. Gợi ý về PPDH: Cơ bản dùng PP gợi mở, vấn đáp thông qua các HĐ điều khiển tư duy.
IV. Tiến trình bài học và các hoạt động:
1. Ổn định lớp:
2. Kiểm tra bài cũ:
- Công thức sđ của các cung lượng giác có điểm đầu A, điểm cuối B ( theo 2 đơn vị)? Công thức độ dài của cung tròn ?
- Một đường tròn có bán kính 15cm.Tìm độ dài các cung trên đường tròn có sđ 250 ? ĐS: 6,55 cm
- Trên đường tròn lượng, hãy biểu diễn các cung có sđ tương ứng là -
?
3. Bài mới:
Nội dung, mục đích
Hoạt động của GV
Hoạt động của HS

Tiết 55
I. Giá trị lượng giác của cung

HĐ1: Hình thành định nghĩa gtlg của cung
và rèn luyện kỹ năng tính gtlg của cung

1. Định nghĩa
* Trên đường tròn lượng giác cho cung
có sđ
=

+ Tung độ y =
của điểm M gọi là sin của
và kí hiệu là sin

+ Hoành độ x =
của điểm M gọi là côsin của
và kí hiệu là cos

+ Nếu cos

0, tỉ số
gọi là tang của
và kí hiệu là tan
( hoặc tg
)
+ Nếu sin

0, tỉ số
gọi là côtang của
và kí hiệu là cot
( hoặc cotg
)
Vậy:
sin
=

cos
=

tan
=

cot
=

* Các giá trị sin
, cos
, tan
, cot
đgl các giá trị lượng giác của cung
.
Ta cũng gọi trục tung là trục sin, còn trục hoành là trục côsin.
* Chú ý:
+ Các định định nghĩa trên cũng áp dụng cho các góc lượng giác.
+ Nếu 0


1800 thì các giá trị lượng giác của góc
chính là các gtlg của góc đó đã nêu trong SGK Hình học 10.
VD: ( HĐ2 ) Tính sin
, cos(-2400),
tan(-4050).
Giải
* Điểm cuối của cung
là điểm chính giữa M của cung nhỏ

Có
=
. Vậy sin
=

* Điểm cuối của cung -2400 là điểm M của cung nhỏ
thỏa
.
Có
= -
. Vậy cos(-2400) = -

* Điểm cuối của cung -4050 là điểm chính giữa M của cung nhỏ

Có
= -
,
=
.
Vậy tan(-4050) = -1
* HĐ1 SGK: Nhắc lại khái niệm gtlg của góc
(0


1800).



* Ta có thể mở rộng khái niệm gtlg cho các cung và góc lượng giác















* GV giảng










* Để tính các gtlg của cung
ta cần tìm gì ?
+ Xđ điểm cuối M của cung
+ Tìm tọa độ của M

GTLG




* Với mỗi góc
( 00
) ta xđ 1 điểm trên nửa đường tròn đơn vị sao cho
và giả sử điểm M có tọa độ M(x0;y0). Khi đó ta có đn :
sin
= y0; cos
= x0;
tan
=
(x0
0);
cot
=
(y0
0).













* Hs nghe, hiểu










* Tọa độ điểm cuối M của cung
có sđ

* Nghe hướng dẫn
* Hs thực hành

HĐ2: Giới thiệu hệ quả của gtlg của cung
và gtlg của các cung đặc biệt
2. Hệ quả
1) sin
và cos
xác định với mọi

R. Ta có:
sin(
+ k2
) = sin
,

cos(
+ k2
) = cos
,

2) -1
sin

1 , -1
cos

1
3)
mà -1
m
1 đều

:
sin
= m và cos
= m
4) tan
xác định

5) cot
xác định
(k
Z)
6) Dấu của các gtlg của góc
phụ thuộc vào vị trí điểm cuối của cung
=
trên đường tròn lượng giác
Bảng xác định dấu của các gtlg

I
II
III
IV

cos

+
-
-
+

sin

+
+
-
-

tan

+
-
+
-

cot

+
-
+
-

3. Giá trị lượng giác của các cung đặc biệt


0









sin

0






1

cos

1






0

tan

0


1





cot





1


0





* Dựa vào đtlg ss
sin(
+ k2
) và sin

cos(
+ k2
) và cos
?
* Gt của sin
và cos
?
Vì -1


1;
-1


1
* Gv diễn giải tc 3)
* Tan
xđ khi
thỏa đk gì ?
* Tương tự cho cot


* Gv diễn giải tc 6)




Dán bảng phụ





* Dán bảng phụ và chỉ hs cách nhớ













* Bằng nhau vì có cùng điểm cuối M

* -1
sin

1 ,
-1
cos

1

* Hs nghe hiểu
*

*
(k
Z)
* Hs nghe hiểu




Hs phát biểu





* Hs ghi nhớ

II. Ý nghĩa hình học của tan và cot
HĐ3: Giới thiệu ý nghĩa hình học của tan và cot
1. Ý nghĩa hình học của tan

* Từ A vẽ tiếp tuyến t`At với đường tròn lượng giác. Ta coi tiếp tuyến này là một trục số bằng cách chọn gốc A và vectơ đơn vị

Cho cung lượng giác
có số đo là
(

+k
). Gọi T là giao điểm của OM với trục t`At.
+ Giả sử T không trùng với A. Vì MH // AT, ta có

(1)
Vì
và

(1)
tan
=
=

+ Khi T trùng A thì
= k
và tan
= 0.
* Vậy: tan
=

tan
được biểu diễn bởi độ dài đại số của vectơ
trên trục t`At. Trục t`At đgl trục tang.
2. Ý nghĩa hình học của cot

* Từ B vẽ tiếp tuyến s`Bs với đường tròn lượng giác và xác định trên tiếp tuyến này một trục có gốc tại B và vectơ đơn vị bằng
.
Cho cung lượng giác
có số đo là

(

).
Gọi S là giao điểm của OM và trục s`Bs.
* Tương tự, ta có: cot
=
.
cot
được biểu diễn bởi độ dài đại số của vectơ
trên trục s`As. Trục s`As đgl trục côtang.


Chú ý: tan(
+ k
) = tan
,

cot(
+ k
) = cot
,

* HĐ3 SGK: Từ định nghĩa của sin
và cos
, hãy phát biểu ý nghĩa hình học của chúng
* Gv vẽ hình và diễn giải







*
OAT và
OHM là 2
gì ? Ta có tỉ lệ thức nào ?





* Gv kết luận

* Gv dán bảng phụ TH2








* Gọi hs kết luận


* HĐ4 SGK: Từ ý nghĩa hình học của tan
và cot
, hãy suy ra với mọi số nguyên k:
tan(
+ k
) = tan

cot(
+ k
) = cot

* sin
được biểu diễn bởi độ dài của
trên trục Oy; cos
được biểu diễn bởi độ dài của
trên trục Ox.
* Quan sát hình vẽ và nghe, hiểu





* 2
đồng dạng






* Hs nghe, hiểu

* Quan sát







* cot
được biểu diễn bởi độ dài đại số của vectơ
trên trục s`As

* Từ hình vẽ, ta có điểm cuối của cung có sđ
và (
+ k
) đx nhau qua tâm O và chúng cùng cắt nhau tại T ( hoặc S) trên trục t`At ( hoặc s`Bs)
nên tan(
+ k
) = tan

cot(
+ k
) = cot


Tiết 56
III. Quan hệ giữa các giá trị lượng giác
HĐ1: Giới thiệu các hđt và áp dụng
1. Công thức lượng giác cơ bản
Đối với các gtlg, ta có các hằng đẳng thức sau

sin2
+ cos2
= 1
1 + tan2
=
,

+k
, k
Z
1 + cot2
=
,

, k
Z
tan
.cot
= 1,
, k
Z

2. Ví dụ áp dụng
* VD1: Cho sin
=
, với
<
<
. Tính cos

Giải
Ta có sin2
+ cos2
= 1

cos2
= 1 - sin2

= 1 -
=


cos
=

Vì
<
<
nên cos
< 0 .
Vậy cos
= -
.
* VD2: Cho tan
= -
, với
. Tính sin
và cos

Giải
Ta có 1 + tan2
=
.

cos2
=

=


cos
=
.
Vì
nên cos
> 0
Vậy cos
=

sin
= tan
.cos
= -
.
= -

* VD3: Cho
, k
Z
Chứng minh rằng
tan3
+ tan2
+ tan
+ 1
CM
Vì
, k
Z nên cos

0
Ta có:
VT =

=

= (1 + tan2
)(1 + tan
)
= tan3
+ tan2
+ tan
+ 1
= VP
* sin2
+ cos2
= ?


Dán bảng phụ ct
tan
= ?, cot
= ?

* HĐ5 SGK: Hãy cm các hđt còn lại








* Gv cho vd
* Ta sd ct nào để tính ?


* Gv hd và gọi hs tính




*
<
<
nên điểm ngọn của cung có sđ
nằm ở góc phần tư nào ?

* Gv cho vd
* Ta sd ct nào để tính ?



* Gv hd và gọi hs tính





*
nên điểm ngọn của cung có sđ
nằm ở góc phần tư nào ?



* Tính sin
theo ct nào ?



* Nêu cách cm hệ thức ?



* Gọi hs cm


* sin2
+ cos2

= OK2 + OH2 = OM2 = 1
* Hs ghi nhận kiến thức
tan
=
,cot
=

* Hs cm
1 + tan2
= 1 +(
)2
=
=

Ct thứ 3) cm tương tự ct 2)
tan
.cot
=
.

= 1

* Hs tìm hiểu đề
* sin2
+ cos2
= 1


* Hs tính





* Góc phần tư thứ 2



* Hs tìm hiểu đề
* 1 + tan2
=
.


* Hs tính






* Góc phần tư thứ 4





* tan
=



* Có 3 cách: VP = ... = VT
VP = A, VT = A

VP =VT
Biến đổi tương đương
* Hs phát biểu như cột nd



HĐ2: Giới thiệu các giá trị lượng giác của các cung có liên quan đặc biệt và áp dụng
3. Giá trị lượng giác của các cung có liên quan đặc biệt
a. Cung đối nhau
và -






b. Cung bù nhau
và
-







c. Cung hơn kém
:
và
+








d. Cung phụ nhau
và (
)









VD: (HĐ6) Tính cos
, tan
,
sin(-13800)
Giải
* cos
= cos

= cos

= cos

= cos

= - cos

= - cos

= -

* tan
= tan

= tan

=

* sin(-13800) = sin (- 14400 + 600)
= sin600
=

* GV dán bảng phụ
* Các điểm cuối của 2 cung
=
và -
=
ntn với nhau ? Tọa độ của chúng ntn ?
*